2021新高考数学高三一轮复习 §4.1　指数与指数函数.docx

1、4.1指数与指数函数 对应学生用书第 36 页 1.根式 (1)概念:式子?a叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数. (2)性质:(?)n=a(a使 ?有意义);当n为奇数时, ? ?=a,当n为偶数时, ? ?=|a|= ?,? 0, -?,? 0,m,nN*,且n1);正数的负分数指数幂的意义 是?- ? ?= 1 ? ? (a0,m,nN*,且n1);0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a0,b0,r,sQ. 3.指数函数及其性质 (1)概念:函数y=ax(a0,且a

2、1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是 R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 y=ax,a1y=ax,0a0 时,y1; 当x0 时, 0y1 当x1; 当x0 时, 0y0,且 a1)的图象关于y 轴对称. 2.指数函数的图象与底数大小的比较:如图所示 的是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx 的图象,底数a,b,c,d与 1 之间的大小关系为 cd1ab. 规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大. 【概念辨析】 1.判断下面结论是否正确.(对的打“”,错的打“”) (1) ? ?=(?)n=a(nN*).() (2)分数指数幂

3、? ? ?可以理解为? ?个 a相乘.() (3)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数.() (4)函数y=2-x在 R 上是减函数.() (5)若am0,且a1),则m0,将 ?2 ?3a2 表示成分数指数幂,其结果是(). A.a 1 2B.a 5 6C.a 7 6D.a 3 2 答案C 解析由题意得 a2 ?3?2 =?2- 1 2- 1 3=? 7 6. 3.若函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点 2, 1 3 ,则f(-1)=(). A.1B.2C.3 D.3 答案C 解析依题意可知a2=1 3,解得 a= 3 3 , 所以f(x)= 3 3 ? ,所以f(-1)=

4、3 3 -1 =3. 【易错自纠】 4.已知函数f(x)=ax(a0,且a1)在1,2上的最大值比最小值大? 2,则 a的值为. 答案 1 2或 3 2 解析当 0a1 时,a2-a=? 2, a=3 2或 a=0(舍去). 综上所述,a=1 2或 a=3 2. 5.计算: 3 2 -1 3 - 7 6 0+81 442- - 2 3 2 3= . 答案2 解析原式= 2 3 1 3+2-2 3 1 3=2. 【真题演练】 6.(2019 年全国卷)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(). A.abcB.acb C.cabD.bca 答案B 解析a=log20.220=

5、1, 0c=0.20.30.20=1,即 0c1, 则ac0). 答案a2 解析原式= ? 1 3(? 1 3)3-(2? 1 3)3 (? 1 3)2+? 1 3(2? 1 3)+(2? 1 3)2 ? 1 3-2? 1 3 ? (? 2 3) 1 2 (? 1 2? 1 3) 1 5 =? 1 3(? 1 3-2? 1 3) ? ? 1 3-2? 1 3 ? 5 6 ? 1 6 =a2. 点拨1.进行指数幂的运算时,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注 意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为

6、正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 指数函数的图象及应用【典例迁移】 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(). A.a1,b1,b0 C.0a0 D.0a1,b0 (2)若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则实数b的取值范围为. 答案(1)D(2)(0,1) 解析(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以 0a1,函数 f(x)=ax-b的图象是由y=ax的图象向左平移得到的,所以b0. (2)作出函数y=|2x-1|的图象与直线y=b,如

7、图所示.由图象可得实数b的取值范围是(0,1). 【变式设问 1】将本例(2)改为:若曲线|y|=2x+1 与直线y=b没有公共点,则实数b的取值范围 是. 答案 -1,1 解析作出曲线|y|=2x+1,如图所示,要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1b1. 【变式设问 2】将本例(2)改为:若函数y=|2x-1|在(-,k上单调递减,则实数k的取值范围为. 答案(-,0 解析因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-,0,所以k0,即实数k的取值范围为(-,0. 点拨有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则

8、排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变 换而得到.特别地,当底数a与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1 与图象的交点进行判断. 【追踪训练 1】(1)(2021 衡水中学第一次检测)不论a为何值,函数y=(a-1)2x-? 2的图象恒过定点,则这个 定点的坐标是(). A.1,- 1 2 B.1, 1 2 C.-1,- 1 2 D.-1, 1 2 (2) (本题为多项选择题)已知

9、实数a,b满足等式 2019a=2020b,下列关系式中可能成立的有(). A.0baB.ab0 C.ba0D.0ab 答案(1)C(2)AB 解析(1)y=(a-1)2x-? 2=a 2?- 1 2 -2x,令 2x-1 2=0,得 x=-1,故函数y=(a-1)2x-? 2的图象恒过定点 -1,- 1 2 . (2)如图,观察易知,a,b的关系为ab0 或 0ba或a=b=0. 指数函数的性质及应用【考向变换】 考向 1比较指数式的大小 (1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(). A.abcB.acb C.bacD.bca (2)若-1a”

10、连接) 答案(1)C(2)3aa3? 1 3 解析(1)因为函数y=0.6x在 R 上单调递减,所以b=0.61.5a=0.60.61,所以ba0,? 1 30,a30,又由-1a0,得 0-a1,所以(-a)3(-a) 1 3,即-a3? 1 3,因此 3aa3? 1 3. 点拨比较指数式的大小的方法:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能 化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小. 【追踪训练 2】下列各式比较大小正确的是(). A.1.72.51.73B.0.6-10.62 C.0.8-0.11.250.2D.1.70.30.93.1 答案B 解析函数y

11、=1.7x在 R 上是增函数,2.53, 1.72.51.73,故 A 错误. y=0.6x在 R 上是减函数,-10.62,故 B 正确. (0.8)-1=1.25, 问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小. y=1.25x在 R 上是增函数,0.10.2, 1.250.11.250.2,即 0.8-0.11,00.93.10.93.1,故 D 错误. 考向 2解简单的指数方程或不等式 已知实数a1,函数f(x)= 4?,x 0, 2?-?,x 0,若 f(1-a)=f(a-1),则实数a的值为. 答案 1 2 解析当a1 时,22a-1=4a-1,无解.故a的值为1 2.

12、点拨简单的指数方程或不等式求解的基本方法:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调 性转化为一般不等式求解. 【追踪训练 3】若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)0 的解集为. 答案x|x4 或x0 解析f(x)为偶函数,当x0 时,f(x)=f(-x)=2-x-4,f(x)= 2?-4,x 0, 2-?-4,x 0 时,有 ?-2 0, 2?-2-4 0或 ?-2 0,解得 x4 或x4 或x 0, 12?-4 4? = 2,解得 a=1, 这时g(x)=x2+2x+3,f(x)= 1 3 ?2+2x+3 . 因为g(x)的单调递减区间是(-,-1, 所

13、以f(x)的单调递增区间是(-,-1. 点拨(1)对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a1,则函数f(x)的 单调递增(减)区间就是函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若 0a1,所以由复合函数的单调性可 知,f(x)=3 ?2-5x+4的单调递减区间为(-,1,单调递增区间为4,+). 考向 4指数函数性质的综合问题 已知函数f(x)= 1 3 ?2-4x+3. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值 3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值. 解析(1)当a=-1 时,f(x)= 1 3 -?2-

14、4x+3 , 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u=-(x+2)2+7 在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减, 而y= 1 3 ? 在 R 上单调递减, 所以f(x)在(-,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+),单调递减 区间是(-,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)= 1 3 ?(?), 因为f(x)有最大值 3,所以h(x)应有最小值-1, 因此必有 ? 0, 12?-16 4? = -1,解得 a=1, 即当f(x)有最大值 3 时,a的值为 1. (3)由f(x)的值域是(0,+)知,y

15、=ax2-4x+3 的值域为 R,则必有a=0. 点拨求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性 质,其次要明确复合函数的构成,涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【追踪训练 5】(本题为多项选择题)已知函数f(x)= 2?-1 2?+1,下面说法正确的有( ). A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.x1,x2R 且x1x2,?(?1)-f(?2) ?1-?2 0 恒成立 答案AC 解析f(x)= 2?-1 2?+1的定义域为 R,因为 f(-x)= 2-?-1 2-

16、?+1= 1-2? 1+2?=-f(x),所以 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故 A 正确,B 错误; f(x)= 2?-1 2?+1=1- 2 1+2?,令 1+2 x=t,则 t(1,+),所以y=1-2 ?(-1,1),所以 f(x)的值域为(-1,1),故 C 正确; 由选项 C 分析可知,函数t=1+2x在 R 上单调递增,且y=1-2 ?在 t(1,+)上单调递增,根据复合函数的 单调性,可知f(x)=1- 2 1+2?在 R 上单调递增,故x1,x2R 且 x1x2,?(?1)-f(?2) ?1-?2 1 4,不符合,舍去; 当1 42 时,g(t)min=g(2)=-4

17、+7, 令-4+7=1,得=3 20,且 a1)的图象可能是(). 答案D 解析若a1,则y=ax-1 ?在 R 上是增函数, 当x=0 时,y=1-1 ?(0,1),选项 A,B 均不满足. 若 0a1,则y=ax-1 ?在 R 上是减函数, 当x=0 时,y=1-1 ?0,a1)的图象恒过点A,则下列函数中图象不经过点A的是(). A.y=1-? B.y=|x-2| C.y=2x-1 D.y=log2(2x+2) 答案AD 解析f(x)的图象过定点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项中的函数,可得y=1-?的图象不过点 A(1,1),y=log2(2x+2)的图象也不过点A(1,1)

18、. 4.(2021 山西第一次模拟)已知a= 1 2 2 3,b=2-4 3,c= 1 2 1 3,则下列关系式中正确的是( ). A.cabB.bac C.acbD.ab 2 3 1 3,所以 1 2 4 31 2 2 31 2 1 3,即 ba0,且a1)满足f(1)=1 9,则 f(x)的单调递减区间是(). A.(-,2B.2,+) C.-2,+) D.(-,-2 答案B 解析由f(1)=1 9,得 a2=1 9,解得 a=1 3或 a=-1 3(舍去),即 f(x)= 1 3 |2?-4|. 因为y=|2x-4|在(-,2上单调递减,在2,+)上单调递增,所以f(x)在(-,2上单调

19、递增,在2,+)上单 调递减.故选 B. 6.(2021 贵阳第二次检测)已知函数f(x)=ax-1(a0,且a1)满足f(1)1,若函数g(x)=f(x+1)-4 的图象不过 第二象限,则实数a的取值范围是. 答案(2,5 解析f(1)1,a-11,即a2.函数g(x)=f(x+1)-4 的图象不过第二象 限,g(0)=a1-1-40,a5,实数a的取值范围是(2,5. 7.函数y= 1 2 ?2+2x-1的值域为 . 答案(0,4 解析设t=x2+2x-1=(x+1)2-2,则t-2. 因为y= 1 2 ? 是关于t的减函数,所以y 1 2 -2 =4. 又y0,所以 0y4. 8.(20

20、21 桂林第一次模拟)已知函数y=2-? 2+ax+1在区间(-,3)内单调递增,则实数 a的取值范围为. 答案6,+) 解析函数y=2-? 2+ax+1是由函数 y=2t和t=-x2+ax+1 复合而成的.因为函数t=-x2+ax+1 在区间 -, ? 2 上单调递增,在区间 ? 2, + 上单调递减,且函数 y=2t在 R 上单调递增,所以函数y=2-? 2+ax+1在区间 -, ? 2 上单调递增,在区间 ? 2, + 上单调递减.又因为函数 y=2-? 2+ax+1在区间(-,3)内单调递增,所以 3? 2, 即a6. 9.(2021 湖南模拟)已知函数f(x)=ex- 1 e ?,则

21、下列判断正确的是( ). A.f(x)是奇函数,且在 R 上是增函数 B.f(x)是偶函数,且在 R 上是增函数 C.f(x)是奇函数,且在 R 上是减函数 D.f(x)是偶函数,且在 R 上是减函数 答案A 解析f(x)的定义域为 R,且f(-x)= 1 e?-e x=-f(x),f(x)是奇函数. 又y=ex和y=- 1 e ?都是 R 上的增函数, f(x)=ex- 1 e ?是 R 上的增函数. 故选 A. 10.(2021 合肥第二次检测)当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0 恒成立,则实数m的取值范围是(). A.(-2,1)B.(-4,3) C.(-3,4)D.(-1

22、,2) 答案D 解析原不等式变形为m2-m 1 2 ?, 又y= 1 2 ?在(-,-1上是减函数, 所以 1 2 ? 1 2 -1=2. 故原不等式恒成立等价于m2-m2,解得-1mg(b-1) 解析由g(x)=a|x+b|是偶函数,知b=0, 又g(x)=a|x|在(0,+)上单调递增,a1. 则g(b-1)=g(-1)=g(1), 故g(a)g(1)=g(b-1). 13.(2021 山西太原测评)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1,且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,则 M=(a-1)0.2与N= 1 ? 0.1的大小关系是( ). A.M=NB.MN C.MN 答

23、案D 解析因为函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a1,且a2)在区间(0,+)上具有不同的单调性,所以a2. 因此M=(a-1)0.21,N= 1 ? 0.1N. 14.(2021 陕西模拟)设bR,若函数f(x)=4x-2x+1+b在 -1,1 上的最大值是 3,则b=,f(x)在 -1,1 上的最小值是. 答案32 解析已知f(x)=(2x)2-22x+b,x-1,1, 令 2x=t,则t 1 2,2 , 函数f(x)可化为y=t2-2t+b,t 1 2,2 , 当t=2 时,y取得最大值,ymax=22-22+b=3,解得b=3, 当t=1 时,y取得最小值,ymin=12-21+

24、b=2, 所以f(x)在-1,1上的最小值是 2. 15.已知函数f(x)=2a4x-2x-1. (1)当a=1 时,求函数f(x)在-3,0上的值域; (2)若关于x的方程f(x)=0 有解,求实数a的取值范围. 解析(1)当a=1 时,f(x)=24x-2x-1=2(2x)2-2x-1, 令t=2x,x-3,0,t 1 8,1 . 故y=2t2-t-1=2 ?- 1 4 2-9 8, 又t 1 8,1 ,y - 9 8,0 , 故函数f(x)在-3,0上的值域为 - 9 8,0 . (2)由题意,关于x的方程 2a(2x)2-2x-1=0 有解, 令 2x=m0,等价于关于m的方程 2am

25、2-m-1=0 在(0,+)上有解. 记g(m)=2am2-m-1, 当a=0 时,解得m=-10,不符合题意. 当a0 时,函数g(m)的图象开口向上,对称轴为直线m= 1 4?,在 y轴右侧,且过点(0,-1),必有一个根为正. 综上可知,a0. 16.设y=f(x)在(-,1上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)= ?(?),?(?) ?, ?,?(?) ?. 给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于 任意x(-,1,恒有fK(x)=f(x),则(). A.K有最大值,最大值为 0 B.K有最小值,最小值为 0 C.K有最大值,最大值为 1 D.K有最小值,最小值为 1 答案D 解析

26、根据给出的定义知,fK(x)为函数y=f(x)与y=K中的较小值.若对任意的x(-,1,恒有fK(x)=f(x), 则对任意的x(-,1,恒有f(x)K,等价于函数f(x)在(-,1上的最大值不大于K.令t=2x(0,2,则函数 f(x)=2x+1-4x即为函数(t)=-t2+2t,即(t)=-(t-1)2+11,故函数f(x)在(-,1上的最大值为1,即K1,所以K 有最小值,最小值为 1. 17.已知函数f(x)=2|x+a|(aR)满足f(1-x)=f(1+x),f(x)在区间m,n上的最大值记为f(x)max,最小值记为 f(x)min.若f(x)max-f(x)min=3,则n-m的

27、取值范围是. 答案(0,4 解析因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1 对称,所以a=-1,所以f(x)=2|x-1|. 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 当mn1 或 1mn时,离对称轴越远,n-m的值越小,由y=2x-1与y=21-x的性质知n-m的极限值为 0.当m1n时,函数f(x)在区间m,n上的最大值与最小值的差为f(x)max-f(x)min=2|2|-20=3,则n-m取得最 大值,最大值为 2-(-2)=4.所以n-m的取值范围是(0,4. 18.已知定义域为 R 的函数f(x)= -2?+b 2?+1+a是奇函数. (1)求a,b的值; (2

28、)若对任意的tR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0 恒成立,求实数k的取值范围. 解析(1)因为f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+? 2+?=0,解得 b=1.从而有f(x)= -2?+1 2?+1+a. 又由f(1)=-f(-1)知-2+1 4+?=- -1 2+1 1+?,解得 a=2. 所以a=2,b=1. (2)由(1)知f(x)= -2?+1 2?+1+2=- 1 2+ 1 2?+1, 由上式易知f(x)在 R 上为减函数. 因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0 等价于f(t2-2t)-2t2+k, 所以对任意的tR,3t2-2t-k0 恒成立, 从而判别式=4+12k0,解得k-1 3.