（高中数学教学论文）点到直线的距离公式的推导.doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 “点到直线的距离公式点到直线的距离公式”的认知分析和教学设计的认知分析和教学设计 “点到直线的距离公式”是解析几何中的重要公式，这个内容的 认知过程分析以及由此而进行的教学设计，可以成为数学教师日常教 学工作的一个范例 （一）认知分析（一）认知分析 1 1涉及的陈述性知识涉及的陈述性知识 （1）关于“点” ：坐标 P0(x0，y0)直角坐标系； （2）关于“直线” ：直线方程（各种变式） ； （3）关于“距离” ：距离的定义；垂足交点 垂线（点斜式）相互垂直的两条直线的斜率关系 2 2涉及的程序性知识涉及的程序性知识 （1）直角坐标系的选择； （2）直

2、线方程的选择； （3）距离的定义方法（ “最短” ） ，属数学思想方法， 但可以自动化； （4）垂线方程表示方式的选择； （5）“转化”的策略； （6）“求简”的策略 上述程序性知识中， “选择”一般具有策略性知识的特性，要根据 具体情景来作出决策但总的来说， “把选择的机会让给学生”而不是 “告诉学生如何选择” ，是策略性知识教学的一个基本原则，教师只要 追问“你是怎么想到的？” “还可以怎么做？”即可。 3 3认知过程分析认知过程分析 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 （1）常规思路 基于点到直线的距离定义所给定的几何要素，利用“垂线”求交 点，再用两点间的距离公式（ “转化”的策

3、略） 于是，先求“垂线” ， 自然想到用“相互垂直的两条直线的斜率关系”求出斜率，再用“点 斜式”写出直线方程，再解方程组获得交点坐标这一思路的特点： 自然，思想方法“大众化” ，很少涉及策略性知识，可以程序化，但解 方程组的操作过程复杂，需要熟练的代数变换技能 有人认为，由于这个思路大家都能够想到，没有什么“创造性” ， 因此教学中不需要强调我认为，这一看法有偏颇 “常规思路”往往 代表了 “通性通法” ， 大巧若拙， 其中蕴含的智力价值应当引起重视 另 外，方法的“繁”与“简”是可以相互转化的，而且， “简”是从“繁” 中演化出来的 从知识之间的关系看，这个思路中所涉及的知识，与“点到直线

4、 的距离”的联系比较直接，因此它们的提取和应用都非常方便，这也 是它比较容易被想到的原因 （2）由“求简”所引发的思考一个新的认知过程 由于上述方法比较“繁” ，因此应当考虑如何“求简” 实际上， “求简”的过程是对问题及其解决方法的进一步探究，涉及对问题中 各种因素之间关系、相关概念之间的联系方式的进一步认识这是一 个搞清问题的整体结构，寻找不同概念之间联系的最简捷通道的过 程从下面的分析不难看到，不同求解方法的实质是知识的不同联系 方式不同思惟倾向的学生，可能采取不同的“求简”策略，而能否 “想到新方法”的决定性因素是对相关概念及其蕴含的思想方法的熟 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论

5、文 悉程度 代数运算过程的简化从反思已有过程入手 由于已有解法的代数变换过程较繁，因此考虑是否能简化运算过 程从整个变换过程看，其中有许多“无用功” ，原因是整个运算过程 非常机械，没有做到“瞻前顾后” 考察已有运算过程可以发现，分别 从整体上考虑 (x1x0)，(y1y0)，可以得到以下简化思路： 设 P(x1，y1)是垂足，则有： , 0 , 0 0011 11 BxAyAyBx CByAx 于是有： . 0 , 1010 001010 yyAxxB CByAxyyBxxA 再推导“距离公式”就比较容易了 在上述过程中，通过分析已有运算过程，接通的是“垂足”的意 义（作为两条直线的交点）与

6、距离的表达式2 10 2 10 yyxxd之间 的联系，而采取的策略是“整体化” 由上述分析可见，要实现代数变换的“简化” ，关键是要引导学生 “接通”垂足的意义与距离表达式，而所用的策略是“整体化” （通常 人们将它称为 “设而不求” ） 这就是教学设计中应重点考虑的地方 显 然，教师应引导学生思考引起繁琐代数变换的原因，通过反思变换过 程，从中获得“简化”的启发，并在垂足的意义与距离表达式之间架 设思惟桥梁，从而使学生体验到“整体化”思想 这里， “整体化” 、 “设而不求”是一种策略，属于“术”的范畴， 但要注意它的来源感到化简过程繁琐， “求简”而反思解题过程， 高中数学教学精品论文高

7、中数学教学精品论文 发现引起繁琐的原因而得到消除繁琐的策略 如果没有这个方式过程， 就可能出现强加给学生一个“设而不求”技巧的做法 几何角度的考虑从最简情形入手（这也是一种策略） 显然，最简单的是直线与坐标轴平行时的情形： A CAx xxd A C xACAxlyxP 0 10100 ,),0(0:,； B CBy yyd B C yBCBylyxP 0 10100 ,),0(0:, 对于一般情形，如何利用“最简”情形？也就是如何将“一般” 化归为“最简” （特殊）？如图 1，过 P(x0，y0)作平行于 x 轴或 y 轴的 直线，经考察可以发现，通过作 x 轴的平行线而实现的转化比较简单：

8、 。 22 00 22 0 0 22 1010 222 sin , cot1 1 sin ,cot BA CByAx BA A A CBy x BA A xxPPd BA A A B 在转化过程中，需要有“数形结合”的思想，用到了“特殊 一般”的策略，还要根据具体情况对问题解决的途径作出选择另外， 需要接通距离的不同表示：作为直角三角形的一条直角边，与三角函 数建立联系，等 教科书提供的方法是利用同一直角三角形面积的不同表示，把所 求的“距离”看成是直角三角形底边上的高，利用直角三角形的三边 长表示出距离实际上，这里，包含有一般的程序性知识（一种转化 y 000 , yxP 111 , yxP

9、 Ox 图 1 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 的思想，用已知表示未知的思想） 由上所述，从几何角度考虑，要实现“简化” ，主要是利用平行于 坐标轴的线段长来表示点到直线的距离，通过特殊与一般之间的关系 实现转化，而在转化过程中又要接通三角函数的有关知识，使距离的 表示更加简单这样，在进行教学设计时，教师应当利用“数形结合” 思想，在如何用相关元素表示“距离”上进行引导，并在接通三角函 数的有关知识上加以点拨 当然，还可以有其他转化的方法，例如“向量法” “求函数最小值 法” “面积法”等，这里不一一赘述 （二）教学设计（二）教学设计（问题系列引导的数学探究） 问题问题 1 1“点到

10、直线的距离”的定义是什么？从这一定义出发， 你认为应如何求“点到直线的距离公式”？ 设计意图设计意图：体现“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的 思路；强调从定义出发思考问题 估计学生能够从定义出发，得到：设已知点为 P0(x0，y0)，已知直 线为 l：Ax+By+C=0，过点 P0且垂直于直线 l 的直线方程为 l/：yy0 A B (xx0)解方程组： , , 0 00 xx A B yy CByAx 可得交点坐标为 P1(x1，y1)于是有点 P0(x0，y0)到直线 l 的距离为 d| P1P0|2 10 2 10 yyxxd 问题问题 2 2上述思路非常自然 请大家照此思路动手

11、推导出公式 推 导过程中要详细留下每一个步骤请两位学生板演 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 设计意图设计意图：思路自然但代数变换过程复杂让学生动手推导，体 验一下复杂性，可以激发寻找简便方法的冲动另外，留下详细步骤 是为了后续分析引起复杂变换的原因，找到“化简”思路做准备让 学生板演可以方便地观察学生的思考、变换过程，为后续教学提供依 据 估计有些学生不能推出公式，有些学生能推出公式可以让这两 类学生的代表谈谈体会 问题问题 3 3从上述推导过程出发，请同学们分析一下引起繁琐的代 数变换的原因重点分析哪些步骤是可以简化的 设计意图设计意图： 引导学生从代数变换角度反思，希望学生能够观

12、察到， 具体求出垂足 P1(x1，y1)的坐标是引起复杂运算的原因，而从整体上考 虑 (x1x0)，(y1y0)，可以使代数变换过程大大简化 问题问题 4 4上面从简化代数变换的角度得到了一个简便方法现在 再回到几何图形上看你能说说 (x1x0)，(y1y0)的几何意义吗？由 此你有什么新的想法？ 设计意图设计意图：通过分析(x1x0)，(y1y0)的几何意义，得到“作 x 轴、 y 轴的平行线，构造直角三角形求距离”的思路启发 问题问题 5 5从上述分析可知，通过 P0(x0，y0)，P1(x1，y1)作坐标轴的 垂线，构造直角三角形，可以比较方便地得到点到直线的距离的表达 式你能构造别的直

13、角三角形，给出更方便的方法吗？ 设计意图设计意图：通过概括思路，明确方法的要点， 并引 导学生提取更多地平面几何、三角函数的相关知识， 得 到更简便的方法 yP0 MP1 Ox 图.2 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 估计有部分学生可以得到： 如图 2， 过 P0作 P0My 轴， P0P1l 那 么|P0M|y0y|，tanP1P0M B A 由此就能得到简便的方法 问题问题 6 6上述方法中有没有不够严密的地方？应当如何补救？ 设计意图设计意图：上述结论的漏洞有两个：一是0 时不能采用；二 是倾斜角需要考虑分类，即要分 0 2 ， 2 通过查漏补缺， 培养学生思惟的严谨性 问题问题 7 7除了上述方法外，你还有其他方法吗？ 设计意图设计意图：开拓学生的思惟空间，提醒学生还可以用别的方法求 距离公式 问题问题 8 8你能谈谈在上述过程中体现的数学思想方法吗？可以从 数学定义的作用、如何从繁琐的过程中发现简化的思路、如何从问题 的特点出发调动相关知识、如何在建立相关知识的联系中获得新的解 题思路等方面进行归纳总结 设计意图设计意图：引导学生反思学习过程，归纳概括具有一般意义的数 学思考方法，使知识融汇贯通，以增强知识的迁移能力