（高中数学教学论文）趣说数学与文学(近体诗词音律的数学解释).doc

1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 趣说数学与文学趣说数学与文学 通常情况下，人们认为数学与文学完全毫不相干，要把高度抽象形式化的数学和形象化艺术性的文学 扯在一起，似乎有点不可思议。然而，在种种表面无关甚至完全不同的现象背后，隐匿着数学与文学极其 丰富、深刻而美妙的联系。 就拿诗歌来说，是所有文学式样中最具代表性的一种。诗的形式是简练的，表达的思想情感是概括的， 并且相对抽象，这与数学追求以最简练的形式抽象概括最深刻最具一般性的规律，是极为相似的。我国的 格律诗词有非常复杂的格式样式，但不是没有法则可依，任意而为。其实“格律”本身就是指的“规律” 客观存在不依赖于人的主观意志的规定性。

2、而这些规定又充分显示出必然与合理性。 近体诗中，律诗与绝句的平仄变化很复杂，规定也很多，但从数学观点去认识，却是一种具有简单运 算规则的数学模式，其中蕴含着以简驭繁的奥秘，尽显数学美。 以五言诗声调的平仄为例，有以下四个基本类型： 仄起仄收： 仄仄平平仄， 平起平收： 平平仄仄平； 平起仄收： 平平平仄仄， 仄起平收： 仄仄仄平平。 将这四种类型的句子按一定的规则再排列，就能得到五言绝句的四种标准式样。但其中许多规 则用文字语言叙述起来，总是显得很复杂。比如说，五言诗的每一句都基本符合上述四种类型。但 不是绝对的，有四种基本“变格” ，变格的一个原则是“一三不论，二四分明” 。意思是，每一句的

3、 第一、三个字可以不论平仄，但第二、四字必须符合规则，最后一个字则主要要求押韵合辙，加之 押韵也讲求第一、三句不要求，二、四句必须押韵，且押平声韵。再一个是“粘对” 原则。这里 面的意思较复杂， “粘”有一句当中相邻两字同声调的意思，句与句之间的关系是，每上下两句组 成的一联，须符合平仄相“对” ，即平对仄，仄对平，联与联之间则须相“粘” 。 这些规则条件只能让人知道大概，很难记忆和运用。 下面仍以五言诗为例，用数学方法（优选法或称排除法）分析用这些法则得到的结果和法则建 立的缘由如下： 1.因为所有汉字的声调分为“平、仄”两类，不妨记为 p 和 z，那么每一个五字句的不同声调 排列数，就是两

4、类元素在 5 个位置上的排列数，即 5 232种。 2.按 “平仄均沾” 原则， 即平声与仄声字数在句子 （整首诗） 中应尽可能均等， 将 5p,4p1z,1p4z,5z 的组合形式去掉，剩下 3p2z 和 2p3z 两种组合形式，共有 2 5 220P 种排列。如用“1”表示“平” ， 用“0”表示“仄” ，则 3p2z 组合有（11100） 、 （11001） 、 （10011）等 10 种排列，同样 2p3z 组 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 合也有相应 10 种。 3.第二原则是，平仄要双叠，凡出现孤平孤仄者（首尾除外）不要，如（10101） ；凡出现三平 三仄者（句首除外

5、）也不要，如（01110） 。这样，3p2z 组合中，孤平孤仄者 5 种，三平三仄者 3 种，筛选结果有 10-5-3=2 种；同理，2p3z 组合也剩下 2 种。 因此，从 32 种排列中优选出来的标准句式有四种，简记为（00110） （11001） （11100） （00011） 将以上四种基本句型分别作为矩阵的一行，可组成一个 45 的矩阵。 将矩阵中的第 1、2 行与第 3、4 行对调，就得到矩阵，这两个属于首句仄声不押韵类；还 有一类首句平声押韵，那么矩阵的后三行保持不变，分别用它们的第四行“置换”第一行，分 别得到矩阵，恰好符合“一三不论，二四分明”的一般原则和句与句、联与联的“粘

6、对”原则。 注意到这 4 个矩阵都是中间一列（第三列）打破“粘对”原则，正好“逆反” 。于是，五言绝句的 4 种基本平仄格式用 4 个 45 的矩阵表示如下。 00110 11001 11100 00011 11100 00011 00110 11001 00011 11001 11100 00011 11001 00011 00110 11001 两首五言绝句加起来便成一首五律，因此五律有 8 种基本格式。在五律的每句前加两字，变成 七律，于是知道共有 16 种格式。五律的平仄矩阵是 85，七律的平仄矩阵是 87，长律的平仄规 律可以按此规律推出，这里就不一一列出。 原本认为错综复杂，难以记

7、忆的诗词平仄规则，用矩阵表示，只要记住四种基本句式，所有绝 句律诗的平仄矩阵就可通过变换得到，可以说十分简洁而优美。 以下列举王之涣的登鹳雀楼 、王维的送别 、王安石的梅花 、皇甫冉的婕妤怨分 别对应四种基本格式。 00110 11001 11100 00011 白日依山尽 黄河入海流 欲穷千里目 更上一层楼。 山中相送罢 日暮掩柴扉 春草明年绿 王孙归不归 11100 00011 00110 11001 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 诗句之间复杂的音韵规定，用矩阵变换中简单的“换行” ，就基本可以概括。如果将矩阵转置， 居然可以通过新矩阵是否满秩，来检查“拗救”后的诗句是否仍出现

8、格律中“孤平”或“孤仄”的 禁忌！更令人惊喜的是，在排列平仄时，5p,4p1z,3p2z,2p3z,1p4z,5z 的对称形式，突然让我联想 到杨辉三角、二项式展开式！ 请看，五言诗句的平仄规律： 5 0514123232341455 555555 pzC pC p zC p zC p zC p zC z的中间项系数非常精准地刻画了 五 言 诗 句 的 所 有 平 仄 排 列 数 。 如 此 以 来 ， 七 言 诗 句 的 平 仄 规 律 尽 在 7 0734343477 7777 pzC pC p zC p zC z之中！ 当我惊喜地发现这些规律时，我不得不由衷感叹古代诗人的智慧和理性精神，

9、他们可能不知道 什么是数学，也肯定没学习过排列组合、二项式定理、线性代数之类，但那种洞悉变换规律，自然 地运用数学思想的能力，让人惊叹。正如 17 世纪以前就有杰出的画家运用透视原理，来处理由于 不同方位光线照射而形成的绘画立体效果，是他们的杰出工作，衍生出后来数学中的射影几何。相 信数学与文学之间还有许多隐匿状态的更加奇妙的联系。 看来， 数学能帮助诗人作诗， 帮画家作画， 帮歌者谱曲是毫无疑问的了。 两个月前，我随同上海市双名工程中学数学二组的其他 11 名学员赴哈尔滨学习交流，途中偶想起数 学家华罗庚先生早年所作一幅对联:“妙人儿倪家少女，搞弓长张府高才” 。联中“倪”指华先生在参加一

10、次学术活动时专职的护理医生倪女士， “张”指当时在场的数学家张广厚，当时在场的人都称奇不已。此 对巧在结构上， “妙”字拆成“少女” ， “搞”字拆成“高才” ， “人儿”合为“倪” ， “弓长”合为“张” 。 墙角数枝梅 凌寒独自开 遥知不是雪 为有暗香来 00011 11001 11100 00011 花枝出建章 凤管发昭阳 借问承恩者 双蛾几许长 11001 00011 00110 11001 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 不仅讲究传统对联的对仗，更讲究词字的拆分组合，左右呼应、对称，隐含了丰富的数学思想。我受此启 发，尝试将本组的 14 名学员和两位导师的姓名共 42 个字

11、融合在一起，按以上格式题写六副对联。用形意 分类组合、优选等方法，把 14 人的姓名都组合嵌入联中，且最大可能地表达实际情形。作出的对子，自 己感觉满意，于是拿出来与大家共享。看是否能从对联中看到数学的身影，以进一步说明数学与文学联袂 时，将会出现别样的艺术审美效果。 因对联中用的都是真实姓名，所以此处只列出两联，其余只在同事间传阅把玩，以避刻意颂扬之嫌。 先看第一联： 挥羽公翁氏帅才 倚口天吴地奇人 “挥”可拆为“军、才” ，统军之人即为帅， “羽、公”叠加为主持人翁昌来的姓氏，同时用“挥羽公” 暗喻诸葛孔明。倚可拆为“奇、人” ， 口天吴是吴卫国的姓氏，他是崇明人，博学多才，因称吴地奇人。

12、 第二联： 思迎霞胡琴心田 梦瑾怡阮瑟林夕 上一联只考虑姓，而此联中将胡迎霞、阮瑾怡的姓名完全嵌入，相对难度比上一联高，胡琴、阮瑟均 为乐器， “思心田”与“梦林夕”对仗工整，拆拼合理，整幅对联的意境雅致清新，十分幽美。 其余几联，都各有变化，但基本是按照“句内拆字合意，句间对仗合情”的原则来作。这样的对联与 传统楹联的要求不同，主要是为了用有限的几个字，而且意义要符合实情，关键是在诸多条件（义、形、 声）限制下，进行排列组合。要兼顾“义”与“形” ，对音韵的限制只好放宽甚至基本放弃了。不讲平仄 不能成为对联，我不以为然，因为对应、拆分、组合、对称等数学观念方法的运用，实现了多条件限制、 复杂结构的文字组合。尽管在诵读的音调方面，少了点朗朗上口的感觉，但在意蕴和结构上却多了许多意 趣。这也算是将数学思想方法融入文学创作的新尝试。语言艺术与数学有深刻的联系，由此可见一斑。 从此，我还进一步猜想，上文所列的一些诗词音韵矩阵，如果进行一些列与列之间的变化，甚至把某 列缩放（声音的抑扬顿挫轻重缓急）后叠加到另一列，这样的运算变换，是否有可能演绎出更美的 诗词样式呢？那将是前无古人的创举，是令人神往的科学艺术创造。