8.1基本立体图形.pptx

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 必修第二册 人教A版 本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 8.1基本立体图形 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球的结构特征. 2.理解柱、锥、台之间的关系,认识简单组合体的结构特征. 3.能运用柱、锥、台、球的结构特征进行有关计算. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 空间几何体 类别定义图示相关概念 多面体 一般地,由若干个 平面多边形 围成的

2、几何体叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面,如面ABE,面 BAF;两个面的公共边叫做 多面体的棱,如棱AE,棱EC; 棱与棱的公共点叫做多面体 的顶点,如顶点E,顶点C 旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在 平面内的一条定直线 旋转所 形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转 面围成的几何体叫做旋转体 这条定直线叫做旋转体的轴 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 棱柱、棱锥、棱台 名称定义图形及表示相关概念结构特征 棱柱 一般地,有两个面互相平行 , 其余各面都是四边形 ,并 且相邻两个四边形的公共边都 互相平行 ,由这些面所围

3、成的多面体叫做棱柱 记作:棱柱ABCDEF -A1B1C1D1E1F1 底面:两个互相平 行的面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的 公共边; 顶点:侧面与底面 的公共顶点 (1)底面互相平行且 全等; (2)侧面都是平行 四边形; (3)侧棱都相等且 互相平行 棱锥 一般地,有一个面是多边形 , 其余各面都是有一个公共顶点 的三角形 ,由这些面所围 成的多面体叫做棱锥 记作:棱锥S-ABCD 底面:多边形面; 侧面:有公共顶点 的各个三角形面; 侧棱:相邻侧面的 公共边; 顶点:各侧面的公 共顶点 (1)底面是一个多 边形; (2)侧面都是三角 形; (3)各侧面有一个 公共顶点 第第1讲

4、描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 棱台 用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面和截 面之间那部分多面体叫做棱 台 记作:棱台ABCD- A1B1C1D1 上底面:原棱锥的截 面; 下底面:原棱锥的底 面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公 共边; 顶点:侧面与上(下) 底面的公共顶点 (1)上、下底面互 相平行且是相似 图形; (2)各侧棱的延长 线交于一点; (3)各侧面为梯形 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 棱柱的分类与性质 1.棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数分类:底面是三角

5、形、四边形、五边形的棱柱分 别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 (2)按侧棱与底面的关系分类: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱; 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱; 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 (3)常见的四棱柱及其关系: 它们的关系用集合表示: 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 2.直棱柱的性质 (1)侧棱垂直于底面; (2)侧面都是矩形; (3)侧面垂直于底面. 3.正棱柱的性质 (1)侧棱垂直于底面,侧面垂直于底面; (2)侧面都是全等的矩形;

6、(3)底面是全等的正多边形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 棱锥的分类与正棱锥的性质 1.棱锥的分类 按底面多边形的边数分类:底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别 叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥 2.正棱锥 底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 3.正棱锥的性质 (1)正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形; (2)正棱锥的各侧棱都相等; (3)正棱锥的顶点与底面正多边形中心的连线垂直于底面. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 棱台的分类与正棱台的性质 1.棱

7、台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱 台 2.正棱台 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. 3.正棱台的性质 (1)正棱台的侧棱都相等,侧面是全等的等腰梯形,各等腰梯形的高(正棱台的 斜高)相等; (2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形; (3)正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;正棱 台的两底面中心连线、侧棱和两底面中心分别与该侧棱相应端点的连线也组成一 个直角梯形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及相关概念 名称定义图形及表示相关概念 圆

8、柱 以矩形 的一边所在直线为 旋转轴,其余三边旋转一周形成 的面所围成的旋转体叫做圆柱 记作:圆柱OO 轴:旋转轴叫做圆柱的轴; 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆 面叫做圆柱的底面; 侧面:平行于轴的边旋转而成的曲 面叫做圆柱的侧面; 母线:无论旋转到什么位置,平行 于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 圆锥 以直角三角形的一条 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋 转一周形成的面所围成的旋转 体叫做圆锥 记作:圆锥SO 轴:旋转轴叫做圆锥的轴; 底面:垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆锥的底面; 侧面:直角三角形的

9、斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂 直于轴的边都叫做圆锥侧面的母 线 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 圆台 用平行于圆锥底面 的平 面去截圆锥,底面与截面之间的 部分叫做圆台 记作:圆台OO 与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 底面、侧面、母线 球 半圆以它的直径 所在直 线为旋转轴,旋转一周形成的曲 面叫做球面,球面所围成的旋转 体叫做球体,简称球 记作:球O 球心:半圆的圆心叫做球的球心; 半径:连接球心和球面上任意一点 的线段叫做球的半径; 直径:连接球面上两点并且经过球 心的线段叫做球的直径 第第1讲

10、描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 旋转体的结构特征 1.圆柱的结构特征 (1)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个与底面全等的圆面. (2)经过圆柱的轴的截面是一个矩形,其两邻边分别是圆柱的母线和底面直径, 经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面. (3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴. 2.圆锥的结构特征 (1)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面是一个比底面小的圆面. (2)经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形,其底边是圆锥底面的直径,两腰是 圆锥侧面的两条母线. (3)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线. 第第1

11、讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 3.圆台的结构特征 (1)用一个平行于圆台上、下底面的平面去截圆台,截面是一个圆面. (2)经过圆台的轴的截面是一个等腰梯形,其上、下底边是圆台上、下底面的 直径,两腰是圆台侧面的两条母线. 4.球的结构特征 用一个平面去截一个球,截面是一个圆面.如果截面经过球心,则截面圆的半径 等于球的半径;如果截面不经过球心,则截面圆的半径小于球的半径. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 简单几何体的分类 1. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章

12、 立体几何初步立体几何初步 2. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 1.棱柱的所有侧棱都平行且相等.() 2.棱台的上、下底面互相平行,且各侧棱的延长线相交于一点.() 3.圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面 是等腰梯形.() 4.各个面都是三角形的几何体是三棱锥.( ) 提示：如图,该几何体的各个面都是三角形,但该几何体不是三棱锥. 判断正误，正确的画“” ，错误的画“ ” . 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 提示：经过圆台的轴的平面截圆台得到的等

13、腰梯形的腰才是圆台侧面的母线.如 图,PP1是母线,而PB不是母线. 5.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线都是圆台侧面的母 线.( ) 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如何确定多面体的截面 如图所示,将装有水的长方体水槽(图1)固定底面一边BC后,倾斜一定角度(图 2、图3),则倾斜后水槽中的水面是什么形状? 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 1.在图2中,水面与长方体的哪些棱相交,水面是什么形状? 提示:水面与长方体的棱AA1、BB1、CC1、DD1相交,水面的形

14、状是矩形. 2.在图3中,水面与长方体的哪些棱相交,水面是什么形状? 提示:水面与长方体的棱AB、BB1、CC1、CD相交,水面的形状是矩形. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 作截面的步骤 一是确定截面与多面体的哪些棱相交;二是找到截面与多面体相交棱的公共 点;三是将所得的公共点依次连接起来,画出截面. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AB、BC的中点,画出过D1、M、N三点 的截面. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 思路点拨 找出截面与长方体各棱的交点,然后将所

15、有交点顺次连接形成截线,截线构成的多 边形所在的平面即为过D1、M、N三点的截面. 解析 如图,连接MN,延长NM、DA,交于点E,连接D1E,交A1A于点P,延长MN、DC, 交于点F,连接D1F,交C1C于点Q,多边形D1PMNQ所在平面即为过D1、M、N三点的 截面. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如图所示的几何体中,四边形AA1B1B是边长为3的正方形,CC1=2,CC1AA1,这个几何 体是棱柱吗?若是,指出是几棱柱;若不是,请你试用一个平面截去一部分,使剩余部 分是一个侧棱长为2的三棱柱,并指出截去的几何体的特征,在立体图中

16、画出截面. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 思路点拨 利用棱柱的结构特征判断该几何体是不是棱柱,若不是,根据题中条件作出适当的 截面. 解析 这个几何体不是棱柱,因为没有互相平行的两个面.截面如图所示, 截去的部分是一个四棱锥C1-EA1B1F.在四边形ABB1A1中,在AA1上取点E,使AE=2,在 BB1上取点F,使BF=2,连接C1E,EF,C1F,则截面C1EF将几何体分成两部分,其中一部 分是三棱柱ABC-EFC1,其侧棱长为2,另一部分是四棱锥C1-EA1B1F. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章

17、立体几何初步立体几何初步 探究几何体中基本量的计算 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委 米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放 米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问:米 堆的体积和堆放的米各为多少?”这是一个关于圆锥的计算问题,如何对几何体进 行计算? 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 1.在圆锥的计算中,常用到的基本量有哪些? 提示:圆锥的基本量有底面半径、高、母线长. 2.圆锥的基本量之间有什么关系? 提示:设圆锥的底面半径

18、为r,高为h,母线长为l,则l2=r2+h2. 3.探究该情境中圆锥的基本量分别为多少.(取3) 提示:由条件得2r=8,因此r=,又h=5,由半径、高、母线构成直角三角 形,得l=. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 几何体中计算问题的注意事项 1.明确几何体的基本量 (1)正棱柱的基本量为底面边长、高等; (2)正棱锥、正棱台的基本量为高、斜高、边心距、侧棱长等; (3)圆柱、圆锥、圆台的基本量为高、底面半径、母线长等; (4)球的基本量为球的半径. 2.探求基本量之间的关系 (1)正棱锥的高、斜高、边心距构成直角三角形,利用勾股定理得

19、到各个量之 间的关系; (2)作圆柱、圆锥、圆台或球的轴截面,把轴截面从旋转体中分离出来得出基 本量间的关系. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 圆台的一个底面的周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于441 cm2,母线 与轴的夹角是45,求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 思路点拨 设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长圆台的母线和高交于一点,构造 直角三角形,再利用已知条件求解. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 解析 圆台的轴截面如图所示,设圆台的上、下底面

20、半径分别为x cm和3x cm, 延长AA1交OO1的延长线于点S. 在RtSOA中,ASO=45,则SA1O1=SAO=45, SO=AO=3x cm,SO1=A1O1=x cm, OO1=2x cm, 又(6x+2x)2x=441, x=, 圆台的高OO1= cm,母线长AA1=OO1=21 cm,两底面半径分别为 cm和 cm. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为2,求这个棱锥的斜高与高. 解析 如图,设VO为正四棱锥V-ABCD的高,作OMBC于点M,则M为BC的中点,连 接OB,V

21、M. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 底面ABCD的面积为16, BC=4,BM=OM=2. 在RtBMO中,OB=2, 在RtVOB中,VB=2, VO=6. 在RtVOM中,VM=2(或在RtVBM中,VM= =2). 故该正四棱锥的高为6,斜高为2. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 探究与几何体表面相关的计算问题 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从长方体表面上一点P出 发,沿表面爬行到另外一点Q,探究蚂蚁爬行的最短路线. 第第1讲描

22、述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 1.一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发,沿表面爬行到另外一点B1,如何探究蚂 蚁爬行的最短路线? 提示:A,B1在长方体的同一个面内,由平面几何知识,知蚂蚁爬行的最短路线为线 段AB1,其长度为=. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 2.一只蚂蚁从长方体表面上一点A出发,沿表面经过线段A1B1上一点爬行到另外 一点C1,如何探究蚂蚁爬行的最短路线? 提示:将平面A1B1C1D1沿棱B1C1,C1D1,D1A1剪开后展开,使点A,B,C1,D1在一个平面 内,连接AC

23、1,则沿线段AC1爬行的路程最短,可求得线段AC1的长为 =4. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 3.一只蚂蚁从点A出发,沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线. 提示:将长方体沿某些棱剪开后展开,使A和C1在同一平面内,求线段AC1的长即 可,有三种情况:(1)见问题2;(2)将侧面ADD1A1沿棱AA1,AD,DD1剪开后展开,使点 A,D,C1,B1在一个平面内,可求得AC1=3;(3)将侧 面B1BCC1沿棱B1C1,C1C,CB剪开后展开,使点A,A1,C,C1在一个平面内,可求得AC1 =.比较可得,蚂蚁爬行的最短路线长为.

24、 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 4.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,表面上有P、Q两点,若P 点在B点处、Q点在B1点处,一只蚂蚁从P点绕圆柱体侧面一周爬到Q点(不直接 走直线段BB1),如何探究蚂蚁爬行的最短路径长? 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 提示:将圆柱侧面沿母线BB1展开,得到如图所示的矩形. 设圆柱的底面半径为r,则r=10 cm. 在RtPB1Q中,QB1=2r=20(cm),PB1=80 cm, PQ=20(cm),即蚂蚁爬行的最短路径长

25、是20 cm. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 提示:将圆柱侧面沿母线AA1展开,得到如图所示的矩形.设圆柱的底面半径为r,则 r=10 cm. A1B1=2r=r=10(cm).过点Q作QSAA1于点S,在RtPQS中,PS=80-40-30= 10(cm),QS=A1B1=10 cm. PQ=10(cm), 即蚂蚁爬行的最短路径长是10 cm. 5.如图所示,若问题4中的P、Q两点在轴截面上,且PA=40 cm,B1Q=30 cm,一只蚂 蚁沿着侧面从P点爬到Q点,如何探究蚂蚁爬行的最短路径长? 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的

26、基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 将空间图形转化为平面图形,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.立 体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形,运用“两 点之间线段最短”来解决. 化“曲”为“直”的一般步骤: 1.将几何体沿着某些棱剪开后展开,画出其侧面展开图; 2.将所求曲线问题转化为平面上的线段问题; 3.结合已知条件求得结果. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,D,F分别是棱AB,AA1的中点,E为棱 AC上的动点,则DEF的周长的最小

27、值为(D) A.2+2 B.2+2 C.+2 D.+2 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 思路点拨 根据正三棱柱的特征可知ABC为等边三角形,且AA1AD,利用勾股定理求得DF 的长.把底面ABC与侧面ACC1A1展开到同一平面,可知当D,E,F三点共线时,DE+EF 取得最小值,从而DEF的周长取得最小值. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 解析 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,ABC为等边三形,且AA1AD. D,F分别是棱AB,AA1的中点, DF=2.把底面ABC与侧面AC

28、C1A1展开到同一平面,如图所示. 当D,E,F三点共线时,DE+EF取得最小值. FAD=150,AF=,AD=1, (DE+EF)min = =, DEF周长的最小值为+2. 答案答案 D 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如图,圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的 中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A. (1)求绳子的最短长度; (2)在绳子最短时,求上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 解析 (1)如图,绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度. 圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm, =,又母线长AB=20 cm,OB=20 cm, OA=40 cm,OM=30 cm. 设BOB=,由25=OB,解得=, AM=50 cm,即绳子的最短长度为50 cm. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 (2)过点O作OQAM于点Q,交弧于点P,则PQ的长度为所求的最短距离. 易知AQOAOM, =,即OAOM=AMOQ, OQ=24 cm,PQ=24-20=4(cm),即在绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的 最短距离为4 cm.