一轮大题专练16—导数（数列不等式的证明2）-2022届高三数学一轮复习.doc

1、一轮大题专练一轮大题专练 16导数（数列不等式的证明导数（数列不等式的证明 2） 1已知函数( )f xaxlnx （1）若( ) 0f x 在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围 （2）证明：*nN ， (1)2 ( !) n ne en 解： （1）0 x ，( ) 0f x等价于 lnx a x ， 令( ) lnx g x x ，则 2 1 ( ) lnx g x x ， 令( )0g x，解得：0 xe，令( )0g x，解得：xe， 故( )g x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减， 故( )maxg xg（e） 1 e ， 故实数a的取值范围是 1 e，) （2）证明：由（

2、1）可知0 x lnx e 在(0,)上恒成立， 则 e x elnxlnx，即 xe ex，当且仅当xe时“”成立， 取1x ，2，3，n，则 1 1ee ， 2 2ee ， 3 3ee ， ne en， 将上述不等式相乘可得 1 2 3 (1 2 3)( !) nee enn ， 即 (1) 2 ( !) n n e en ，故 (1)2 ( !) n ne en 2已知函数( )2(1)f xlnxa x （1）若( ) 0f x ，求实数a的值； （2）求证： 222 * 2 1(1) 2(1) (1) () (1) n nnnn e nN n 解： （1）( )2(1)f xlnxa

3、 x，则 22 ( ) ax fxa xx 当0a时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递增， f（1）0，当1x 时，( )f xf（1）0，不符合题意，舍去； 当02a时， 2 1 a ，由( )0fx得， 2 0 x a ，由( )0fx得， 2 x a ， ( )f x在 2 (0,) a 上单调递增，在 2 (,) a 上单调递减， f（1）0，当 2 (1,)x a 时，( )f xf（1）0，不符合题意，舍去； 当2a 时， 2 1 a ，由( )0fx得，01x；由( )0fx得，1x ， ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 又f（1）0，( )

4、 0f x成立； 当2a 时， 2 1 a ，由( )0fx得， 2 0 x a ，由( )0fx得， 2 x a ， ( )f x在 2 (0,) a 上单调递增，在 2 (,) a 上单调递减， f（1）0，当 2 (,1)x a 时，( )f xf（1）0，不符合题意，舍去； 综上得，2a （2）证明：由（1）知，当2a 时，( )0f x 在(1,)上成立，即1lnxx， 令 2 1(1,2, ) (1) k xkn n ，则 22 1 (1)(1) kk ln nn ， 2222 1 12 11 11 (1)(1)(1)(1) n k kn lnln nnnn 2222 12(1)1

5、1 1 (1)(1)(1)2(1)2(1)2 2(1) nn nn nnnnn n ， 即 222 2 1(1) 2(1) (1) 1 (1)2 n nnnn ln n ， 222 * 2 1(1) 2(1) (1) () (1) n nnnn e nN n 3设 2 1 ( )sin 2 f xxxx （1）当0 x时，求证：( ) 0f x ； （2）证明：对一切正整数n，都有 2222 111111 sin1sinsinsinsin 23422(1)nn 证明： （1） 2 1 ( )sin 2 f xxxx， ( )cos1fxxx ，( )sin1 0fxx ，( )fx单调递增，

6、0 x时，( )(0)0fxf，( )f x在(0,)递增， ( ) 0f x； （2）0 x时，( ) 0f x ， 2 1 sin0 2 xxx， 2 1 sin 2 x xx，令 2 1 x k ，1k ，2，3，n， 222 22444 111111 11 sin() 2222 (1)21 kkk kkkkkk kkk ， 2222 111111111111 sin1sinsinsinsin(1) 2342223122(1)nnnn ， 故原命题成立 4已知函数 2 ( )sin 2 x f xxx （1）证明：0 x 时，( )0f x ； （2）证明：2n时， 111111 sin

7、sinsin 1223nn 证明： （1）设( )( )1cosg xfxxx ， 则( )1sin0g xx ， 故函数( )g x为减函数， 可得( )(0)0g xg，即( )0fx， 故( )f x为减函数， 所以( )(0)f xf （2）由（1）知：0 x 时，( )0f x ， 可得f（1） 111 ( )( )( )0 23 fff n ， 所以 2222 1111 1111111 (1)()(sinsinsin)0 232 12312nnn ， 所以 2222 1111111 1111 sinsinsin(1)() 12232 123nnn ， 因为2n时， 2 1111 (

8、1)1nnnnn ， 所以 222 1111111111 11 2312231nnnn ， 所以 222 111 2 23n ， 所以 1111111111 sinsinsin(1)2 1223223nnn 5已知函数 2 ( )(,0) 2 a f xxlnx aR a （1）求函数( )f x在1， e上的最大值； （2）当1a 时，求证： * ( )() 22() nnn fxfxnN 解： （1） 2 11 ( ) ax fxax xx ， 当0a 时，( )0fx，( )f x在1， e上单调递增，则 2 ( )( )1 2 max a f xf ee； 当0a 时，令( )0fx，

9、解得 1 x a ，易知当 1 0 x a 时，( )0fx，( )f x单增， 当 1 x a 时，( )0fx，( )f x单减， ( ) i当 1 1 a ，即1a时，( )f x在1， e上单减，则( )(1) 2 max a f xf； ( )ii当 1 e a ，即 2 1 0a e 时，( )f x在1， e单增，则 2 ( )( )1 2 max a f xf ee； ()iii当 1 1e a ，即 2 1 1a e 时，( )f x在 1 (1,) a 单增，在 1 (, ) e a 单减，则 111 ( )()() 22 max f xflna a ； （2）证明：当1n

10、 时，不等式显然成立； 当2n时，有 11 ( )()()() nnnn n fxfxxx xx 11221 21 111 nnn nnn n C xC xCx xxx 12241 2 1 nnn nnn n C xC xC x ， 设 12241 2 1 nnn nnn n SC xC xC x ， 12412 2 1 nnn nnn n SCC xC x x ， 122412121 242 111 2()()() 2()2(22) nnnnnn nnnnnn nnn SCxCxCxCCC xxx ， 22 n S，即 * ( )() 22() nnn fxfxnN 6已知函数 （1）当3a

11、 时，求( )f x的单调区间； （2）若 2 ( )1f x x 恒成立，求a的值； 求证：对任意正整数(2)n n，都有 2222 1111 (1)(1)(1)(1) 234 e n （其中e为自然对 数的底数） 解： （1）( )f x的定义域为(0， 2 222 3232(1)(2) )( )1 xxxx fx xxxx （1 分） 令( )0fx得1x 或2(0,1)xx时，( )0fx；(1,2)x时，( )0fx；(2,)x时， ( )0fx 所以，( )f x的单调增区间是(1,2)，单调减区间是(0,1)，(2,)，（3 分） （2）解：由 2 ( )1f x x ，得1 0

12、alnxx 对(0,)x恒成立 记( )1(0)h xalnxxx其中h（1）0， ( )1 aax h x xx ， 当0a时，( )0h x恒成立，( )h x在(0,)上单调递减，(0,1)x时，( )h xh（1）0， 不符合题意；（4 分） 当0a 时，令( )0h x，得xa， (0, )xa时，( )0h x，( ,)xa时，( )0h x， 所以( )h x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递减， ( )maxh xh（a）1 0alnaa（6 分） 记（a）1(0)alnaaa，（a）lna 令（a）0得1a ， (0,1)a 时（a）0；(1,)a时，（a）0，

13、 （a）在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 （a）1alnaa （1）0，即h（a）0，h（a）0 又h（1）0，故1a （8 分） 证明：由可知：1lnx x， （当且仅当1x 时等号成立） 令 2 1 1x n ，则 22 11111 (1) (1)1 ln nnn nnn ，(2)n 222 111111111 (1)(1)(1)111 232231 lnlnlnlne nnnn ， 2222 1111 (1)(1)(1)(1) 234 e n 7已知( )2 ( ) q g xpxf x x ，其中( )f xlnx，且g（e）2 p qe e （1）求p与q的关系； （2）

14、若( )g x在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （3）证明：(1)1fxx； 2 222 2321( ,2) 234(1) lnlnlnnnn nN n nn 解： （1）由题意( )2 q g xpxlnx x ， 2 q g epe e 又， 22 qq peqe ee ， 1 ()()0pq epq e ， 11 0,0pqee ee 而， 所以pq； （2）由（1）知：( )2 p g xpxlnx x ， 2 22 22 ( ) ppxxp g xp xxx ， 令 2 ( )2h xpxxp要使( )g x在(0,)为单调函数，只需( )h x在(0,)满足：( ) 0h

15、x 或 ( ) 0h x 恒成立 0p 时，( )2h xx ，0 x ，( )0h x， 2 2 ( )0 x g x x ， ( )g x在(0,)单调递减，0p适合题意 当0p 时， 2 ( )2h xpxxp图象为开口向上抛物线，对称轴为 1 (0,)x p 1 ( )minh xp p 只需 1 0p p ，即1p时( ) 0h x ，( ) 0g x， ( )g x在(0,)单调递增，1p 适合题意 当0p 时， 2 ( )2h xpxxp图象为开口向下的抛物线，其对称轴为 1 (0,)x p ， 只需(0) 0h，即0p时(0) (0h，)恒成立 ( )0g x ，( )g x在

16、(0,)单调递减，0p适合题意 综上可得，1p或0p （3）证明：即证：1 0(0)lnxxx， 设 11 1,1 x k xlnxxkx xx 则 当(0,1)x时，( )0k x，( )k x为单调递增函数； 当(1,)x时，( )0k x，( )k x为单调递减函数； 1x为( )k x的极大值点，( )k xk（1）0 即1 0lnxx ，1lnx x 由知1lnx x，又0 x ， 11 1 lnxx xxx ， * nN，2n时，令 2 xn，得 2 22 1 1 lnn nn ， 22 11 (1) 2 lnn nn ， 222222222 23111111111111 (111)1()(1)() 2322322322334(1) lnlnlnn nn nnnn n ， 2 111111111121 1()1() 2233412214(1) nn nn nnnn ， 结论成立