（2022高考数学一轮复习(创新设计)）第1节　函数及其表示.DOCX

1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 1 节函数及其表示 知 识 梳 理 1.函数与映射的概念 函数映射 两个集合 A，B 设 A，B 是两个 非空数集 设 A，B 是两个 非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关 系 f，使对于集合 A 中的任意 一个数 x， 在集合 B 中都有唯 一确定的数 f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关 系 f，使对于集合 A 中的任意 一个元素 x， 在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 名

2、称 称 f：AB 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数 称 f：AB 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射 记法函数 yf(x)，xA映射：f：AB 2.函数的定义域、值域 (1)在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函 数. 3.函数的表示法 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48312

3、2854 期待你的加入与分享 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域 的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 1.由函数解析式确定定义域的原则 (1)分式中，分母不为 0； (2)偶次根式中，被开方数非负； (3)对于幂函数 yx，如果0，要求 x0； (4)对数函数中，真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1； (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1； (6)正切函数 y

4、tan x 要求 xk1 2，kZ. 2.与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点. 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)函数 y1 与 yx0是同一个函数.() (2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.() (3)函数 y x211 的值域是y|y1.() (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)函数 y1 的定义域为 R，而 yx0的定义域为x|x0，其定义域不同， 故不是同一函数. (3)由于 x211，故 y x2110，故函数 y x211 的值域是y|y0. (4)当两个函数的定

5、义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 2.(必修 1P25B2 改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 N y|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案B 解析A 中函数定义域不是2，2，C 中图形不表示函数图象，D 中函数值域 不是0，2. 3.设函数y 4x2的定义域为A， 函数yln(1x)的定义域为B， 则AB() A.(1，2)B.(1，2 C.(2，1)D.2，1) 答案D 解

6、析由 4x20 得2x2，A2，2，由 1x0 得 x1， B(，1).AB2，1)，故选 D. 4.已知 a 为实数，设函数 f(x) x2a，x2， log2（x2） ，x2，则 f(2 a2)的值为( ) A.2aB.aC.2D.a 或 2 答案B 解析因为 2a22，所以 f(2a2)log2(2a22)a，故选 B. 5.设函数 f(x)2x3，g(x2)f(x)，则 g(x)_. 答案2x1 解析由题意得 g(x2)2x32(x2)1， g(x)2x1. 6.(2021北仑中学模拟)已知 f(x) x 2，x0， x2，x0， 则 f(f(1)_；f(f(x)1 的 解集为_. 答

7、案 1 2 2，4 解析因为 f(1)1，所以 f(f(1)f(1)1 2，令 f(t)1，则有 t2 或 t1， 当 f(x)2 时，若 x0，则 x4；若 x0，则 x 2，当 t1 时，f(x)1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 无解，所以该方程的解集为 2，4. 考点一求函数的定义域 【例 1】 (1)(2021金丽衢十二校联考)函数 y 32xx2的定义域是_， 值域是_. (2)若函数 yf(x)的定义域是1，2 020，则函数 g(x)f

8、（x1） x1 的定义域是 _. 答案(1)3，10，2(2)x|0 x2 019，且 x1 解析(1)由 32xx20， 得3x1， 所以函数 y 32xx2的定义域为 3， 1.当 x1 时， y 32xx2取得最大值 2， 当 x1 或3 时， y 32xx2 取得最小值 0，所以函数 y 32xx2的值域为0，2. (2)yf(x)的定义域为1，2 020， g(x)有意义，应满足 1x12 020， x10. 0 x2 019，且 x1. 因此 g(x)的定义域为x|0 x2 019，且 x1. 感悟升华求函数定义域的类型及方法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(

9、组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)若已知 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域可由 ag(x)b 求出；若已知 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域. 【训练 1】 (1)已知函数 f(x) x的定义域为(1，2)，则函数 f(x2)的定义域是() A.(1，2)B.(1，4) C.RD.( 2，1)(1， 2) (2)已知函数f(x) 2x22axa1)， 当a1时， 不等式f(x)1的解集是_； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与

10、分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 若函数 f(x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_. 答案(1)D(2)(，02，)0，1 解析(1)由题意，得 1x22，解得 2x1 或 1x1) (3)2 3 x1 3 解析(1)设 f(x)a(x1)(x2)(xm)1， 则 f(3)2a(3m)12，f(4)6a(4m)12， 解得 3m123mm9 2，f(3)3a12， 此时 a1 3， f(5)1 3(51)(52) 59 2 11. (2)令 t2 x1(t1)，则 x 2 t1， f(t)lg 2 t1，即 f(x)lg 2

11、 x1(x1). (3)在 f(x)2f 1 x x1 中， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 将 x 换成1 x，则 1 x换成 x，得 f 1 x 2f(x) 1 x1， 由 f（x）2f 1 x x1， f 1 x 2f（x） 1 x1， 解得 f(x)2 3 x1 3. 感悟升华求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值 范围.

12、(3)构造法： 已知关于 f(x)与 f 1 x 或 f(x)的表达式， 可根据已知条件再构造出另外 一个等式，通过解方程组求出 f(x). (4)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后 以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式. 【训练 2】 (1)已知 f( x1)x2 x，则 f(x)_. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x).若当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则 当1x0 时，f(x)_. (3)定义在(1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，则 f(x)_. 答案(1)x

13、21(x1)(2)1 2x(x1) (3)2 3lg(x1) 1 3lg(1x)，(1x1) 解析(1)令 x1t，则 x(t1)2(t1)，代入原式得 f(t)(t1)22(t1)t21， 所以 f(x)x21(x1). (2)当1x0 时，0 x11， 由已知 f(x)1 2f(x1) 1 2x(x1). (3)当 x(1，1)时， 有 2f(x)f(x)lg(x1). 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 将 x 换成x，则x 换成 x， 得 2f(x

14、)f(x)lg(x1). 由消去 f(x)得， f(x)2 3lg(x1) 1 3lg(1x)，x(1，1). 考点三分段函数 角度 1求分段函数的函数值 【例 31】 设函数 f(x) 1log2（2x） ，x1， f(log212)2(log2121)2log266， 因此 f(2)f(log212)369. 角度 2求参数的值或取值范围 【例 32】 (1)设 f(x) x，0 x1. f(a)f(a1)， a2(a11)， 解得 a1 4，f 1 a f(4)2(41)6. (2)f(1)2e02，f(f(1)f(2)log3(41)1.当 x2 时，f(x)2，即 ex 11e0，

15、x1，1x2.当 x2 时，f(x)2，即为 log3(x21)2log332，x210， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 x 10或 x 10，x 10. 感悟升华(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间， 其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析 式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取 值范围. 提醒当分段函数的自变量范围不

16、确定时，应分类讨论. 【训练 3】 (1)已知函数 f(x) 2x 12，x1， log2（x1） ，x1，且 f(a)3，则 f(6a) () A.7 4 B.5 4 C.3 4 D.1 4 (2)已知 f(x) x3，x0， x2x1，x0，则 f(2)_；不等式 f(x)f(1)的解集为 _. 答案(1)A(2)5(2，0)(1，) 解析(1)当 a1 时，f(a)2a 123， 即 2a 11，不成立，舍去； 当 a1 时，f(a)log2(a1)3， 即 log2(a1)3，解得 a7， 此时 f(6a)f(1)2 227 4.故选 A. (2)根据题意得 f(x) x3，x0， x

17、2x1，x0，则 f(2)4215，f(1)1111， 对于 f(x)f(1)，即 f(x)1，当 x0 时，f(x)1 即 x31，解得2x0，当 x0 时，f(x)1 即 x2x11，解得 x1，综上可得，不等式的解集为(2， 0)(1，). 基础巩固题组 一、选择题 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1.已知函数 f(x)的定义域为3，6，则函数 y f（2x） log1 2（2x） 的定义域为() A. 3 2，B. 3 2，2 C. 3 2，D

18、. 1 2，2 答案B 解析由 32x6， 2x0， log1 2（2x）0， 解得3 2x0，有 y20 x 2 0成 立. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 9.小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经过点 B 跑 到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明 跑步的时间为 t(s)， 他与教练间的距离为 y(m)， 表示 y 与 t 的函数关系的图象大致 如图 2 所示，则这个固定位置

19、可能是图 1 中的() A.点 MB.点 NC.点 PD.点 Q 答案D 解析由图知固定位置到点 A 距离大于到点 C 距离， 所以舍去 N， M 点， 不选 A， B；若是 P 点，则从最高点到 C 点依次递减，与图 1 矛盾，因此取 Q，即选 D. 二、填空题 10.(2021北京密云区段测)已知函数 yf(x)满足 f(x1)2f(x)，且 f(5)3f(3)4， 则 f(4)_. 答案8 解析因为 f(x1)2f(x)，且 f(5)3f(3)4，故 2f(4)3 2f(4)4，解得 f(4)8. 11.已知 f(x) x3，x9， f（f（x4） ） ，x0，所以 f 1 x log2

20、x，则 f(x)log21 xlog 2x. 13.记x为不超过 x 的最大整数，如1.22，2.32，已知函数 f(x) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2x1，x1， x21，x1， 则 f(f(1.2)_，f(x)3 的解集为_. 答案3 2，3) 解析根据x的定义，得 f(f(1.2)f(2.44)22.4413. 当 x1 时，由 f(x)2x13， 得x2，所以 x1，3)； 当 x1 时，由 f(x)x213， 得 2x1.故原不等式的解

21、集为 2，3). 14.已知函数 f(x) x22x，x0， x22x，x0. 若 f(a)f(a)0，则实数 a 的取值范围是 _. 答案2，2 解析依题意可知 a0， （a）22（a）a22a0 或 a0， 0，x0， 1，x0 时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x； 当 x0 时，|x|x，sgn x1，则|x|xsgn x； 当 x0 时，|x|x0，sgn x0，则|x|xsgn x. 16.设函数 f(x) 3x1，x1， 2x，x1， 则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加

22、入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A. 2 3，1B.0，1 C. 2 3，D.1，) 答案C 解析由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1. 当 a1 时，有 3a11，a2 3， 2 3a1. 当 a1 时，有 2a1，a0，a1. 综上，a2 3. 17.(2021北仑中学模拟)设 f(x) 2x2 x1， g(x)ax52a(a0)， 若对于任意 x 10， 1，总存在 x00，1，使得 g(x0)f(x1)成立，则 a 的取值范围是() A. 5 2，4B.4，) C. 0，5 2D. 5 2， 答案A 解析f(x)2x

23、（x2） （x1）2 ，f(x)在0，1上单调递增，当 x10，1时，f(x1)0， 1； 当 x00， 1时， g(x0)52a， 5a.因为对于任意 x10， 1， 总存在 x00， 1，使得 g(x0)f(x1)成立，所以可知0，152a，5a，即 5a1， 52a0，解得 5 2a4，故选 A. 18.设函数 f(x)x33x21，已知 a0，且 f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实 数 a_，b_. 答案21 解析f(x)x33x21，则 f(a)a33a21， f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)(x22axa2) x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2

24、a33a2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由此可得 2ab3， a22ab0， a33a2a2b. a0，由得 a2b，代入式得 b1，a2. 19.已知函数 f(x) x2 x3，x1， lg（x21） ，x1， 则 f(f(3)_，f(x)的最小值是 _. 答案02 23 解析f(3)lg(3)21lg 101， f(f(3)f(1)0. 当 x1 时，f(x)x2 x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，此时 f(x) min 2 230； 当x1时， f(x)lg(x21)lg 10， 当且仅当x0时， 取等号， 此时f(x)min0.f(x) 的最小值为 2 23. 20.已知函数 y xa x21 (aR)的值域是 1 4，m，则常数 a_，m _. 答案 3 4 1 解析y xa x21y(x 21)xayx2x(ya)0.函数 yxa x21(aR)的值 域为 1 4，m， (1)24y(ya)04y24ay10， 1 4，m 是方程 4y 24ay10 的两根， 1 4ma， 1 4 m1 4 a3 4， m1.