搞定高中数学的15个绝招(1).docx

1、1 / 240 搞定高中数学的搞定高中数学的 1515 个绝招个绝招 绝招绝招 0101 构造函数的通法构造函数的通法 绝招绝招 0202 破译函数中双变量问题破译函数中双变量问题 绝招绝招 0303 直击函数压轴题中零点问题直击函数压轴题中零点问题 绝招绝招 0404 解密三角函数之给值求值问题解密三角函数之给值求值问题 绝招绝招 0505 破译线性规划中含参问题破译线性规划中含参问题 绝招绝招 0606 解密数量积的问题解密数量积的问题 绝招绝招 0707 如何由数列前如何由数列前 n n 项和求数列通项项和求数列通项 绝招绝招 0808 破译空间中有关外接球的问题破译空间中有关外接球的问

2、题 绝招绝招 0909 如何求空间坐标系中非特殊点的坐标如何求空间坐标系中非特殊点的坐标 绝招绝招 1010 解密解析几何中乘积或比值问题解密解析几何中乘积或比值问题 绝招绝招 1111 破译解析几何中点差法通法破译解析几何中点差法通法 绝招绝招 1212 解密二项分布和超级几何分布的区别解密二项分布和超级几何分布的区别 绝招绝招 1313 解密二项式系数和及二项式展开项的系数和解密二项式系数和及二项式展开项的系数和 绝招绝招 1414 新背景下的函数、数列、概率问题新背景下的函数、数列、概率问题 绝招绝招 1515 破译绝对值不等式中的含参问题破译绝对值不等式中的含参问题 2 / 240 一

3、、单选题一、单选题 1设函数 f (x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf (x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是() A. (，1)(0，1)B. (1，0)(1，) C. (，1)(1，0)D. (0，1)(1，) 【答案】A 考点：函数性质综合应用 2若定义在R上的函数 f x满足 01f ，其导函数 1fxk，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11 f kk B. 11 1 f kk C. 11 11 f kk D. 1 11 k f kk 【答案】C 【解析】试题分析：令 g xf xkx，则 g0 xfxk，因此 1111 g001 1111

4、11 kk gfff kkkkkk ，所以选 C. 考点：利用导数研究不等式 【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构 造辅助函数常根据导数法则进行：如 fxf x构造 x f x g x e ， 0fxf x构造 3 / 240 x g xe f x， xfxf x构造 f x g x x ， 0 xfxf x构造 g xxf x等 3设定义在(0，)上的函数 f(x)满足 xf(x)f(x)xlnx， 11 f ee ，则 f(x)() A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又

5、无极小值 【答案】D 点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如 fxf x构造 x f x g x e ， fxf x构 造 x g xe f x， xfxf x构 造 f x g x x ， xfxf x 构造 g xxf x等 4 设函数 f x在R上存在导函数 fx， 对于任意实数x， 都有 2 6f xxfx， 当,0 x 时， 21 12fxx 若 2 22129f mfmm，则m的取值范围为（） A.1, B. 1 , 2 C. 2 , 3 D.2, 【答案】C 【解析】 22 330f xxfxx,设 2 3g xf xx， 则 0,g xgxg x

6、为奇函数， 又 1 6, 2 gxfxxg x 在,0 x 上 是 减 函 数 ， 从 而 在R上 是 减 函 数 ， 又 2 2212129f mfmmm， 等 价 于 22 232232f mmfmm ， 即 22,22g mgmmm ，解得 2 3 m ，故选 C. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅 助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标 4 / 240 函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出 符合题意的函数是解题的关

7、键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从 两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造 恰当的函数. 5 设定义在 R 上的函数 yf x满足任意tR都有 1 2f t f t ， 且0,4x时， fx fx x ， 则2016 ,42017 ,22018fff的大小关系（） A.22018201642017fffB.22018201642017fff C.42017220182016fffD.42017220182016fff 【答案】C 6 已 知 函 数 f x在0, 2 上 单 调 递 减 ， fx为 其 导 函

8、数 ， 若 对 任 意0, 2 x 都 有 tanf xfxx，则下列不等式一定成立的是 A.2 36 ff B. 6 426 ff C. 6 326 ff D.3 46 ff 【答案】D 5 / 240 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数 f x g x sinx ，并利 用导数分析 g x的单调性 7已知定义在R上的函数(f x），其导函数为 fx，若 3fxf x ， 04f，则不等式 3 x f xe的解集是（） A.,1B.1,C.0,D.,0 【答案】D 6 / 240 点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等

9、式综合中的一个难点， 解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式， 而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键. 8已知定义域为R的奇函数 yf x的导函数为 yfx，当0 x 时， 0 f x fx x ，若 11 22 af ，1bf ， 11 lnln 22 cf ，则a，b，c的大小关系正确的是（） A.abcB.cabC.bcaD.acb 【答案】D 【解析】设 h（x）=xf（x）， h（x）=f（x）+xf（x）， y=f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数， h（x）是定义在实数集 R 上的偶函数， 当

10、x0 时，h（x）=f（x）+xf（x）0， 此时函数 h（x）单调递增 a= 1 2 f（ 1 2 ）=h（ 1 2 ），b=f（1）=f（1）=h（1）， c=（ln 1 2 ）f（ln 1 2 ）=h（ln 1 2 ）=h（ln2）=h（ln2）， 又 1ln2 1 2 ， bca 7 / 240 故答案为：D。 9设定义在 R 上的函数 f x,对任意的xR,都有f 1 xf 1 x , 且 f 20,当x1时, fxf x0,则不等式 f xln x 10的解集为 A.,00,1B.1,01, C.1, 1 D.1,00,1 【答案】A 点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化

11、与化归思想、逻辑推理能力与计算能力. 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考 中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何 意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 10设函数 fx是奇函数 f x（xR）的导函数，当0 x 时， 1 lnx fxfx x ，则使得 2 10 xfx成立的x的取值范围是（） A.1,00,1B.,

12、11, C.1,01,D., 10,1 【答案】D 【解析】设 lng xx f x，当0 x 时， 1 ln0gxf xxfx x ， g x在0,上为减 函数，且 10g， 当0,1x时， 0g x ， 2 ln0,0,10 xf xxf x； 8 / 240 当1,x时， 2 0,ln0,0,10g xxf xxf x， f x为其函数， 当1,0 x 时， 2 0,10f xxf x； 当, 1x 时， 2 0,10f xxf x. 综上所述：使得 2 10 xfx成立的x的取值范围是, 10,1 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样

13、构造 函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x与 f x的积或商， 2 x与 f x的积或商， x e与 f x 的积或商，lnx与 f x的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判 断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式. 11设 fx为 f x的导函数，已知 2 1 ln ,x fxxf xx f e e 则下列结论正确的是（） A. f x在0,上单调递增B. f x在0,上单调递减 C. f x在0,上有极大值D. f x在0,上有极小值 【答案】B 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数证明函数的单调性,属于难题.联

14、系已知条件和结论，构 造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起 目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构 造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往 9 / 240 往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳 构造恰当的函数. 12已知定义在0,上的函数 f x,满足 0f x ; 1 3 2 fxfxfx(其中 fx是 f x的导函数,e是自然对数的底数),则 1 2 f f 的取值范围为 A.

15、 1 2 3 1 ,e e B. 1 3 2 e ,e C. 3 2 1 ,e e D. 1 e,3e 2 【答案】A 13已知 f x为R上的可导函数，且xR ，均有 2,fxf x，则有 A. 40344034 20170 ,20170efffef B. 40344034 20170 ,20170efffef C. 40344034 20170 ,20170efffef D. 40344034 20170 ,20170efffef 【答案】D 【解析】构造函数 22 2 ,20 xx fxfxfx g xgxfxfxgx ee 来 即 g x在R上单调递减，所以 40340 20170 2

16、0170 ff gg ee 4034 20170eff，同 10 / 240 理得 40340 20170 20170 ff gg ee 4034 20170fef 故选 D 点睛：本题主要考察了函数的单调性与导数的关系，其中构造函数 g（x），并讨论其单调性是关键. 二、填空题二、填空题 14已知函数 fx是函数 f x的导函数, 1ef,对任意实数x都有 20f xfx,则不等式 1 e e x x f x 的解集为_. 【答案】1, 点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解 集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到ex，故可

17、从以下两种情况入手解决：（1）对于 0( 0)fxf x ，可构造函数 x h xe f x；（2）对于 0( 0)fxf x，可构造函数 x fx h x e 15设 f(x)是在 R 上的奇函数，在 , 0上2220 xfxfx且20f ， 则20 xfx 的解集为_. 【答案】（-1,0）(0,1） 11 / 240 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式, 属于难题. 联系已知条件和结 论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法 建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问

18、题变得明了， 准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函 数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共 性归纳构造恰当的函数. 16 f x是定义在R上的函数，其导函数为 fx，若 1f xfx， 12018f，则不等式 1 20171 x f xe （其中e为自然对数的底数）的解集为_ 【答案】,1 【解析】设 g(x)= 11xx ef xe ， 则 g(x)= 1x e f(x)+ 1x e f(x)+ 1x e = 1x e f(x)f(x)+1， f(x)f(x)1,f(x)f(x)+10，

19、 g(x)2017= g(1)， 得到 g(x)2017=g(1)， g(x)g(1)，得 xx2，都有 mg(x1)g(x2)x1f(x1)x2f(x2)恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】(1) 1 0 2 xy；(2)答案见解析；(3)1,. 试题解析： (1)x0)， 25 / 240 F(x)ln xx1，令 t(x)F(x)ln xx1， 则 t(x) 1， 令 t(x)0，解得 0 x1，令 t(x)1， 故 F(x)在(0，1)上递增，在(1，)上递减， 故 F(x)F(1)0， 故 F(x)在(0，)上递减； 点睛：构造函数的题型需要观察题目函数的关系，本题中第（3）问

20、将式子整理可得 x1x21 时，mg(x1) x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立，则联想到构造函数 h(x)mg(x)xf(x)x2xln x，再结合单调性进行解题。 12已知函数 1 ln 2 a x f xx x . （1）若函数 f x在定义域内不单调，求实数a的取值范围； （2）若函数 f x在区间0,1内单调递增，求实数a的取值范围； （3）若 12 ,x xR且 12 xx，求证： 121212 lnln23xxxxxx. 【答案】（1） 8 3 a （2）3a （3）见解析 【解析】试题分析： (1)对函数求导有 2 2 434 2 xa x fx x x ， 则原问

21、题等价于方程 2 4340 xa x有大于零的实根， 26 / 240 结合二次方程根的分布理论可得 8 3 a ； (2)原问题等价于 2 4340 xa x在区间0,1内恒成立，结合均值不等式的结论可得3a ； (3)当 12 xx时，不等式显然成立，当 12 xx，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论. （2）函数 f x在区间0,1内单调递增， 2 4340 xa x在区间0,1内恒成立，即 4 34ax x 在区间0,1内恒成立 4 4yx x 在1x 时取得最小值9，3a （3）当 12 xx时，不等式显然成 当 12 xx，只需证明 12 1 212 3 2 xxx ln

22、 xxx ，令 1 2 0,1 x t x ，则只需证明 31 2 t lnt t 成立，由（2）可知 31 2 x f xlnx x 在0,1上是增函数， 31 10, 2 t f xflnt t 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历 届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本绝招在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义， 往往与解析几何、 微积分相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决

23、生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 13已知函数 f(x)(x1)e x(e 为自然对数的底数) 27 / 240 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)设函数(x)xf(x)tf(x)e x，存在实数 x 1，x20,1，使得 2(x1)(x2)成立，求实数 t 的取值范 围 【答案】(1)见解析 (2) (，32e)3, 2 e . 【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数 f x的单调区间；（2） 假设存在 12 ,0,1x x ，使得成立 12 2xx成立，则 minmax 2xx，分类讨论求最值，即可 求实数t的取值范围 (2)假设存在

24、 12 ,0,1x x ，使得 12 2xx成立，则 minmax 2xx. 2 11 x x xt x xxf xtfxe e 1 x xtx x e . 对于0,1x，当1t 时， 0 x， x在0,1上单调递减， 210，即31 2 e t . 当0t 时，QQ 群 557619246 0 x， x在0,1上单调递增， 201，即320te. 当01t 时，若0,xt，则 0 x， x在0,t上单调递减； 若,1xt，则 0 x， x在,1t上单调递增， 2max0 ,1t，即 13 2max 1, t tt ee .(*) 由(1)知， 1 2 t t g t e 在0,1上单调递减，

25、 28 / 240 故 41 22 t t ee ，而 233t eee 不等式(*)无解 综上所述，t的取值范围为,323, 2 e e 14设函数 f(x)emxx 2mx. (1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增； (2)若对于任意 x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围 【答案】(1) 见解析(2) 1,1 【解析】试题分析：（1）利用 0fx说明函数为增函数，利用 0fx说明函数为减函数，要注意参 数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m， f x在1,0单调递减，在0,1单调递增，则恒成立问 题转化为最大值和最小值问题从而求得

26、m的取值范围 (2)由(1)知，对任意的m， f x在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故 f x在0 x 处取得最 小值所以对于任意 12 ,1,1x x ， 12 1fxfxe的充要条件是 101 101 ffe ffe 即 1 1 m m eme eme 设函数 1 t g tete ，则 1 t g te 当0t 时， 0g t；当0t 时， 0g t 29 / 240 g t在,0上单调递减，在0,上单调递增 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，用导数解决恒成立求参的问题，对于函数恒成立或者有解 求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题，或者直接求函数

27、最值，使得函数 最值大于或小于 0，或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 15已知函数 2 lnf xxxax， 3 3 x g xx （）若1a ，求函数 f x的极值； （）若0a , 1 1,2x , 2 1,2x,使得 12 f xmg x（0m ），求实数m的取值范围 【答案】（）见解析（） 33 ,ln233ln2, 22 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极 值即可；（2）设 lnh xxx在1,2上的值域为 A，函数 3 1 3 g xmxmx在1,2上的值域为 B，根 据函数的单调性求出实数m的取值

28、范围 30 / 240 （）当0a 时， lnf xxx 因为 1 1,2x ， 2 1,2x，使得 12 f xmg x（0m ）， 故 3 1122 1 ln 3 xxmxmx；设 lnh xxx在1,2上的值域为 A， 函数 3 1 3 g xmxmx在1,2上的值域为 B， 当1,2x时， 1 10hx x ，即函数 h x在1,2上单调递减， 故 ln22, 1h x ，又 2 11gxmxmm xx. （i）当0m 时， g x在1,2上单调递减，此时 g x的值域为 22 , 33 mm B ， 因为AB，又 2 01 3 m ，故 2 ln22 3 m ，即 3 ln23 2

29、m ； （ii）当0m 时， g x在1,2上单调递增，此时 g x的值域为 22 , 33 mm B ，因为AB，又 2 01 3 m ，故 2 ln22 3 m ，故 33 ln223ln2 22 m ； 综上所述，实数m的取值范围为 33 ,ln233ln2, 22 16已知 1 e1,0,1 x f xxx (1)证明: f x图象恒在直线 1 2 yx的上方; (2)若 e1 x ab x 在0,1x恒成立,求ba的最小值. 31 / 240 【答案】(1)见解析(2)ba的最小值为e2 试题解析： (1)由题意只需证 1 , 2 fxx 即证明 3 1 e0 2 x xx在0,1上

30、恒成立. 令 3 1 e,0,1 ,e1 2 xx k xxxxkxx, 10, x kxxe即 kx在0,1单调递增. 又 1 0,10 2 kk ,所以 kx在 0,1在唯一的解, 记为 1 ,1 2 oo xx ,且 1 e10,e oo xx o o x x 即, 可得当 0,0;,1,0 oo xxkxxxkx时当时, 所以只需最小值 000 0 351 1 e 22 o x o k xxxx x , 易得 0 0 151 ,1 22 o xx x ,所以 0k x .所以结论得证. (2)令 e1 x g x x ,则 2 1 e1 0,0,1 x x gxx x , 所以,当0,

31、1x时, 1e 1g xg , 要使 e1 x b x ,只需e 1b , 32 / 240 当ea 时, 0h x此时0,1 ,x有 00h xh, 不符合题意,舍去. 当1ae时,令 0,h x得lnxa, 可得当0,lnxa时, 0h x.即0,lnxa时, 00h xh, 不符合题意,舍去. 综上,1a , 又e 1b ,所以ba的最小值为e2. 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最 值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化 为函数的最值问题. 一、解答题一、解答题 1已知函数

32、2 ln10f xxa xa. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x在区间0,1内有唯一的零点 0 x，证明： 3 1 2 0 exe . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知 10f，若 f x在区间0,1内有唯一的零点 0 x，由（1）可知2a ， 33 / 240 且 01 1 0, 2 xx ，于是： 2 00 10lnxa x， 2 00 2210axax 由得 0 0 0 1 ln0 2 x x x ，设 g(x)lnx 1 2 x x ，(x(0，1)，求出函

33、数的导数，根据函数的单调性证明即 可 （2）依题可知 10f，若 f x在区间0,1内有唯一的零点 0 x，由（1）可知2a ， 且 01 1 0, 2 xx Z01a;见解析. 【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问 题，利用判别式处理即可；（3）方程 12 1 2 f xf xf x 在区间 12 ,x x上有实数根，即 12 1 2 g xf xf xf x 有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析： 10,10,1famma 2 1f xxmxm 36 / 240 2 2 412mmm , 当2m 时，0 ，函数 f x有一个

34、零点； 当2m 时，0 ，函数 f x有两个零点 设 12 1 2 g xf xf xf x ， 则 111212 11 22 g xf xf xf xf xf x 221221 11 22 g xf xf xf xf xf x 12 f xf x 2 1212 1 0 4 g xg xf xf x , 0g x在区间 12 ,x x上有实数根， 即方程 12 1 2 f xf xf x 在区间 12 ,x x上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成

35、求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 4已知函数 2 lnf xa xbx图象上一点 2,2Pf处的切线方程为32ln22yx . (1)求, a b的值; (2)若方程 0f xm在 1 ,e e 内有两个不等实根,求m的取值范围(其中 e2.71828为自然对数的底). 37 / 240 【答案】(1)a=2,b=1.(2) 2 1 12 e m. 【解析】试题分析： 本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解(2)先 利用导数研究函数 h(x)=f(x)+m=2l

36、nxx2+m 的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解 (2)由（1）得 f(x)=2lnxx2， 令 h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m， 则 2 2 1 2 2 x h xx xx ， 令 h(x)=0，得 x=1(x=1 舍去) 故当 x 1 1 e ，时，h(x)0，h(x)单调递增； 当 x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递减 方程 h(x)=0 在 1 e e ，内有两个不等实根， 2 2 11 20 ee 110 20 hm hm h eem ，解得 2 1 12 e m 实数m的取值范围为 2 1 1,2 e . 点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法 38 /

37、 240 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参 数的交点个数； （3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题 （4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5已知函数 1 x f xeax，其中e为自然对数的底数，aR （I）若ae，函数 2g xe x 求函数 h xf xg x的单调区间 若函数 , , f xxm F x g xxm 的值域为R,求实数m的取值范围 （II）若存在实数 12 ,0,2x x ,使得 12 f xf x，且 12 1xx，求证： 2

38、1eaee 【答案】（1）详见解析实数m的取值范围是 1 0, 2e ；（2） 2 1eaee ； 试题解析： （1）当ae时， 1 x f xeex. 21, 2 xx h xf xg xexhxe. 由 0h x 得ln2x ，由 0h x 得ln2x . 所以函数 h x的单调增区间为ln2,，单调减区间为,ln2. x fxee 当1x 时， 0fx ，所以 f x在区间,1上单调递减； 当1x 时， 0fx ，所以 f x在区间1,上单调递增. 39 / 240 2g xe x在,m 上单调递减，值域为, 2e m, 因为 F x的值域为R，所以12) m eeme m ， 即210

39、 m em . * （） （2） x fxea. 若0a 时， 0fx ，此时 f x在R上单调递增. 由 12 f xf x可得 12 xx，与 12 1xx相矛盾， 同样不能有 12 ,ln ,x xa. 不妨设 12 02xx，则有 12 0ln2xax. 因为 f x在 1,ln xa上单调递减，在 2 ln , a x上单调递增，且 12 f xf x， 所以当 12 xxx时， 12 f xf xf x. 由 12 02xx，且 12 1xx，可得 12 1,x x 故 12 1ff xf x. 又 f x在,lna单调递减，且 1 0lnxa，所以 1 0f xf， 40 / 2

40、40 所以 10ff，同理 12ff. 即 2 10, 122 ea eaea ，解得 2 11eaee ， 所以 2 1eaee . 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大， 属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般 涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离 参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函 数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 6已知函数 1 x x f xax e . （1）当1a

41、 时，求 yf x在1,1x 上的值域； （2）试求 f x的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）2,1e（2）当0a 时， f x只有一个零点；当0a 时， f x有两个零点 （2） 原方程等价于 1 0 x ea x 实根的个数， 原命题也等价于 1 x h xea x 在,0)(0,x 上的零点个数，讨论0a ，0a ，0a ，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图 象与零点存在定理可得结果.QQ 群 557619246 试题解析：（1）当1a 时， 1 x x f xax e ，则 1 1 x x fxg x e ， 而 2 0 x x gx e 在 1,1上恒成立，

42、所以 g xfx 在 1,1上递减， max 1210fxfe， min 110fxf ， 所以 fx在1,1上存在唯一的 0 0 x ，使得 00 f ，而且 41 / 240 当1,0 x 时， 0fx， f x递增；当0,1x时 0fx， f x递减； 所以，当0 x 时， f x取极大值，也是最大值，即 max 01f xf， min min 1 ,112fxfffe， 所以， f x在1,1上的值域为2,1e. （I）若0a ，则 当,0 x 时， 1 0 x h xe x 恒成立，则没有零点； 当0,x时， 110he ， 1 20 2 he ，又 h x在0,上单调递增的，所以有

43、唯 一的零点。 （II）若0a ，则 当,0 x 时， 1 0 x h xea x 恒成立，则没有零点； 当0,x时， 1 1 0 a he a ， 11 22 1 220 2 a hee a ，又 h x在0,上单调递 增的，所以有唯一的零点 （III）若0a ，则 当,0 x 时，由 x ex xR，则 11 0,(0) x eaxax xx ， 则 2 10,xax 取 2 0 4 0 2 aa x ，则 0 0h x，又 1 0 a haea a ，所以 h x在 ,0有唯一的零点， 当0,x时， 1 111 1110 111 a haeaaa aaa ， 42 / 240 1 2 1

44、 2220 2 a heaaaaaa a ，又 h x在0,上单调递增的，所以有 唯一的零点 综上所述，当0a 时， f x只有一个零点；当0a 时， f x有两个零点 7已知函数 1lnf xaxx （1）若不等式 0f x 恒成立，则实数a的取值范围； （2）在（1）中，a取最小值时，设函数 122g xxf xk x.若函数 g x在区间 1 8 2 ，上 恰有两个零点，求实数k的取值范围； （3）证明不等式： 2 21 2ln 2 3 4 nn n n （ * nN且2n ）. 【答案】(1)1,；(2) 9ln2 1 105 ，；QQ 群 557619246(3)证明见解析. 43

45、/ 240 (2)由(1)可知，1a，当1a 时， 1lnf xxx ， ln22g xx xxk x 2 ln22xx xk x， g x在区间 1 ,8 2 上恰有两个零点，即关于x的方程 2 ln220 xx xk x在区间 1 ,8 2 上恰有两 个 实 数 根 .整 理 方 程 得 ， 2 ln2 2 xx x k x ， 令 2 ln21 ,8 22 xx x s xx x ， 2 2 32ln4 2 xxx sx x ， 令 2 32ln4xxxx， 1 ,8 2 x ， 则 212 xx x x ， 1 ,8 2 x ，于是 0 x， x在 1 ,8 2 上单调递增. 因为 1

46、0，当 1 ,1 2 x 时， 0 x，从而 0sx ， s x单调递减， 当1,8x时， 0 x，从而 0sx ， s x单调递增， 19ln2 2105 s ， 11s， 33 12ln2 8 5 s ， 因为 15726ln2 80 210 ss ，所以实数k的取值范围是 9ln2 1 105 ，. (3)由(1)可知，当1a 时，有1 lnxx ， 当且仅当1x 时取等号. 令 2 1 x k ，则有 22 11 1 ln kk ，其中 *, kN2k . 整理得： 2 11111 2ln1111 11 k kk kkkkk ， 当2,3,kn时，QQ 群 557619246 11 2

47、ln21 2 12 ， 11 2ln31 3 13 ， 11 2ln1 1 n nn ， 上面1n个式子累加得： 1 2ln 2 31 1nn n . * nN且2n， 即 2 21 2ln 2 3 nn n n .命题得证 44 / 240 8已知函数 ln1 ax f xex，其中aR. （1）设 ax F xefx ，讨论 F x的单调性； （2）若函数 g xf xx在0,内存在零点，求a的范围. 【答案】（1）见解析；（2）a的取值范围是 1 0, 2 . 解析：（1）定义域 11 |1 ,ln1ln1 11 axaxax xxfxa exeeax xx 故 1 ln1 1 ax F

48、 xefxax x 则 22 11 1 11 aaxa Fx x xx 若0a ，则 0,FxF x在1, 上单调递减； 若0a ，则 1 01Fxx a . （i） 当0a 时， 则 1 11x a ， 因此在1, 上恒有 0Fx ， 即 F x在1, 上 单调递减； （ii）当0a 时， 1 11x a ，因而在 1 1,1 a 上有 0Fx ，在 1 1, a 上有 0Fx ； 45 / 240 因此 F x在 1 1,1 a 上单调递减，在 1 1, a 单调递增. （ii）当 1 0 2 a，考察函数 h x，由于 1 021 0, 0, 2 hahhx a 在0,上必存在零 点.设

49、 h x在0,的第一个零点为 0 x，则当 0 0,xx时， 0h x ，故 h x在 0 0,x上为减 函数，又 0 00h xh， 所以当 0 0,xx时， 0gx ，从而 g x在 0 0,x上单调递减， 故在 0 0,x上恒有 00g xg。即 0 0g x，注意到 ax e xax，因此 ln1ln11ln11 ax g xe xxxaxxx ax ，令 1 a xe时，则有 0g x ，由零点存在 定理可知函数 yg x在 1 0, a x e 上有零点，符合题意. 46 / 240 点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定 导

50、数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要 结合原函数的形式去讨论， 有时甚至需要把原函数放缩去讨论， 常见的放缩有1,ln1 x exxx等； （3） 如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数. 9设函数 lnf xx， b g xaxc x （, ,a b cR）. （1）当0c 时，若函数 f x与 g x的图象在1x 处有相同的切线，求, a b的值； （2）当3ba时，若对任意 0 1,x 和任意0,3a，总存在不相等的正实数 12 ,x x，使得 120 g xg xf x，求c的最小值； （3）当1a 时，设函数 yf