（2022 高考数学一轮复习(全品版)）第42讲　直线、平面垂直的判定与性质.pptx

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3、任意直线 垂面 (2)直线与平面垂直的判定与性质 类 别 语言表述图形表示符号语言应用 判 定 根据定义,证明一条直线垂直 于一个平面内的任意一条直 线 证明直线和平 面垂直如果一条直线与一个平面内 的都垂直,那么 这条直线与这个平面垂直 两条相交直线 类 别 语言表述图形表示符号语言应用 判 定 如果两条平行直线中,有直线 垂直于一个平面,那么直线也 垂直于这个平面 证明直线和平 面垂直 性 质 如果一条直线和一个平面垂直,那么这 条直线和这个平面内的都 垂直 证明直线与直 线垂直 如果两条直线垂直于同一个,那 么这两条直线平行 证明直线与直 线平行 一条 另一条 任意一条直线 平面 2.两

4、个平面垂直 (1)定义:如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平面互相, 记作. 垂直 (2)两个平面垂直的判定和性质 类别语言表述图形表示符号表示应用 判定 根据定义,证明两个半平面所成 的二面角是 AOB是二面角-l-的平 面角,且,则 证明两 个平面 垂直 如果一个平面经过另一个平面 的一条,则这两个平面 互相垂直 直二面角 AOB=90 垂线 类别语言表述图形表示符号表示应用 性质 如果两个平面互相垂直,那么它 们所成是直角 ,AOB是二面角A-l- B的平面角,则 证明两 条直线 垂直 如果两个平面互相垂直,那么在 一个平面内垂直于它们交线的 直线于另一个平面 证明直 线与平

5、面垂 直 二面角的平面角AOB=90 垂直 常用结论 1.与线面垂直相关的常用结论: (1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直; (2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直; (3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直; (4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. 2.三种垂直关系的转化: 线线垂直线面垂直面面垂直 题组一常识题 1.教材改编如图,从正方体ABCD- A1B1C1D1的8个顶点中任意选择3个 点,记这3个点确定的平面为,则垂 直于直线AC1的平面的个数为 . 解析与直线AC1垂直的平面有平面 A1BD和平面CB1D

6、1,故与直线AC1垂直的 平面的个数为2. 2. .教材改编若正四棱锥的所 有棱长都相等,则该棱锥的侧 棱与底面所成的角的大小为 . 45 3.教材改编已知PD垂直于菱形 ABCD所在的平面,连接 PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的 平面有对,与AC垂直的直线 有条. 解析由PD平面ABCD,得平面 PAD平面ABCD,平面PDB平面 ABCD,平面PDC平面ABCD.因为 ACBD,ACPD,BDPD=D,所以 AC平面PDB,所以平面PAC平面 PDB,故互相垂直的平面有4对. 4 与AC垂直的直线有PD,BD,PB,共3条. 3 4.教材改编在三棱锥P-ABC中,点P在平面A

7、BC上的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的心; (2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心. 解析(1)如图1,连接OA,OB,OC,在RtPOA,RtPOB和RtPOC 中,PA=PB=PC,OA=OB=OC,即点O是ABC的外心. 外 (2)如图2,连接AO,BO,CO,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于 H,D,G.PCPA,PBPC,PAPB=P,PC平面PAB,又AB平面PAB,PCAB, ABPO,POPC=P,AB平面PGC,又CG平面PGC,ABCG,即CG为ABC边 AB上的高.同理可证BD,AH分别为ABC边AC,BC上的高,

8、则点O是ABC的垂心. 垂 题组二常错题 索引:证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件;忽略线面 垂直、面面垂直的条件致误;面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直; 注意消除由平面到空间的思维定势的影响. 6.“直线a与平面内的无数条直 线都垂直”是“直线a与平面垂 直”的条件. 解析根据直线与平面垂直的定义,知 “直线a与平面内的无数条直线都垂直” 不能推出“直线a与平面垂直”,反之则 可以,所以应填必要不充分. 必要不充分 7.已知m,n是两条不同的直线,是两 个不重合的平面,现有以下说法: 若,n,m,则mn; 若m,m,n,则n; 若mn,m,n,则; 若m,n,则m

9、n; 若,m,n,则mn. 其中正确说法的序号为. 解析在中,若,n,m,则m与n平行 或异面,故错误; 在中,若m,m,则,又n,所以 n,故正确; 在中,若mn,m,则n或n,又n, 所以,故正确; 在中,若m,n,则mn或mn或m 与n异面,故错误; 在中,若,m,n,则mn或m或m与 n异面,所以错误.故填. 8.已知在ABC中,BAC=90,P为平 面ABC外的一点,且PA=PB=PC,则平 面PBC与平面ABC(填“一 定”或“不一定”)垂直. 解析因为PA=PB=PC,所以P在平面ABC 内的射影O为ABC的外心,因为 BAC=90,所以O为BC的中点,即PO在 平面PBC内,因

10、此平面PBC平面ABC. 探究点一垂直关系的基本问题 例1 (1)已知两个平面相互垂直,给出下列结论: 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线; 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线; 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面; 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确结论的个数是() A.3B.2C.1D.0 C 思路点拨构造正方体模型,在正方体中利用面面垂直的性质定理逐一判断. 解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD. A1D平面ADD1A1,BD平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故错误; l

11、是平面ADD1A1内任意一条直线,l与平面ABCD内和AB平行的所有直线都垂直,故 正确; A1D平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故错误; 平面ADD1A1平面ABCD=AD,过交线AD上的任一点作交线的垂线m,则m可能与平 面ABCD垂直,也可能与平面ABCD不垂直,故错误.故选C. (2)(多选题)如图,AC为圆O的直 径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆 周上不与点A,C重合的点,ASPC 于S,ANPB于N,则下列结论正确 的是() A.平面ANS平面PBC B.平面ANS平面PAB C.平面PAB平面PBC D.平面ABC平面PAC 思路点拨利用线面垂直、面面垂直的判

12、 定定理和性质定理判断. ACD 解析PA平面ABC,平面ABC平面 PAC,BC平面ABC,PABC,由题知 ABBC,又PAAB=A,BC平面PAB, 平面PAB平面PBC.AN平面 PAB,BCAN,ANPB,BCPB=B,A N平面PBC,平面ANS平面PBC.故选 ACD. 总结反思解决空间中线面、面面垂直的基本问题有以下几种方法:(1)依据定 理得出结论;(2)可结合符合题意的图形作出判断;(3)否定命题时只需举一个反 例. 变式题 (1)2021安徽江淮十校一联已知三个 不同的平面,两条不同的直线m,n,则下列结 论正确的是() A.“,m,n”是“mn”的充分条件 B.“与,所

13、成的锐二面角相等”是“”的 充要条件 C.“,m,n”是“mn”的充分条件 D.“内距离为d的两条平行线在内的射影仍是 距离为d的两条平行线”是“”的充要条件 解析A选项中的m,n可能平行,所 以充分性不成立,A错误; C B选项中,可能相交,所以充分性 不成立,B错误; 根据面面垂直、线面垂直的性质 可知C正确; D选项中,当,相交且两条平行线 垂直于交线时也可以满足条件,所 以充分性不成立,D错误.故选C. (2)在下列四个正方体中,E,F,G均为所 在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面, 则在各个正方体中,直线BD1与平面 EFG不垂直的是() 解析如图,在正方体中,E,F,G,M,N

14、,Q均 为所在棱的中点,易知E,F,G,M,N,Q六个 点共面,直线BD1与平面EFMNQG垂直, 并且选项A,B,C中的平面与这个平面重 合,不满足题意,只有选项D中的直线BD1 与平面EFG平行,满足题意.故选D. D 总结反思(1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:利用线面垂直的定义;利 用线面垂直的判定定理;利用线面垂直的性质定理;利用面面平行的性质; 利用面面垂直的性质定理. (2)求体积的常用方法:(a)割补法;(b)转化法;(c)换底法.在立体几何图形中,四面体 和平行六面体是可以换底的. (2)AE平面 MCD,AECD, 又ADCD,ADAE=A,AD平面ADE,AE平面AD

15、E, CD平面ADE, 又CDAB,AB平面ADE,ABAE,ABDM, 思路点拨证出CD平面PAD,进而得到AECD, 推导出PDAE,从而证出AE平面PAD,由此能证 明平面AEC平面PCD. 探究点三面面垂直的判定与性质 例3 (1)2020潮州二模如图,在四棱 锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧 面PAD为正三角形,且平面PAD平 面ABCD,E为PD的中点,AD=2. 求证:平面AEC平面PCD. 证明:底面ABCD为矩形,ADCD,平面 PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, CD平面PAD,AE平面PAD,AECD. E为PD的中点,PAD为正三角形,PDAE.

16、 PDCD=D,AE平面PCD,AE平面 AEC,平面AEC平面PCD. 思路点拨 推导出SOAP,POAP,从而 AP平面SOP,由此能证明平面SAP平面SOP. 解:证明:SO垂直于圆锥的底面,AP在圆锥的 底面内,SOAP,又AO为M的直 径,POAP, SOPO=O,SO平面SOP,PO平面SOP, AP平面SOP, 又AP平面SAP, 平面SAP平面SOP. 思路点拨 设圆锥的母线长为l,底面半径为r, 可证当AOP面积最大时,三棱锥S-APO的体积 最大,此时MPOA,过O作OHSP于点H,根据 等面积法求出OH,利用O为AB的中点,得出点B 到平面SAP的距离为2OH. 总结反思

17、(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是:先从现有的 直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂 直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线应有理论根 据并有利于证明. (2)证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的. 证明:取BC的中点M,连接CF,MF,如图. 因为四边形BCEF为等腰梯 形,BC=2,BF=EF=CE=1, 所以CMEF,CM=EF=1, 所以四边形EFMC为菱形,所以EC=MF. 易知三角形BMF为等边三角形,所以 CBF=60,BCF=30,BFC=90,则CFBF. 因为CF平面B

18、CEF,平面ABF平面BCEF,平 面ABF平面BCEF=BF, 所以CF平面ABF, 因为AB平面ABF,所以CFAB. 又ABBC,BCCF=C,BC平面BCEF,CF平 面BCEF,所以AB平面BCEF, 又CE平面BCEF,所以ABCE. 思路点拨分别取AF,BE的中点M,N,连接 DM,CN,MN,推导出DMAF,CNBE,DM=CN,从而 DM平面ABEF,CN平面ABEF,进而DMCN,由 DM=CN,得四边形CDMN为平行四边形,从而 CDMN,推导出MNAB,由此能证明CDAB. 探究点四平行、垂直关系的综合问题 例4 2020合肥二模如图,在矩形 ABCD中,E,F在边CD

19、 上,BC=CE=EF=FD,沿BE,AF将CBE和 DAF折起,使平面CBE和平面DAF都与 平面ABEF垂直,如图. 试判断图中直线CD与AB的位置关系, 并说明理由. 探究点四平行、垂直关系的综合问题 例4 2020合肥二模如图,在矩形 ABCD中,E,F在边CD 上,BC=CE=EF=FD,沿BE,AF将CBE和 DAF折起,使平面CBE和平面DAF都与 平面ABEF垂直,如图. 试判断图中直线CD与AB的位置关系, 并说明理由. 解:CDAB,理由如下: 分别取AF,BE的中点M,N,连接DM,CN,MN, 由图可得ADF与BCE都是等腰直角三角形且 ADF BCE,则DMAF,CN

20、BE,DM=CN, 平面ADF平面ABEF,DM平面ABEF, 同理得CN平面ABEF,DMCN, 四边形CDMN为平行四边形,CDMN. M,N分别为AF,BE的中点,MNAB, CDAB. 总结反思立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系在一定条件下既可 以纵向转化(线线平行、线面平行、面面平行之间的转化或线线垂直、线面垂直、 面面垂直之间的转化),也可以横向转化(主要有由线线平行转化为线面垂直、线 面垂直转化为线线平行、面面平行),解题时要认真审题,根据题设与定理合理转 化,解决问题. 【备选理由】平行与垂直的位置关系是立体几何的主要内容.例1考查了线面 平行、线面垂直、面面垂直的判定

21、问题;例2为旋转体中的线面垂直及空间角 问题;例3考查面面垂直的判定与性质定理、体积最值的求解等;例4考查面面垂 直的证明与点到平面距离问题的求解. 例1配合例2、例3使用如图,在 四棱锥P-ABCD 中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面 PAD平面ABCD,PAAD,E和F分别 是CD和PC的中点,求证: (1)PA平面ABCD; (2)BE平面PAD; (3)平面BEF平面PCD. 证明:(1)因为平面PAD平面 ABCD,PAAD, 所以PA平面ABCD. (2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以ABDE,且AB=DE, 所以四边形ABED为平行四边形, 所以BEA

22、D, 又BE 平面PAD,AD平面PAD, 所以BE平面PAD. 例1配合例2、例3使用如图,在 四棱锥P-ABCD 中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面 PAD平面ABCD,PAAD,E和F分别 是CD和PC的中点,求证: (1)PA平面ABCD; (2)BE平面PAD; (3)平面BEF平面PCD. 证明:(3)因为ABAD,四边形ABED为平行四边形, 所以BECD,ADCD. 由(1)知PA平面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD,又PAAD=A,PA平面PAD,AD平 面PAD,所以CD平面PAD,又PD平面PAD, 所以CDPD. 因为E,F分别是CD,PC的中点,所以

23、PDEF, 所以CDEF,又EFBE=E, 所以CD平面BEF,又CD平面PCD, 所以平面BEF平面PCD. 解:(1)证明:因为OA=OC,D是AC的中点,所以 ACOD,又PO平面AOC,AC平面AOC,所以 ACPO,又ODPO=O,所以AC平面POD. 例3配合例4使用2020日照一模如 图所示,在梯形CDEF中,四边形ABCD为 正方形,且AE=BF=AB=1,将ADE沿AD折 起,同时将BCF沿BC折起.使得E,F两点 重合为点P. (1)求证:平面PAB平面ABCD; (2)求点D到平面PBC的距离h. 解:(1)证明:因为四边形ABCD为正方形, 所以ADAB, 又ADPA,

24、且PAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB, 所以AD平面PAB,又AD平面ABCD, 所以平面PAB平面ABCD. 例3配合例4使用2020日照一模如 图所示,在梯形CDEF中,四边形ABCD为 正方形,且AE=BF=AB=1,将ADE沿AD折 起,同时将BCF沿BC折起.使得E,F两点 重合为点P. (1)求证:平面PAB平面ABCD; (2)求点D到平面PBC的距离h. 例4配合例4使用2020重庆一中5 月模拟如图,在三棱台ABC-DEF 中,BC=2EF,ABBC,BCCF,G,H分别 为棱AC,BC上的点,平面FGH平面 ABED.求证:BC平面EGH. 证明:平面FGH平面ABED,平面BCFE平面 ABED=BE,平面BCFE平面FGH=HF,BEHF. BCEF,四边形BHFE为平行四边形,则BH=EF. BC=2EF,BC=2BH,即H为BC的中点. 同理G为AC的中点,则GHAB, ABBC,GHBC. 又HCEF且HC=EF,四边形EFCH是平行四边形, 则CFHE.又CFBC,HEBC. 又HE,GH平面EGH,HEGH=H, BC平面EGH.