三角形中最值问题.docx

1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群 734924357 三角形中最值问题三角形中最值问题 例例 1三角形 ABC 面积为 S，若 222 1054cab，则 22 20 156 S ab 的最大值是_. 【答案】 1 6 【分析】据果变形，将已知 222 1054cab变形为 22222 101510106caabb，故 22222 156101010ababc，由余弦定理、面积公式转化为求C 范围的问题，直接 利用基本不等式求解. 【解析】将已知 222 1054cab变形为 22222 101510106caabb， 故 22222 156101010ababc， 由余弦定理得 2222

2、22 1010101020cosabcabcabC 所以 22 2010sin1 tan 15620cos2 SabC C ababC . 另一方面，由余弦定理得： 22 222222 222 33133 245 3 251025 cos 222210 ababbaab abc C abababab （当 且仅当 22 52ab时， “=”成立） 所以 1 tan 3 C ，故 22 2011 tan 15626 S C ab . 所以 22 20 156 S ab 的最大值是 1 6 . 点评： 本题采用“边化角”的策略，然后使用基本不等式求解，思路清晰明了. 例例 2在锐角三角形 ABC

3、中， 已知 2sin2A+ sin2B = 2sin2C， 则 111 tantantanABC 的最小 值为 【解析一】 （作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得： 222 22abc ， 如图，作 BDAC 于 D，设 ADx，CDy，BDh， 因为 222 22abc ，所以， 22222 2()()2()yhxyxh，化简，得： 22 230 xxyy，解得：x3y 关注公众号品数学 高中数学资料共享群 734924357 tan()tanBAC ， tantanC tanB 1tantanC A A ， 1tantan1 tantantan AC ACB ， 111 tantant

4、anABC 11 tantanAC tantan1 tantan AC AC 2 1 h xyxy hh hh xy 22 43 4 yhy hyh 13 13 442 yh hy . 【解析二】 （边化角）由正弦定理，得： 222 22abc ，即 2222 2+3bcab，由余弦定 理得： 2 4cos3bcAb，即4 cos3cAb，由正弦定理，得：4sincos3sinCAB，即 4sincos3sin()CAAC ，化简得tan3tanCA， 以tan A主元，化简 111 + tantantanABC 得 31331313 tan2tan= 412tan412tan2 AA AA

5、. 例例 3 在ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，若82 222 cba，则ABC的 面积的最大值为 【解法一】（边的方向）看到式子82 222 cba的结构特征，联想余弦定理得： 22222 33832 cos 242 abcab C ababab 所以 222222 113253 () sin()1 ()()1 442162 SabCababab ab 当 12 5 ab 时， 2 max 4 5 S ， ABC的面积的最大值为 2 5 5 【解法二】 （利用中线长定理化边） 联想三角形中线长定理，设 BC 边上的中线为 AM，则 2222 2()4abcAM 82 222 cb

6、a 222 82abc 代人得： 222 2(82)4ccAM，即 22 5416cAM 关注公众号品数学 高中数学资料共享群 734924357 根据基本不等式得： 2222 54162 544 5cAMcAMAM c 又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高 所以4 58 5AM cS 所以168 5S， 2 5 5 S ，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此 时ABC的面积的最大值为 2 5 5 【解法三】 （利用隐圆） 以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 设 A c 2，0，B c 2，0，C(x，y)，则由 a2b22c28， 得 x

7、c 2 2y2 xc 2 2y22c28，即 x2y245 4c 2， 所以点 C 在以原点(0,0)为圆心，45 4c 2为半径的圆上， 所以 Sc 2 45 4c 2 1 2 5 45 4c 2 5 4c 2 2 5 5 . 例例 4 4在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若ABC为锐角三角形，且满足 22 baac，求 11 tantanAB 的取值范围. 【解析】由余弦定理可得 222 2cosbacacB，可得 222 2cosaacacacB， 所以 2 (12cos)cacB，即(12cos )caB， 由正弦定理可得sinsin(12cos )CAB，即

8、sincoscossinsin(12cos )ABABAB， 可得cossinsin(1cos )ABAB，可得sintan(1cos)BAB， 所以 111coscos1 tantansinsinsin BB ABBBB . 因为ABC为锐角三角形，所以 222 abc，则 22 2aacc，即 2 2( ) cc aa ， 所以02 c a ， 又由(12cos )caB可得 11 cos(1)(0, ) 22 c B a ， 在ABC可得 12 3 (1,) sin3B ， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群 734924357 所以 11 tantanAB 的取值范围为 2 3 (1

9、,) 3 . 【变式训练】 1.若ABC的内角满足sinsin2sinABC，则角C的最大值是. 【解析】由sinsin2sinABC可得：2abc， 2 ab c 2 22 22 22 222 331331 2 12 442442 cos= 22222 ab ab abababab abc C abababab cosC在0，递减，0 3 C 2.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 1 tan A， 2 tan C， 1 tan B成等 差数列，则 cos C 的最小值为_. 【解析】 1 tan A， 2 tan C， 1 tan B成等差数列， 1 tan A

10、1 tan B 4 tan C， 即 cos A sin A cos B sin B 4cos C sin C ， 可得sin Bcos Asin Acos B sin Asin B sin C sin Asin B 4cos C sin C ， cos C sin2C 4sin Asin B，则 a2b2c2 2ab c2 4ab， 化简得 2(a2b2)3c2，故 cos Ca 2b2c2 2ab a 2b2 6ab 2ab 6ab 1 3(当且仅当 ab 时等号成立). 3. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若ABC为锐角三角形，且满足 22 cbab，则 1

11、1 2sin tantan C BC 的取值范围为_. 【解析】由 22 cbab得：sin()sin()sinsinCBCBAB，2CB 11sin()15 3 2sin2sin2sin(,3) tantansinsinsin3 CB CCC BCBCC . 4. 设ABC的 BC 边上的高 AD=BC,cba,分别表示角 A,B,C 对应的三边,则 b c c b 的取值范 围是. 【解析】【解析】: 因为 BC 边上的高 AD=BC=a,所以,sin 2 1 2 1 2 AbcaS ABC 所以.sin 2 bc a A 又因为),( 2 1 2 cos 2222 bc a b c c

12、b bc acb A 所以5sincos2AA b c c b , 同 关注公众号品数学 高中数学资料共享群 734924357 时, 2 b c c b 所以.5, 2 b c c b 5.在ABC 中，若 sin C2cos Acos B，则 cos2Acos2B 的最大值为_. 【解析】在ABC 中，利用 cos Ccos(AB) 易证 cos2Acos2Bcos2C2cos Acos Bcos C1， 所以 cos2Acos2B11cos 2C 2 sin Ccos C1 2 1 2(sin 2Ccos 2C) 1 2 2 2 sin 2C 4 1 2 2 ，当 sin 2C 4 1

13、即 C5 8时取“”. 故所求最大值为 21 2 . 6.在?th 中， 设角 ?，t，h 的对边分别是 ?，?，?，若 ?，?，? 成等差数列， 则 ? sin? ? ? sinh 的最小值为_ 【解析】由题得 ? ? ? ?，? cost ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以cost ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以? t t ? ?，? ? t sint ? ? ? ? ， 因为 ?sint ?sin? ? sinh，?sin? ? sinh ? ? ? ? ，? ?sin?sinh ? ? ? ? ? 所以 ? sinA ? ? sinC ? ? sin? ? ? sinh ? ?sin?sinh ? ? ? ? ? ?sin? sinh ?sinh sin? ? ? ? ? ? ? ?sin? sinh ?sinh sin? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故所求最小值为 ? ? ?