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高考真题 （2019全国 II 卷（理） ）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 【解析】 （1）由题意可知 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba ， 11 1ab+=， 11 1ab， 所以 11 44323442 nnnnnnnn ababbaab + =+=-+-，即 () 1 112nnnn abab + +=， 所以数列 nn ab是首项为1、公比为 1 2 的等比数列， ( ) 1 1 2 n nn ab - +=， 因为 ()11 443434448 nnnnnnnn ababbaab + -=+-=-+-， 所以 11 2 nnnn abab + =-+-，数列 nn ab是首项1、公差为2的等差数列，21 nn abn-=-。 （2）由（1）可知， ( ) 1 1 2 n nn ab - +=，21 nn abn-=-， 所以 () 111 22 2n nnnnn aababn=+-=+- ， () 111 22 2n nnnnn bababn 轾 =+-=- + 臌 。 【答案】 （1）见解析； （2） 11 2 2n n an=+- ， 11 2 2n n bn=-+ 。
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