（2022高考数学一轮复习(步步高)）第四章 §4.6　解三角形.pptx

1、大一轮复习讲义 4.6解三角形 第四章三角函数、解三角形 考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆 半径，则 知识梳理 定理正弦定理余弦定理 内容(1) 2R (2)a2 ； b2 ； c2_ b

2、2c22bccos A c2a22cacos B a2b22abcos C 变 形 (3)a2Rsin A， b ， c ； (4)sin A ，sin B ，sin C ； (5)abc ； (6)asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A (7)cos A ； cos B ； cos C_ 2Rsin B 2Rsin C sin Asin Bsin C 2.三角形常用面积公式三角形常用面积公式 3.测量中的几个有关术语测量中的几个有关术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅 垂平面内)所成的角中，目标视线在水 平视

3、线上方的叫做仰角，目标视线在 水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向 到目标方向线之间的夹角叫做方位角. 方位角的范围是0B是sin Asin B的充要条件吗？ 提示在ABC中，由AB可推出sin Asin B， 由sin Asin B也可推出AB， 故AB是sin Asin B的充要条件. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.() (2)当b2c2a20，sin A1， ABC为直角三角形. (2)(多选)已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个

4、 命题中正确的是 A.若tan Atan Btan C0，则ABC是锐角三角形 B.若acos Abcos B，则ABC是等腰三角形 C.若bcos Cccos Bb，则ABC是等腰三角形 D.若 ，则ABC是等边三角形 解析tan Atan Btan Ctan Atan Btan C0， A，B，C均为锐角， 选项A正确； 由acos Abcos B及正弦定理， 可得sin 2Asin 2B， ABC是等腰三角形或直角三角形， 选项B错； 由bcos Cccos Bb及正弦定理， 可知sin Bcos Csin Ccos Bsin B， sin Asin B， AB， 选项C正确； 由已知和

5、正弦定理， 易知tan Atan Btan C， 选项D正确. 所以由余弦定理b2a2c22accos B， 所以由余弦定理b2a2c22accos B， 解析由余弦定理a2b2c22bccos A， (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用AB C这个结论. (2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理 进行边角互化. 思维升华 2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC为直角三角形. (2)(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C csin

6、B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为 . 解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C， 得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C， 核心素养题型三解三角形应用举例 命题点1测量距离问题 例4(2020宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为 “地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的 海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)， 现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA 15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 . 解析由已知得，在ADC中，ACD15，

7、ADC150， 所以DAC15， 在BCD中，BDC15，BCD135， 所以DBC30， 在ABC中，由余弦定理， 1 600161 60041 6002032 000， 命题点2测量高度问题 例5(2020长春质检)海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取 自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参 相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百 二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示， 立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD1 000步，两标杆的底端与海岛的 底端H

8、在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰， A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A， E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步6尺，1里180丈1 800尺300步) A.1 255步 B.1 250步 C.1 230步 D.1 200步 解析因为AHBC，所以BCFHAF， 因为AHDE，所以DEGHAG， 所以HB30 750步， 命题点3测量角度问题 例6已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处 的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私 艇朝何方向以多大速度行

9、驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ 解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方 向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时， 结合题意知 BC0.5x，AC5，BAC1803822120. 由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120， 所以BC249，所以BC0.5x7， 解得x14. 又由正弦定理得 所以ABC38， 又BAD38， 所以BCAD， 故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰 好用0.5小时截住该走私船. 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过 程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概 念及概念之间的关系，从事物

10、的具体背景中抽象出一般规律和结构， 并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、 角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了 数学抽象的数学素养. 素养提升 跟踪训练3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处 时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高 度CD _m. 解析由题意，在ABC中，BAC30， ABC18075105， 故ACB45. 又AB600 m， KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16

11、 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由bsin 2Aasin B， 又c2b，由余弦定理得 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以AC1， 所以BC2AB2AC22ABACcos A3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析asin Absin B4csin C， 由正弦定理得a2b24c2， 即a24c2b2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由余弦定

12、理得3x2923xcos 30. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A， 若cos Acos B， 则AB， ABC为等腰三角形， 故正确； 只有一解，故错误； 对于D，若sin2Asin2Bsin2C， C为钝角，ABC是钝角三角形，故正确； 综上，正确的判断为ABD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a ，b2，A 60，则c .3 解析由余弦定理，得a2b2c22bccos A， c22c30，解得c3(c1舍去

13、). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 则a2c224， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.在ABC中，C60，且 2，则ABC的面积S的最大值为 . 由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 在BAD中，由余弦定理， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.在(ac)(sin Asin C)b(sin Asin B)；

14、2ccos Cacos Bbcos A； ABC的面积为 c(asin Absin Bcsin C)这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并加以解答. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 . (1)求角C； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解选择， 整理得a2c2abb2， 即a2b2c2ab， 12345678910 11 12 13 14 15 16 选择， 根据正弦定理有sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C， 所以sin(AB)2sin Ccos C，即sin C2sin Ccos C. 选择， 123456

15、78910 11 12 13 14 15 16 所以asin Basin Absin Bcsin C，即aba2b2c2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解在ACD中， AC2AD2CD22ADCDcosADC， 在BCD中， BC2BD2CD22BDCDcosBDC， 因为ADCBDC， 所以cosADCcosBDC， 所以a2b28. 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以ab4， 从而a2b22ab0， 所以ab2. 12345678910 11 12 13 14 15 1

16、6 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由(1)知AC120， 由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90. 结合AC120，得30C90， 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的 标志和象征.李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶 端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进

17、15.2 m，到达B点，又测得泉 标顶部仰角为80.则李明同学求出泉标的高度为 (sin 200.342 0， sin 800.984 8， 结果精确到1 m) A.38 m B.50 m C.66 m D.72 m 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端. 依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m， 则ABD100，故ADB180(60100)20. 在RtBCD中，CDBDsin 8038.5sin 8038(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9

18、解析(3ba)cos Cccos A， 利用正弦定理可得 3sin Bcos Csin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B. 又sin B0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 ab9. 由c是a，b的等比中项可得c2ab， 由余弦定理可得c2a2b22abcos C， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11

19、 12 13 14 15 16 16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划 拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米).如何设计，使 得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设AMN，在AMN中， 在APM中，cosAMPcos(60). AP2AM2MP22AMMPcosAMP 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当2150270， 即60时，AP2取得最大值12， 即AP取得最大值 . 所以设计AMN60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：