1、第八章第八章 立体几何立体几何 第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 考点考点 2 空间几何体的体积空间几何体的体积 （2018浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A2B4 C6D8 【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的上、 下底边长分别为 2,1，高为 2， 该几何体的体积为 V2 ? ? ? ? 倐 ? ? ? 6. 故选 C 【答案】C （2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ 【解析】由题意知所给的几何体
2、是棱长均为 ?的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的， 正四棱锥的高为 1，所以这个八面体的体积为 2V正四棱锥2? ?（ ?） 21? ?. 【答案】? ? （2018天津卷（文） ）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 _ 【解析】正方体棱长为 1， 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 1， ?. 四棱锥 A1BB1D1D 的高是正方形 A1B1C1D1对角线长的一半，即为 ? ? ， ?四棱锥? ? ? ?Sh ? ?（1 ?） ? ? ? ?. 【答案】? ? （2018全国卷（文） ）设 A，B，C，D 是同一个半径
3、为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面 积为 9 ?，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（） A12 ?B18 ? C24 ?D54 ? 【解析】由等边ABC 的面积为 9 ?，可得 ? ? AB29 ?， 所以 AB6， 所以等边ABC 的外接圆的半径为 r ? ? AB2 ?. 设球的半径为 R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d ? ? ?傰? ?2. 所以三棱锥 DABC 高的最大值为 246， 所以三棱锥 DABC 体积的最大值为? ?9 ?618 ?. 【答案】B （2018全国卷（文） ）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥
4、底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 【解析】在 RtSAB 中，SASB，SSAB? ?SA 28， 解得 SA4. 设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h， 在 RtSAO 中，SAO30， 所以 r2 ?，h2， 所以圆锥的体积 V? ?r 2h? ?（2 ?） 228. 【答案】8 （2018全国卷（文） ）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 则该长方体的体积为（） A8 B6 ? C8 ? D8 ? 【解析】如图，连接 AC1，BC1，AC AB平面 BB1C1C， AC1B 为直线 A
5、C1与平面 BB1C1C 所成的角，AC1B30.又 ABBC2，在 RtABC1中， AC1 ? sin?4， 在 RtACC1中，CC1 ? ? ? ? ? ?倐 ? 2 ?， V长方体ABBCCC1222 ?8 ?. 故选 C 【答案】C （2018全国卷（文） ）如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90.以 AC 为折痕将ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA （1）证明：平面 ACD平面 ABC； （2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BPDQ? ?DA，求三棱锥 QABP 的体积 【解析】 （1）证明由已知可得，BAC90，即 BAAC 又 BAAD，ACADA，AD，AC平面 ACD， 所以 AB平面 ACD 又 AB平面 ABC， 所以平面 ACD平面 ABC （2）由已知可得， DCCMAB3， DA3 ?. 又 BPDQ? ?DA， 所以 BP2 ?. 如图，过点 Q 作 QEAC，垂足为 E，则 QEDC 且 QE? ?DC 由（1）知平面 ACD平面 ABC，又平面 ACD平面 ABCAC，CDAC，CD平面 ACD，所以 DC平 面 ABC， 所以 QE平面 ABC，QE1. 因此，三棱锥 QABP 的体积 VQABP? ?SABPQE ? ? ? ?32 ?sin 4511. 【答案】见解析
