第二课时 等比数列前n项和的性质及应用.ppt

1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 第二课时等比数列前第二课时等比数列前n项和的性质及应用项和的性质及应用 课标要求素养要求 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质 解题. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等比关系，并解决相应的问题. 通过利用等比数列的前n项和公式解 决实际应用问题，提升学生的数学建 模和数学运算素养. 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住 了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房 贷款，而中国老太

2、太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买 房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变花明天的钱圆 今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家 和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今 天的学习吧！ 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 1.等比数列an的前n项和Sn不可能等于2n.( ) 2.若an的公比为q，则a2n的公比为q2.( ) 3.若an的公比为q，则a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5的

3、公比也为q.( ) 4.等比数列an是递增数列，前n项和为Sn，则Sn也是递增数列.( ) 5.对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数.( ) 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微训练 1.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是_. 解析易知Sm4，S2mSm8， S3mS2m16， S3m121628. 答案28 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80， 则公比q_. 答案2 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 当

4、等比数列an的公比q1时，若k是偶数，Sk，S2kSk，S3kS2k是等比数列 吗？ 提示不是.如数列1，1，1，1，是公比为1的等比数列，S2S4S2 S6S40，不是等比数列.2 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一等比数列的连续n项之和的性质 【例1】在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n. 解法一S2n2Sn，q1， 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 法二an为等比数列，显然公比不等于1， Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列， (S2nSn)2Sn(S3nS2n)， 11 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法处理等

5、比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的 方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练1】设等比数列an前n项和为Sn，若S38，S624，则a10a11a12( ) A.32 B.64 C.72 D.216 解析由于S3、S6S3、S9S6，S12S9成等比数列，S38，S6S316，故 其比为2，所以S9S632，a10a11a12S12S964. 答案B 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型二等比

6、数列的不连续n项和的性质 【例2】一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积 为64，求该等比数列的通项公式. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法(1)在等比数列an中若项数为偶数，则有S偶qS奇，且SnS偶S奇. (2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想. 15 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练2】一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项 的和为170，求此数列的公比和项数. 解法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(nN*). 由已知a11，q1，有 故公比为2，项数为8.

7、 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2n256，n8.即公比q2，项数n8. 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型三等比数列前n项和的实际应用 【例3】小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一 年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个 月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月 利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据： 1.008121.10) 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利

8、为Ak元，则： A25 000(10.008)2x5 0001.0082x， A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx， ， A125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0， 故小华每期付款金额约为883.5元. 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则： A2x； A4A2(10.008)2xx(11.0082)； A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)； A12x(11.00821.00841.00861.00881.00810). 年底付清

9、欠款，A125 0001.00812， 即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)， 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法(1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题； (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解. 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内， 它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能 超过125 m吗？ 即这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 22 创新设计创新设计 课堂

10、互动课前预习素养达成 一、素养落地 1.通过学习等比数列前n项和性质的应用，提升数学运算素养，通过利用等比数 列前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养. 2.应用等比数列前n项和的性质要注意使用整体的思想，即常把qn、Sn等看作一个 整体. 3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型. 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练 1.已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7 a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q5253

11、2，S1013233. 答案B 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案B 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行 健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔 细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起 脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人最 后一天走的路程为() A.24里 B.12里C.6里 D.3里 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案C 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.设等比数列an中，a1a2a33，a4a5a681，则数列an的公比为 _. 解析易得a4a5a6q3(a1a2a3)， 故q327，则q3. 答案3 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.设等比数列an的前n项和为Sn，且S41，S87，求S12. 解因为S4，S8S4，S12S8成等比数列. 所以(S8S4)2S4(S12S8)， 即(71)21(S127)，解得S1243. 29 本节内容结束