（高中数学教学论文）把握特殊情形-堵住丢分漏洞-提高复习质量.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 数学解题中忽视特殊情形致错的数学解题中忽视特殊情形致错的 破解方略破解方略 在高考数学阅卷中，我们发现，许多同学在答 题时的思路是基本正确的，结果也大致出来了，但 过程却时常丢三落四，出现漏洞，丢掉了本应得到 的分数。其实，这种“会而不对，对而不全”的现 象也一直是平时教学中师生挥之不去之痛，而解题 中忽视问题的特殊情形致错则更为令人困惑，如何 解决这一问题直接关系到高考数学复习的质量，现 就相关问题作如下例析： 一、忽视空集情况致错 例 1. 已知集合 A=x | x 2 + 4x = 0 ，B=x | x 2 + 2(a+1)x + a 21，若

2、AB= B，则实数 a 错解：A=x | x 2 + 4x = 0 =4，0，由 A B= B 知 BA 若 B=0，则 01 0) 1(2 2 a a 解得 a=1 若 B=4，则 161 8) 1(2 2 a a 无解 若 B=4， 0， 则 01 4) 1(2 2 a a 解得 a=1 所以 a1，1 剖析：在应用 AB=BAB 时，需进行分类 讨论，但在上述解答中忽视了“空集是任何集合的 子集”这一基本事实，导致结果错误。事实上，当 B=时，有=4(a+1) 24(a21)0，即 a0，b0，a+b=1，求(a + a 1 ) 2 + ( b+ b 1 ) 2的最小值。 错解：(a +

3、 a 1 ) 2 + ( b+ b 1 ) 2 =a 2+ b2 + 2 1 a + 2 1 b + 4 2ab + ab 2 + 44 ab ab 1 + 4 = 8 故得(a + a 1 ) 2 + ( b+ b 1 ) 2的最小值为 8 剖析：上述解答中，两次运用基本不等式，第 一次取等条件是 a=b= 2 1 ，第二次取等条件是 ab= ab 1 即 ab=1，显然两条件不可能同时成立， 因此所求结果是错误的。事实上，原式= a 2 + b 2 + 2 1 a + 2 1 b + 4 = (a 2 + b 2) + ( 2 1 a + 2 1 b ) + 4 = (a+b) 2 2ab

4、+( a 1 + b 1 ) 2 ab 2 + 4 = (12ab) + ( abba 21 22 ) + 4 = (12ab) (1+ 22 1 ba )+ 4.由 ab( 2 ba ) 2 = 4 1 ,得 12ab1 2 1 = 2 1 , 1+ 22 1 ba 1+4 2 = 17.故原式 2 1 17+ 4 = 2 25（当 且仅当 a=b= 2 1 时取“=” ）.(a + a 1 ) 2 + ( b+ b 1 ) 2 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 A B C x y O 的最小值是 2 25 . 评注：应用基本不等式的前提是“一正、二定、 三相等” ，解题中不能忽视对

5、取等时变量的值是否 在其定义域内的验证工作。 四、求数列通项时，忽视 n=1 的情况致错 例 4. 已知数列an满足 a1=1，an= a1+ 2a2+ 3a3+ (n1)an1(n2)，则数列an的通项为 . 错解：an= a1+ 2a2+ 3a3+ +(n1)an1 an+1= a1+ 2a2+ 3a3+ + (n1)an1+ nan 得 an+1an= nan，故 n n a a 1 = n+1 an= 2 1 1 n n n n a a a a 1 2 2 3 a a a a =n(n1) 32=n！即 an=n！ 剖析： 上述解答中， 忽视了 a1=1 这一特殊情况， 事实上，由条件

6、知当 n2 时，才有 n n a a 1 = n+1，又 由 a2=a1=1 知 1 2 a a =1.所以 an= )2( 2 n! 11 n n）（ 评注：对于数列 an与 Sn之间有如下的关系： an= )2( ) 1( 1 1 nSS nS nn ， 求 an时，若 a1适合 an= Sn Sn1(n2)时才可以合并，否则要将 an写成分段 函数的形式。 五、等比数列求和时忽视公比 q=1 的情况致错 例 5. 数列an中，a1=1，a2=2，数列anan+1 是公比为 q(q0)的等比数列且 anan+1+ an+1an+2 an+2an+3，求数列an的前 2n 项的和 S2n 错

7、解：由 anan+1+an+1an+2 an+2an+3 即 anan+1+ anan+1q anan+1q 2 得 1+qq 2 即 q 2q10） ，解得 0q0)的焦点为 F， 经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛 物线的准线上，且 BC/x 轴，求证：直线 AC 经过 原点 O。 错 解： 设直 线 AB 的 方 程 为 y = k(x 2 p ) （如图）. A（x1，y1） 、B（x2，y2） 、C（ 2 p ，y2） pxy p xky 2 ) 2 ( 2 即 y 2 k py2 p 2=0 y1y2=p 2， k OC= 1 1 2 2 2 22 y p p

8、 y p p y 又y1 2 = 2px1，kOC= 1 1 1 1 2 1 1 2 x y y x y y p kOA= 1 1 x y = kOC，故直线 AC 经过原点 O. 剖析：以上只证明了当直线 AB 的斜率 k 存在 时的情况。事实上，当 k 不存在，即当 ABx 轴时， 有 A（ 2 p ，p） ，B（ 2 p ，p） ，C（ 2 p ，p） ， 易知点 A 与点 C 关于原点 O 对称，于是得 AC 经过 原点 O. 评注：凡涉及求直线方程或关于直线与曲线位 置关系问题，一般都要考虑斜率存在和不存在的两 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 种情况，否则容易出现思维漏洞.

9、 七、三角换元时，忽视换元前后变量的等价性 致错 例 7. 已知 sinx + siny = 3 1 ， 求 M=sinycos 2x 的最大值. 错解：由已知得 siny = 3 1 sinx M=sinycos 2x = 3 1 sinxcos 2x = sin 2xsinx 3 2 令 t = sinx1，1 于是 M=t 2t 3 2 = (t 2 1 ) 2 12 11 当 t=1 时，Mmax= (1 2 1 ) 2 12 11 = 3 4 剖析：上述解答中，新元 t 的范围有误，因而 结果是不对的。 事实上， 由 siny = 3 1 sinx1， 1，结合 sin x1，1，可

10、得 sinx 3 2 ， 1，亦即 t 3 2 ， 1， 于是当 t= 3 2 时， 得 Mmax= 9 4 。 评注：换元的实质是转化，即变换研究对象， 将问题置于新的情况和背景中，达到显露隐含和化 繁为简的目的，换元时要保持新旧元取值范围的等 价性。 八、忽视向量的共线情况致错 例 8. 已知a=（m2，m+3） ，b=（2m+1，m 2） ，若a与b的夹角为钝角，求实数 m 的范围。 错解：设a与b的夹角为，且 2 ，则 cos= |ba ba 0，故ab0。即(m2)(2m+1) + (m+3) (m2)0，解得 3 4 m2，此即所求的实 数 m 的范围。 剖析：ab0 是a与b夹角为钝角的必要 不充分条件，因为当ab=1 时，=就不是 钝角。以上所求范围中包括了=时对应的 m 的 值。事实上，由a与b不共线，可得(m2) 2 (m+3)(2m+1)0，m 2 5511 ，因此 m 的范 围是( 3 4 ， 2 1155 )（ 2 1155 ，2） 。 评注：为钝角1cos0，即ab0 且a与b不共线。 知识是基础，方法是手段，思想是深化，在高 考数学复习中，只有仔细体会数学思想方法，注重 思维的严密性和准确性，有效地避免在解题中出现 的思维漏洞，才能切实提高复习的质量。