5.2.3　简单复合函数的导数.pptx

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.能根据定义求基本初等函数的导数. 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能 求简单的复合函数的导数. 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 5.2.2导数的四则运算法则 5.2.3简单复合函数的导数 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享

2、 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 原函数导函数 f(x)=c(c为常数)f(x)=0 f(x)=x(Q,且0)f(x)=x-1 f(x)=sinxf(x)=cosx f(x)=cosxf(x)=-sinx f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=axlna f(x)=exf(x)=ex f(x)=logax(a0,且a1)f(x)= f(x)=lnxf(x)= 1 lnxa 1 |基本初等函数的导数公式 1 x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动

3、的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 名称内容说明 和、差的导数f(x)g(x)=f(x)g(x)“”前后一致 积的导数f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)g(x)=c cf(x)=cf(x)+cf(x)=cf(x) 商的导数 = g(x)0 f(x) g(x) 2 f( ) ( )- ( ) ( ) g(x) x g x f x g x 2 |导数的四则运算法则 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.复合

4、函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x). 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x),它的导数与函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux.即y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积. 3 |复合函数的概念及其求导法则 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应

5、用 1.若f(x)=,则f(x)=.() 提示:f(x)=,f(x)=,故正确. 2.(log3x)=.() 提示:(log3x)=,故错误. 3.已知函数y=2lnx-2x,则y=-2xln2.() 提示:y=(2lnx)-(2x)=-2xln2,故正确. 4.若函数f(x)=,则f(x)=.() 提示:f(x)=,故错误. x 1 2 x x 1 2 x 1 2 1-1 2 x 1 2 x 1 3ln x 1 ln3x 2 x 2 x 2 ex x 3 e (2) x x x 22 4 (e )-e () xx xx x 2 4 e (-2 ) x xx x 3 e ( -2) x x x

6、 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 5.函数y=xln(2x+5)的导数为ln(2x+5)+.() 25 x x 提示:y=xln(2x+5)=xln(2x+5)+xln(2x+5)=ln(2x+5)+x(2x+5)=ln(2x+5)+ ,故错误. 6.曲线y=eax在x=1处的切线的斜率为ea.() 提示:y=eax(ax)=aeax,k=yx=1=aea,故错误. 1 25x 2 25 x x 第第1讲描述运动的基本概念讲描

7、述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1|利用导数的四则运算法则求函数的导数 利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略 1.对于分式中分子、分母齐次结构的函数,可考虑通过裂项化为和、差形式: 若待求导的函数是两个函数商的形式,则可先对函数进行适当变形,再求导,这样 会大大减少运算量. 2.对于根式型函数,可考虑进行有理化变形: 有理化变形通常有两种形式:一是分子中含有根式,则进行分子有理化;二是分母 中含有根式,则进行分母有理化.如果所给两“项”的分母是互为有理化因式的 结构形式,则直接通分就能达到分母有理化

8、的效果,从而使化简过程更为简捷. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 3.对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和、差形式: 若待求导的函数为多个整式乘积的形式,则可以利用多项式的乘法法则,化为 和、差的形式,再求导,其运算过程将会简化,运算量将会减小. 4.对于三角函数,可考虑恒等变形 对含有三角函数式的函数求导,往往需要利用三角恒等变换公式,对函数式进行 化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第

9、第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 求下列函数的导数. (1)y=(x2+1)(x-1);(2)y=x3ex; (3)y=;(4)y=; (5)y=sin4+cos4. cosx x 2 2 1 x x 4 x 4 x 思路点拨 (1)先展开,再求导;(2)(3)(4)结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接 求导;(5)先化简,再求导. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解析(1)y=(x2+1)(

10、x-1)=x3-x2+x-1, y=3x2-2x+1. (2)y=(x3ex)=(x3)ex+x3(ex)=3x2ex+x3ex. (3)y= =-. (4)y= =. (5)y=sin4+cos4 =-2sin2cos2 cosx x 2 (cos )-cosxxx x x 2 - sin -cosxxx x 2 sincosxxx x 2 2 1 x x 22 22 (2 ) (1)-2(1) (1) xxxx x 22 22 2(1)-4 (1) xx x 2 22 2-2 (1) x x 4 x 4 x 2 22 sincos 44 xx 4 x 4 x 第第1讲描述运动的基本概念讲描

11、述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 =1-sin2=1-=+cosx, 1 22 x1 2 1-cos 2 x3 4 1 4 y=-sinx. 陷阱分析此类问题出错的原因主要有两个:一是基本初等函数的导数公式记忆 不准确;二是求导法则掌握不准确,尤其是对积与商的求导法则中的符号出现混 淆,导致运算结果错误.对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注 意化简过程中变换的等价性. 31 cos 44 x 1 4 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概

12、念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 2|利用导数的四则运算法则解决切线问题 1.利用导数的四则运算法则解决切线问题,有以下几种常见题型: (1)求在某点处的切线方程; (2)已知切线的方程或斜率求切点; (3)切线问题的综合应用. 2.切线问题的处理方法 (1)对函数进行求导; (2)若已知切点,则求出切线斜率、切线方程; (3)若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标. 在解决此类问题时,求函数的导数是基础,抓切点是关键. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数

13、的导数及其应用一次函数的导数及其应用 已知函数f(x)=,g(x)=alnx,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有 相同的切线,求a的值及该切线的方程. x 思路点拨 设出交点的横坐标求导并表示出切线的斜率解方程组求a的值. 解析由题意得,f(x)=,g(x)=(x0), 设两曲线交点的横坐标为x0, 则解得 所以两曲线的交点坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f(e2)=,所以切线方程为y-e= (x-e2),即x-2ey+e2=0. 1 2 x a x 00 0 0 ln, 1 , 2 xax a xx 2 0 e , 2 e . a x 1 2e 1 2e 第第1

14、讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 (1)曲线y=-在点M处的切线的斜率为(B) A.-B.C.-D. (2)已知曲线f(x)=x3+ax+b在点P(2,-6)处的切线方程是13x-y-32=0. 求a,b的值; 如果曲线y=f(x)的切线与直线y=-x+3垂直,求切线的方程. 解析(1)y= =,y=, 曲线在点M处的切线的斜率为. sin sincos x xx 1 2 ,0 4 1 2 1 2 2 2 2 2 1 4 2 cos (sincos )-sin (cos -sin

15、) (sincos ) xxxxxx xx 2 1 (sincos )xx 4 x 1 2 ,0 4 1 2 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 (2)f(x)=x3+ax+b的导数f(x)=3x2+a, 由题意可得解得 (2)1213, (2)82-6, fa fab 1, -16. a b 由知f(x)=x3+x-16,f(x)=3x2+1. 切线与直线y=-x+3垂直,切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则f(x0)=3+1=4,x0=1. 由f(x)=x

16、3+x-16,可得y0=1+1-16=-14或y0=-1-1-16=-18, 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18, 即y=4x-18或y=4x-14. 1 4 2 0 x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解题模板 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条 件可以转化为这三个元素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的关键,务必做到准确. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动

17、的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 3|复合函数的导数及其应用 情境如何求函数y=的导数? 1 1-2x 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 问题 1.分析函数的运算特点,函数y=是怎样构成的? 提示:函数y=是由y=与t=1-2x通过复合运算得到的. 2.函数y=是什么函数?如何求其导数? 提示:y=是幂函数,利用公式(x)=x-1(Q,0)求其导数,因此y= ()=-. 3.如何利用函数y=与t=1-2x的导数求出函数

18、y=的导数? 提示:由yt=-,tx=(1-2x)=-2,得yx=yttx=-(-2),再将t=1-2x代入,得yx=-(1-2x (-2)=(1-2x. 1 1-2x 1 1-2x 1 t 1 t 1 t 1 -2 t 1 t 1 -2 t 1 2 3 -2 t 1 t 1 1-2x 1 2 3 -2 t 1 2 3 -2 t 1 2 3 -2 ) 3 -2 ) 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 1.复合函数求导的步骤 2.求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基

19、本初等函数; (2)求导时分清是对哪个变量求导; (3)计算结果尽量简单. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 求下列函数的导数. (1)y=e2x+1;(2)y=5log2(1-x); (3)y=e-xsin2x;(4)y=. ln3 ex x 思路点拨 选定中间变量u,确定基本初等函数y=f(u),u=g(x)由外到内求导变量回代 相乘. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函

20、数的导数及其应用 解析(1)函数y=e2x+1可看成函数y=eu和u=2x+1的复合函数, yx=yuux=(eu)(2x+1)=2eu=2e2x+1. (2)y=5log2(1-x)(1-x)=5(-1)=-. (3)y=(e-x)sin2x+e-x(sin2x)=-e-xsin2x+2e-xcos2x. (4)y= =. 1 (1- )ln2x 5 (1- )ln2x 2 (ln3 ) e -ln3(e ) (e ) xx x xx 2 1 e -ln3e (e ) xx x x x 1- ln3 ex xx x 解题模板 确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始

21、,由 外及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数,逐步确 定复合过程. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程. 思路点拨 利用复合函数求导法则求出函数的导数,再利用导数的几何意义求切线方程. 解析f(x)=ln(1+x)-x+x2,f(x)=-1+2x, f(1)=.又f(1)=ln2,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-ln2=(x-1),即3x- 2y+2ln2-3=0. 1 1x 3 2 3 2 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第五章第五章 一次函数的导数及其应用一次函数的导数及其应用 解题模板 (1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法,它适用于任何可导函数. (2)求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是不是切点.若切点没有给出,一般是 先把切点设出来,并求出切点,再求切线方程.