1、第 15 讲 三角函数恒等变换 玩前必备 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)cos()coscossinsin， cos()coscossinsin (2)sin()sincoscossin， sin()sincoscossin (3)tan()， tan tan 1tan tan tan()(， 均不等于 k，kZ)， tan tan 1tan tan 2 2二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin 22sincos (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2 (3)tan 2(k且 k，kZ) 2tan 1tan2 4 2 3辅助角公式 asin xbcos xsi
2、n(x)， a2b2 其中 sin ，cos . b a2b2 a a2b2 4公式的常见变形 (1)tan tan tan()(1tan_tan_)； tan tan tan()(1tan_tan_) (2)sin2； 1cos 2 2 cos2； 1cos 2 2 sin cos sin 2. 1 2 玩转典例 题型一两角和与差公式两角和与差公式 例例 1(1) 计算 cos 42 cos 18cos 48 cos 72的值为_ (2)cos 15cos 105sin 15sin 105. 例 2设 cos ( ) ，sin ，其中 ，求 cos . 2 1 9 ( 2) 2 3 ( 2，
3、) (0， 2) 2 例 3化简下列各式： (1)sin2sincos； (x 3) (x 3) 3 ( 2 3 x) (2)2cos() sin2 sin 例 4若 ， 均为钝角，且(1tan )(1tan )2，求 . 玩转跟踪 1(重庆，6)若 tan ，tan() ，则 tan () 1 3 1 2 A. B. C. D. 1 7 1 6 5 7 5 6 2.已知 cos ，cos()，且 、，求 cos 的值 1 7 11 14 (0， 2) 3.已知 cos ，sin()，且 、.求： 5 5 10 10 (0， 2) (1)cos(2)的值；(2) 的值 4.已知ABC 中，ta
4、n Btan Ctan Btan C，且tan Atan Btan Atan B1，试判断ABC3333 的形状 题型二二倍角和辅助角公式 例 5已知 sin 2， ，求 sin 4，cos 4，tan 4 的值. 5 13 4 2 例 6在ABC 中，cos A ，tan B2，求 tan(2A2B)的值. 4 5 例 7将下列各式写成 Asin(x)的形式 (1)sin xcos x； 3 (2)sincos. 2 4 ( 4x) 6 4 ( 4x) 玩转跟踪 1.(1)cos 20cos 40cos 80； (2)tan 70cos 10(tan 201). 3 2.已知 sin，0 x
5、 ，求的值. ( 4x) 5 13 4 cos 2x cos( 4x) 3.已知函数 f(x)cos 2xsin 2x，xR. 3 (1)求 f(x)的最小正周期与值域； (2)求 f(x)的单调递增区间 题型三三角函数化简综合应用 例例 8 8(广东，16)已知 tan 2. (1)求 tan的值； ( 4) (2)求的值 sin 2 sin2sin cos cos 21 玩转跟踪 1(广东，16)已知函数 f(x)Asin，xR，且 f. (x 3)( 5 12) 3 2 2 (1)求 A 的值； (2)若 f()f()，求 f. 3 (0， 2)( 6 ) 玩转练习 1已知 ，cos ，
6、则 tan等于() (， 3 2) 4 5( 4 ) A7 B. C D7 1 7 1 7 2已知 sin ，则 sin2cos2的值为() 5 4 A B C. D. 1 8 3 8 1 8 3 8 3已知 cos ，cos()，都是锐角，则 cos 等于() 3 5 5 13 A B C. D. 63 65 33 65 33 65 63 65 4在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值是() A B. C. D 2 2 2 2 1 2 1 2 5已知 sin ，sin()，、 均为锐角，则 等于() 5 5 10 10 A. B. 5 12 3 C
7、. D. 4 6 6若 ，则 tan 2等于() 1cos 2 sin 2 1 2 A. B C. D 5 4 5 4 4 3 4 3 7函数 ysin x(3sin x4cos x)(xR)的最大值为 M，最小正周期为 T，则有序数对(M， T)为() A(5，) B(4，) C(1，2) D(4，2) 8如果 tan 、tan 是方程 x23x30 的两根，则_ sin（） cos（） 9已知 cossin ，则 sin的值是() ( 6) 4 3 5( 7 6) A B. 2 3 5 2 3 5 C D. 4 5 4 5 10已知 ，tan() ，则 tan _ sin cos 1cos 2 1 2 1 2 11已知 tan . ( 4 ) 1 2 (1)求 tan 的值； (2)求的值 sin 2cos2 1cos 2
