3.2.1　单调性与最大(小)值.pptx

1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 3.2.1单调性与最大(小)值 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.理解增函数和减函数的定义理解增函数和减函数的定义. 2.理解函数单调性的含义理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函掌握利用定义证明函 数单调性的方法数单调性的方法. 3.能利用函数单调性的定义或图象求函数的单能利用函数单调性的定义或图象求函数的单 调区间调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题能够利用函数的单调性解决有关问题. 4.进一步体会数学抽象和逻辑推理的过程进一步体会数学抽象和逻辑推理的过程

2、,提高提高 学生的逻辑推理能力学生的逻辑推理能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、增函数、减函数、单调区间的定义一、增函数、减函数、单调区间的定义 【问题思考】【问题思考】 1.结合下列函数的图象结合下列函数的图象,分析其变化规律分析其变化规律,回答下列问题回答下列问题: (1)对于函数对于函数f(x)=2x,其定义域为其定义域为R.在区间在区间(-,+)内内,图象从左图象从左 到右是上升还是下降到右是上升还是下降?函数值随函数值随x的增大而增大还是减小的增大而增

3、大还是减小? (2)对于函数对于函数f(x)=x2,其定义域为其定义域为R.在区间在区间(-,0)内内,图象从左到图象从左到 右是上升还是下降右是上升还是下降?函数值随函数值随x的增大而增大还是减小的增大而增大还是减小?在区在区 间间(0,+)内内,图象从左到右是上升还是下降图象从左到右是上升还是下降?函数值随函数值随x的增大的增大 而增大还是减小而增大还是减小? 提示提示:(1)上升上升,增大增大;(2)下降下降,减小减小;上升上升,增大增大. ？ 2.填空填空:(1) ？ (2)当函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增时在它的定义域上单调递增时,称它是称它是增函数增函数;当当 函数函数f

4、(x)在它的定义域上单调递减时在它的定义域上单调递减时,称它是称它是减函数减函数. (3)如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上上单调递增单调递增或或单调递减单调递减,那么就说那么就说 函数函数y=f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性单调性,区间区间D叫做叫做y=f(x) 的的单调区间单调区间. ？ 答案答案:D ？ 二、函数的最值二、函数的最值 【问题思考】【问题思考】 1.观察函数观察函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)= (x0)的图象的图象,回答问题回答问题: (1)三个函数的图象都有最低点吗三个函数的图象都有最低点吗? (2)三个函数的单调性如何三个

5、函数的单调性如何? 提示提示:(1)g(x)的图象有最低点的图象有最低点,f(x),h(x)的图象没有最低点的图象没有最低点; (2)f(x)在在R上单调递增上单调递增;g(x)在区间在区间(-,0)内单调递减内单调递减,在区间在区间 (0,+)内单调递增内单调递增;h(x)在区间在区间(0,+)内单调递减内单调递减. ？ 2.填空填空: ？ 答案答案:B ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)如果如果f(-1)f(1).( ) (3)若函数若函数f(x)在区间在区间(1,2和

6、和(2,3)内都单调递增内都单调递增,则函数则函数f(x)在在 区间区间(1,3)内单调递增内单调递增.( ) (4)任何函数都有最大任何函数都有最大(小小)值值.( ) (5)函数函数f(x)在区间在区间a,b上的最值一定是上的最值一定是f(a)(或或f(b).( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 证明证明函数的单调性函数的单调性 ？ 反思感悟反思感悟 定义定义法证明函数法证明函数f(x)在区间在区间D上单调递增上单调递增(单调递减单调递减)的一般步的一般步 骤骤: (1)取值取值: x1,x2D; (2)作差变形作差变形:作差作差f(x1)-f(x2),并利用因式

7、分解、配方、通分、并利用因式分解、配方、通分、 分子分母有理化等方法对差式进行变形分子分母有理化等方法对差式进行变形; (3)定号定号:确定确定f(x1)-f(x2)的正负的正负; (4)下结论下结论:根据函数单调递增根据函数单调递增(单调递减单调递减)的定义得出结论的定义得出结论. ？ ？ 探究探究二二 求求函数的单调区间函数的单调区间 【例【例2】 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间: (1)f(x)=-2x+1; (2)f(x)=x2+4x-1; (3)f(x)=|x+1|+|x-2|. ？ 解解:(1)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,由函数图象由函数图象(图略图略)可知可

8、知,f(x)在在R 上单调递减上单调递减,因此函数的单调递减区间是因此函数的单调递减区间是(-,+),无单调递增无单调递增 区间区间. (2)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,其图象是开口向上的抛物线其图象是开口向上的抛物线,抛物线抛物线 的对称轴是直线的对称轴是直线x=-2,由图象由图象(图略图略)可知可知,该函数的单调递增该函数的单调递增 区间是区间是-2,+),单调递减区间是单调递减区间是(-,-2. ？ (3)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R, 该函数的大致图象如右该函数的大致图象如右: 由图象可知由图象可知,该函数的单调递增区间是该函数的单调递增区间是2,+), 单调单调

9、递减区间是递减区间是(-,-1. ？ 将本例中的将本例中的(2)改为改为:若函数若函数f(x)=x2+ax-1在区间在区间2,+)内单调内单调 递增递增,试求实数试求实数a的取值范围的取值范围. ？ 反思感悟反思感悟 求求函数单调区间的基本方法函数单调区间的基本方法 (1)熟记常见函数的单调区间熟记常见函数的单调区间: 一次函数一次函数y=kx+b,当当k0时在时在R上单调递增上单调递增,当当k0时时,在区间在区间(-,0)和和(0,+)内单调递减内单调递减; 当当k0时时,在区间在区间(-,0)和和(0,+)内单调递增内单调递增. (2)分段函数的单调区间分段函数的单调区间,可以先画出函数的

10、图象可以先画出函数的图象,再结合图象再结合图象 观察分析得到单调区间观察分析得到单调区间;含有绝对值的函数含有绝对值的函数,通常可以转化为通常可以转化为 分段函数后再通过图象得到其单调区间分段函数后再通过图象得到其单调区间. (3)已知二次函数在某一区间的单调性已知二次函数在某一区间的单调性,求参数的取值范围时求参数的取值范围时, 通常根据图象的对称轴与区间端点的大小关系建立不等式求通常根据图象的对称轴与区间端点的大小关系建立不等式求 解解. ？ 探究探究三三 利用利用单调性求函数的最值单调性求函数的最值 ？ ？ 反思感悟反思感悟 利用利用函数的单调性求最值的方法步骤函数的单调性求最值的方法步

11、骤 (1)利用单调性的定义或图象或其他方法判断函数在相应区利用单调性的定义或图象或其他方法判断函数在相应区 间上的单调性间上的单调性; (2)根据函数的单调性确定函数取得最值的点根据函数的单调性确定函数取得最值的点; (3)代入函数的解析式求得最值代入函数的解析式求得最值. ？ 答案答案:3 ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 混淆混淆“单调区间单调区间”与与“在区间上单调在区间上单调”致错致错 【典例】【典例】 若函数若函数y=|x-2a|在区间在区间(-,6上单调递减上单调递减,求实数求实数a的的 取值范围取值范围. 错解错解:函数函数y=|x-2a|的图象如图所示的图象如图所示. 因为函数在

12、区间因为函数在区间(-,6上单调递减上单调递减,所以有所以有2a=6,即即a=3. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:错解是由于对错解是由于对“函数的单调区间是函数的单调区间是(-,6”和和“函数在区函数在区 间间(-,6上单调递减上单调递减”理解不清理解不清,将二者等同起来而导致的将二者等同起来而导致的,事事 实上实上,二者的含义是不同的二者的含义是不同的. 正解正解:函数函数y=|x-2a|的图象如图所示的图象如图所示,因为函数在区间因为函数在区间(-,6上上 单调递减单调递

13、减,所以有所以有2a6,即即a3. ？ 防范措施防范措施 单调单调区间是一个整体的概念区间是一个整体的概念,例如函数的单调递减区间是例如函数的单调递减区间是D, 指的是函数递减的最大范围是区间指的是函数递减的最大范围是区间D,而函数在而函数在D上单调递减上单调递减, 则区间则区间D是相应单调递减区间的子区间是相应单调递减区间的子区间,在解决此类问题时在解决此类问题时, 一定要将两种不同的说法区分开来一定要将两种不同的说法区分开来. ？ 答案答案:m1 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列说法正确的是下列说法正确的是() A.若存在若存在x1,x2R,当当x1x2时时,有有f(x1)0)在区间在区间1,3上的最大值为上的最大值为4,则则a=. 解析解析:因为因为a0,所以函数所以函数y=ax+1在区间在区间1,3上单调递增上单调递增,因此因此 3a+1=4,解得解得a=1. 答案答案:1