6.3.2　二项式系数的性质.docx

1、本资料分享自千人 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 6.3.26.3.2二项式系数的性质二项式系数的性质 基础过关练基础过关练 题组一题组一杨辉三角杨辉三角 1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若 a,b 是某行的前两个数,当 a=7 时,b=() A.20 B.21 C.22 D.23 2.下图中的数满足:第 n 行首尾两数均为 n;图中的递推关系与杨辉三角类似, 则第 n(n2)行的第 2 个数是. 1 22 343 4774 5 11 14 11 5 3.(2020 广东江门一中高二上期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一 行各数之和为. 1 11 121

2、 1331 14641 1104545101 4.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第行中从左到右第 14 个与 第 15 个数的比为 23. 1 11 121 1331 14641 15 10 10 51 题组二题组二二项式系数的性质二项式系数的性质 5.在(2-3x) 15 的展开式中,二项式系数的最大值为() A.C15 9 B.C15 8 C.-C15 9 D.-C15 8 6.在(a-b) 20 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是() A.第 15 项 B.第 16 项 C.第 17 项 D.第 18 项 7.在(1-3x) n(nN*)的展开式中,偶

3、数项的二项式系数的和为 128,则展开式的中间 项为() A.-4 536x 4 B.-5 670 x 4 C.5 670 x 4 D.4 536x 4 8.(2020 山东烟台高二下月考)若 ? + 1 ? ?(nN*)的展开式的二项式系数之和为 64, 则展开式的常数项为() A.10 B.20 C.30 D.120 9.在(2x-3y) 10 的展开式中,求: (1)各二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和. 10.已知?- 2 ?2 ?(nN*)的展开式的第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 101. (1)求展开式中各项系数的

4、和; (2)求展开式中含? 3 2的项; (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 能力提升练能力提升练 题组一题组一杨辉三角杨辉三角 1.(2020 浙江杭州第二中学高二期末,)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调 和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 1 ?(nN *,n2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如 1 1= 1 2+ 1 2, 1 2= 1 3+ 1 6, 1 3= 1 4+ 1 12,则第 10 行第 4 个数字(从左往右数)为 . 1 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5

5、1 20 1 30 1 20 1 5 2.(2020 安徽合肥一中、安庆一中等六校高三上第一次素质测试,)我国南宋数 学家杨辉在所著的详解九章算法一书中用如图所示的三角形解释二项展开式 的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数 列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,记作数列an,若数列an的前 n 项和为 Sn,则 S67=. 题组二题组二二项式系数的性质二项式系数的性质 3.(2020 重庆第八中学高三下月考,)(mx+ ?) n(nN*)的展开式中,各二项式系 数和为 32,各项系数和为 243,则展开式中 x 3 的系数为() A.40 B

6、.30 C.20 D.10 4.(2020 山东枣庄滕州一中高二下月考,)已知在 3 ?- 2 ? ?(nN*)的展开式中, 仅有第 9 项的二项式系数最大,则展开式的有理项的项数是() A.1B.2C.3D.4 5.(多选)(2020 山东烟台高三新高考模拟,)已知 ?2+ 1 ? ?(a0,nN*)的展开 式的第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为 1 024,则下 列说法正确的是() A.展开式的奇数项的二项式系数的和为 256 B.展开式的第 6 项的系数与二项式系数相等且最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含 x 15 项的系数为 45 6.(多选)(

7、2020 山东东营胜利一中高二下月考,)已知 n为满足 S=a+C27 1 +C27 2 +C27 3 +C27 27(a3)能被 9 整除的正整数 a 的最小值,则 ?-1 ? ?的展开 式中,二项式系数最大的项为() A.第 6 项B.第 7 项 C.第 8 项D.第 9 项 7.(2020 上海浦东华东师范大学第二附属中学高二下月考,)已知 (3? + ?2)2?(nN *)的展开式的二项式系数和比(3x-1)n+1 的展开式的偶数项的二项 式系数和大 992,求 2?- 1 ? 20?的展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 8.(2020 河北衡水高二下

8、月考,)在?- 1 3 ? ?(n7,且 nN*)的展开式中, (1)若所有二项式系数之和为 256,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若第 3 项的系数的 14 倍是第 2 项与第 4 项的系数的绝对值之和的 9 倍,求展 开式中各项的系数的绝对值之和. 答案全解全析答案全解全析 6.3.2二项式系数的性质 基础过关练 1.C观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分 别是其“两肩”上相邻两个数的和,当 a=7 时,b 的“两肩”上的第一个数为 6,第 二个数为 16,所以 b=6+16=22. 2.答案 ?2-n+2 2 解析由题图中数字的规律可知,第 n(n

9、2)行的第 2 个数是 1+2+3+(n- 1)+1=?(?-1) 2 +1=? 2-n+2 2 . 3.答案1 024 解析由题图得最后一行各数之和为C10 0 +C10 1 +C10 2 +C10 10=210=1 024. 4.答案34 解析在第 n(n14,nN *)行中,即(a+b)n的展开式中,第 14 个与第 15 个二项 式系数分别为C? 13和C?14,C?13C?14=23,即 3?! 13!(n-13)!= 2?! 14!(n-14)!,n=34. 5.B(2-3x) 15 的展开式中共有 16 项,中间的两项为第 8 项和第 9 项,这两项的二 项式系数相等且最大,为C

10、15 7 =C15 8 ,故选 B. 6.B第 6 项的二项式系数为C20 5 ,又C20 15=C 20 5 ,所以第 6 项与第 16 项的二项式系数 相同,故选 B. 7.C偶数项的二项式系数的和为 2 n-1=128=27,即 n=8,故展开式的中间项 为 T5=C8 4(-3x)4=5 670 x4.故选 C. 8.BC? 0+C?1+C?=2n=64, n=6, 该式为 ? + 1 ? 6,其展开式的通项为 Tr+1=C6 ?x6-2r, 令 6-2r=0,得 r=3, 常数项为 T4=C6 3=20, 故选 B. 9.解析(1)(2x-3y) 10 的展开式中各二项式系数的和为C

11、10 0 +C10 1 +C10 2 +C10 10=210=1 024. (2)令 x=1,y=1,得(21-31) 10=1=a 0+a1+a2+a10, 所以各项系数的和为 1. (3)(2x-3y) 10 的展开式中奇数项的二项式系数的和为C10 0 +C10 2 +C10 4 +C10 10=29=512, 偶数项的二项式系数的和为C10 1 +C10 3 +C10 9 =2 9=512. 10.解析由题意知,第 5 项的系数为C? 4(-2)4,第 3 项的系数为C?2(-2)2,则 C? 4(-2)4 C? 2(-2)2=10, 化简得 n 2-5n-24=0,解得 n=8 或

12、n=-3(舍去),故该式为 ?- 2 ?2 8. (1)令 x=1,得各项系数的和为(1-2) 8=1. (2)展开式的通项为 Tr+1=C8 ?( ?)8-r - 2 ?2 ?=C 8 ?(-2)r?4- 5? 2, 令 4-5? 2 =3 2,得 r=1,故展开式中含? 3 2的项为 T2=-16? 3 2. (3)展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项的系数的绝对值分别为C8 ?-12r- 1,C 8 ?2r,C 8 ?+12?+1,设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 则 C8 ?-12?-1 C8 ?2?, C8 ?+12?+1 C8 ?2?,解得 5r6(rN *).

13、 又第 6 项的系数为负,所以系数最大的项为 T7=1 792? -11 . 由 n=8 知第 5 项的二项式系数最大,即 T5=1 120 x -6. 能力提升练 1.答案 1 840 解析将杨辉三角中的每一个数C? ?都换成分数 1 (?+1)C? ?即可得到“莱布尼茨调和三 角形”,杨辉三角中,第 10 行第 4 个数字为C9 3=84,所以“莱布尼茨调和三角形” 中第 10 行第 4 个数字为 1 1084= 1 840. 2.答案2 048 解析将数列an中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角.如图所示: 1 11 121 1331 14641 使得行数与该行的项数相等,则第 k 行最

14、后一项在数列an中的项数为?(?+1) 2 , 设 a67位于第 k(kN *)行,则?(?-1) 2 67?(?+1) 2 ,解得 k=12, 且第 11 行最后一项在数列an中的项数为1112 2 =66, a67位于杨辉三角的第 12 行第 1 个, 而第一行各项的和为 2 0=1,第二行各项的和为 21=2,第三行各项的和为 22=4, 依此类推,第 k 行各项的和为 2 k-1, S67=(2 0+21+22+210)+C 11 0 =1-2 11 1-2 +1=2 11=2 048. 3.D(mx+ ?) n的展开式中,各二项式系数和为 2n=32,n=5. 令 x=1,可得各项系

15、数的和为(m+1) 5=243=35,m=2, (mx+ ?) n=(2x+ ?)5,其展开式的通项为 T r+1=C5 ?25-r?5- ? 2,令 5-? 2=3,可得 r=4, 故展开式中 x 3 的系数为C5 42=10,故选 D. 4.C 3 ?- 2 ? ?的展开式中,仅有第 9 项的二项式系数最大,n=16, 3 ?- 2 ? ?= 3 ?- 2 ? 16,其展开式的通项为 T r+1=C16 ? (3?) 16-r - 2 ? ?=(- 2) rC 16 ? ? 32-5? 6 , 当32-5? 6 Z 时,Tr+1为有理项, 0r16 且 rZ,r=4,10,16 符合要求,

16、 有理项有 3 项,分别为第 5,11,17 项. 故选 C. 5.BCD由 ?2+ 1 ? ?的展开式的第 5 项与第 7 项的二项式系数相等可知 n=10, 又展开式的各项系数之和为 1 024,即当 x=1 时,(a+1) 10=1 024,所以 a=1, 所以 ?2+ 1 ? ?=(x2+?-1 2)10, 其展开式的各二项式系数的和为 2 10=1 024,则奇数项的二项式系数的和为1 21 024=512,故 A 错误; 由 n=10 可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数 最大,因为 x 2 与?- 1 2的系数均为 1,所以展开式的各项的二项

17、式系数与系数相同,即 第 6 项的系数与二项式系数相等且最大,故 B 正确; 若展开式中存在常数项,则展开式中存在 x 的指数为 0 的项,由通项 Tr+1=C10 ? x 2(10- r)?- 1 2r=C10 ? ?20- 5 2r,可得当 20-5 2r=0,即 r=8 时,符合要求,故 C 正确; 由通项 Tr+1=C10 ? ?20- 5 2r可得,当 20-5 2r=15 时,r=2,所以展开式中含 x 15 项的系数为 C10 2 =45,故 D 正确. 故选 BCD. 6.ABS=a+C27 1 +C27 2 +C27 3 +C27 27 =a+C27 0 +C27 1 +C2

18、7 2 +C27 27-1=a+227-1=(9-1)9+a-1=C 9 099-C 9 198+C 9 297-C 9 396+C 9 495- C9 594+C 9 693-C 9 792+C 9 89-C 9 9+a-1 =9(9 8-C 9 197+C 9 8)+a-2, a3,S 能被 9 整除的正整数 a 的最小值是 a-2=9,a=11. n=11, ?- 1 ? ?= ?- 1 ? 11,其展开式的二项式系数最大的项为第 6,7 项. 故选 AB. 7.解析(3?+x 2)2n 的展开式的二项式系数和为 2 2n, (3x-1) n+1 的展开式的偶数项的二项式系数和为 2 n

19、+1-1=2n. 由题意得 2 2n-2n=992,解得 n=5,所以 2?-1 ? 20?= 2?- 1 ? 100. (1) 2?- 1 ? 100的展开式中二项式系数最大的项为第 51 项,即 C100 50 (2x) 50 - 1 ? 50=250C 100 50 . (2) 2?- 1 ? 100的展开式的通项为 T r+1=C100 ? (2x) 100-r - 1 ? ?=C 100 ? 2 100-r(-1)rx100-2r, 其系数的绝对值为C100 ? 2 100-r,设系数的绝对值最大的项是第 k+1 项,则 C100 ? 2100-? C100 ?+12100-(?+1

20、), C100 ? 2100-? C100 ?-12100-(?-1), 解得98 3 k101 3 ,k100,kN,k=33, 系数的绝对值最大的项为第 34 项,即 T34=C100 33 (2x) 67 -1 ? 33=-C 100 33 2 67x34. 8.解析(1)由已知得C? 0+C?1+C?=256, 2 n=256,n=8, 展开式中二项式系数最大的项是第 5 项,即C8 4( ?)4 - 1 3 ? 4=70 81. (2)易得?- 1 3 ? ?的展开式的通项为 T r+1= - 1 3 ?C ? ? ? 2-r(r=0,1,n), 第 3 项的系数的 14 倍是第 2 项与第 4 项的系数的绝对值之和的 9 倍, 1 9 C? 214= 1 3 C? 1 + 1 27 C? 3 9,解得 n=10 或 n=7(舍去), 因为?- 1 3 ? 10的展开式中各项的系数的绝对值之和与 ? + 1 3 ? 10的展开式中各 项的系数之和相等, 所以对于? + 1 3 ? 10,令 x=1,得 1 + 1 3 10= 4 3 10,即 ?- 1 3 ? 10的展开式中各项的 系数的绝对值之和为 4 3 10.