4.5.1　函数的零点与方程的解.docx

1、本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 4.5.1函数的零点与方程的解 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 A组 1.下列各图象表示的函数没有零点的是() 答案:D 2.已知函数 f(x)= 2?-1,? 1, 1 + log2?,? 1,则函数 f(x)的零点为( ) A.1 2,0 B.-2,0 C.1 2 D.0 解析:当 x1 时,由 f(x)=0,得 2x-1=0,解得 x=0;当 x1 时,由 f(x)=0,得 1+log2x=0,解得 x=1 2,不符合要求. 所以函数的零点只有

2、 0. 答案:D 3.函数 f(x)=2x-1 ?的零点所在的区间是( ) A.(1,+)B. 1 2,1 C. 1 3, 1 2 D. 1 4, 1 3 解析:由 f(x)=2x-1 ?,得 f 1 2 ? 2 1 2-20,于是 f 1 2 f(1)0B.a0 C.a0D.a0 解析:因为函数 y=x2+a 存在零点,所以 x2=-a 有解,所以 a0. 答案:B 5.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为() A.1B.2 C.3D.4 解析:函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数方程|log0.5x|= 1 2? ? 1 2 ? 的解的个数函数 y1=

3、|log0.5x|与 y2= 1 2 ? 的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点. 答案:B 6.函数 f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是. 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 解析:f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3). 可知零点为 1,-1,-2,3,共 4 个. 答案:4 7.若函数 f(x)=2x2-ax+3 有一个零点为3 2,则 f(1)

4、= . 解析:因为函数 f(x)=2x2-ax+3 有一个零点为3 2,所以 3 2是方程 2x 2-ax+3=0 的一个解,即 29 4 ? 3 2a+3=0,解 得 a=5,所以 f(x)=2x2-5x+3,则 f(1)=2-5+3=0. 答案:0 8.已知函数 f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x 的零点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的大小关系 是. 解析:画出函数 y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2 的图象,如图所示,观察图象可知,函数 f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x 的零点依次是点 A,B,C

5、的横坐标,由图象可知 abc. 答案:abc 9.已知函数 f(x)=x2-bx+3. (1)若 f(0)=f(4),求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)的一个零点大于 1,另一个零点小于 1,求 b 的取值范围. 解:(1)由 f(0)=f(4)得 3=16-4b+3,即 b=4,所以 f(x)=x2-4x+3. 令 f(x)=0,即 x2-4x+3=0, 解得 x1=3,x2=1. 所以 f(x)的零点是 1 和 3. (2)因为 f(x)的一个零点大于 1,另一个零点小于 1,如图. 故 f(1)0,即 1-b+34.故 b 的取值范围为(4,+). 10.已知函数 f(x)

6、=x2+2mx+3m+4. (1)若函数 f(x)有且仅有一个零点,求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)有两个零点且均比-1 大,求实数 m的取值范围. 解:(1)因为函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点,所以方程 f(x)=0 有两个相等的实数解. 所以=0,即 4m2-4(3m+4)=0, 即 m2-3m-4=0, 解得 m=4 或 m=-1. (2)由题意,知 4?2-4(3? + 4) 0, -? -1, ?(-1) 0, 即 ?2-3?-4 0, ? 0, 解得-5m0 时,有 f(x)0;当 x0 时,有 f(x)0f(1),则函数 f(x)的零点个数为

7、() A.0B.1C.2D.3 解析:由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可知 f(0)=0,f(x)在区间(0,+)内单调,且 f(2)0f(1). 故当 x0 时,函数有一个零点,易知在其对称区间(-,0)内也有一个零点,故共有 3 个零点. 答案:D 4.若函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数 m的取值范围是() A.(-,1- 21+ 2,+) B.(-,1- 2)(1+ 2,+) C. - 5 6,- 1 2 D. - 5 6,- 1 2 解析:函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的零点分别在区间(-1,0)和(1,2

8、)内,即函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象 与 x 轴的交点一个在区间(-1,0)内,一个在区间(1,2)内,根据图象列出不等式组 ?(-1) ? 2 0, ?(0) ? 2? + 1 0, ?(1) ? 4? + 2 0, 解得 ? - 5 6 , 所以-5 6m- 1 2. 所以 m的取值范围是 - 5 6,- 1 2 . 答案:D 5.函数 f(x)=(lg x)2-lg x 的零点为. 解析:由(lg x)2-lg x=0,得 lg x(lg x-1)=0, 所以 lg x=0 或 lg x=1,故 x=1 或 x=10. 答案:1 或 10 6.若函数 f(x)=3x-7

9、+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则 n=. 解析:因为函数 f(x)=3x-7+ln x 在定义域上是增函数,所以函数 f(x)=3x-7+ln x在区间(n,n+1)上只有一 个零点. 因为 f(1)=3-7+ln 1=-40,f(2)=6-7+ln 20,所以函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间 (2,3)内.所以 n=2. 答案:2 7.已知函数 f(x)= |ln?|,? 0, ?2+ 4? + 1,? 0,g(x)=f(x)-a. (1)当 a=2 时,求函数 g(x)的零点; (2)若函数 g(x)有四个零点,求 a 的取值范围. 解:(1)当 x

10、0 时,由|ln x|=2, 解得 x=e2或 x= 1 e2. 当 x0 时,由 x2+4x+1=2, 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自千人教师 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 解得 x=-2- 5(舍去 x=-2+ 5), 所以函数 g(x)有三个零点,分别为 e2, 1 e2,-2- 5. (2)函数 g(x)=f(x)-a 的零点个数即为 y=f(x)的图象与 y=a 的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系 中作出函数 y=f(x)的图象与 y=a 的图象,结合两函数图象可知,函数 g(x)有四个零点时,a 的取值范

11、围 是 0a1. 8.已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数 f(x)在区间-1,1上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)是否存在常数 t(t0),当 xt,10时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t? 解:因为函数 f(x)=x2-16x+q+3 的图象的对称轴是直线 x=8, 所以 f(x)在区间-1,1上单调递减. 因为函数 f(x)在区间-1,1上存在零点, 所以必有 ?(1) 0, ?(-1) 0, 即 1-16 + ? + 3 0, 1 + 16 + ? + 3 0. 所以-20q12. 所以实数 q 的取值范围为-20,12. (

12、2)0t10,f(x)在区间0,8上单调递减,在区间8,10上单调递增. 当 0t6 时,在区间t,10上,f(t)最大,f(8)最小,故 f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 解得 t=15 17 2 , 所以 t=15- 17 2 ; 当 6t8 时,在区间t,10上,f(10)最大,f(8)最小, 故 f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; 当 8t10 时,在区间t,10上,f(10)最大,f(t)最小, 故 f(10)-f(t)=12-t, 即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9, 所以 t=9. 综上,可知存在常数 t=15- 17 2 或 8 或 9 满足条件.