第30期：立几压轴之与外接、内切球问题.docx

1、立几压轴之与外接、内切球问题 一方法综述一方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体， 这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考 查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。 研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题： （1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方 体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性； 二解题策略二解题策略 类型一类型一柱体与球柱体与球 【例 1】 （2020河南高

2、三（理） ）已知长方体 1111 ABCDABC D的表面积为208， 1 18ABBCAA，则该长方体的外接球的表面积为（） A116B106C56D53 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出 1 11 18 104 ABBCAA AB BCBC AAAB AA ，由这两个等式计算出 222 1 ABBCAA，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意， 1 18ABBCAA， 11 104AB BCBC AAAB AA， 所以， 2 222 1111 2116ABBCAAABBCAAAB BCBC AAAB AA， 故外接球半径 222 1 29 2

3、ABBCAA r ，高中资料分享 QQ 群：608396916 因此，所求长方体的外接球表面积 2 4116Sr .故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外 接球的半径. 【例 2】.（2020河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为 3的等边三角形，侧棱垂直于 底面且侧棱长为 2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A 7 3 B 11 3 C5D8 【答案】D 【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图， 则其外接球的半径 2 2 22 11 23 2 22sin60 ROBOOBO ， 外

4、接球的表面积428S.故选：D 高中资料分享 QQ 群：608396916 【指点迷津】【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用 球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径 的关系式，可球的半径. 【例 3】.（2020安徽高三（理） ）已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去 截这个球和正方体， 得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形， 若此正三角形的边长为a， 则这个球的表面积为（） A 2 3 4 aB 2 3 a C 2 6 a D 2 3 2 a 【答案】D【解析】 【分析】根据已知条件作出截

5、面图，可以看出正三角形的边长与正方体的棱长的关系，并且 由外接球的直径与正方体的棱长的关系得出正三角形的边长与外接球的半径的关系，再利用 球的表面积的公式得解.高中资料分享 QQ 群：608396916 【详解】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体 与其外接球的位置关系如图2所示， 可知外接球的直径等于正方体的体对角线长， 设正方体的 棱长为m,外接球的半径为R，则 2am ，2 3Rm ，所以 6 4 Ra ， 所以外接球的表面积为 2 22 63 44 42 a SRa ， 故选：D. 【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出

6、外接球的半径与 正三角形的边长的关系是本题的关键。 【例 4】 （2020河南高三 （理） ） 有一圆柱状有盖铁皮桶 （铁皮厚度忽略不计） ， 底面直径为20cm， 高度为100cm，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（） （附：21.414, 31.732, 52.236） A22个B24个 C26个D28个 【答案】C 【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为5 2cm，得到最上层球面上的点距离 桶底最远为105 21ncm，得到不等式105 21100n，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

7、这样， 相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体， 高中资料分享 QQ 群： 608396916 易求正四面体相对棱的距离为5 2cm，每装两个球称为“一层”，这样装n层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为105 21ncm， 若想要盖上盖子，则需要满足105 21100n，解得 1 9 213.726n ， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球故选：C 类型二类型二锥体与球锥体与球 【例 5】 （2020辽宁鞍山一中高三）已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD外接球的表面积是（） A20B 101 5 C25D22 【答案】B 【解析】由三视图得，几何

8、体是一个四棱锥 A-BCDE,底面 ABCD 是矩形，侧面 ABE底面 BCDE. 如图所示，矩形 ABCD 的中心为 M,球心为 O,F 为 BE 中点，OGAF.设 OM=x, 由题得5,ME 在直角OME 中， 22 5(1)xR，又 MF=OG=1,AF= 22 325 , 22 1,15(2)AGRGFxRx ， 解 （1）（2） 得 22 101101 ,4. 205 RSR 故选 B.高中资料分享 QQ 群：608396916 【点睛】 ：本题的难点在于作图找到关于 R 的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关 于 R 的两个方程 22 5(1)xR、 2 15Rx （2）

9、，再解方程得到 R 的值. 【例 6】.（2020 四川省德阳一诊）正四面体 ABCD 的体积为? ? ?，则正四面体 ABCD 的外接球 的体积为_ 【答案】 ? ? ? 【解析】如图， 设正四面体 ABCD 的棱长为 ?，过 A 作 ADBC， 设等边三角形 ABC 的中心为 O，则 ?o l ? ? ? l ? ? ?，? ?o l? ? ? ? ?l ? ? ?， ? ?l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l ? ? ，即 ? l?高中资料分享 QQ 群：608396916 再设正四面体ABCD的外接球球心为G， 连接GA， 则?l ?o? o?l ? ? ?

10、? ? ? ? ? ? ? ?， 即 ? l ? ? ? 正四面体 ABCD 的外接球的体积为 ? l ? ? ? ? ? ? ?l ? ? ?.故答案为：? ? ? 【例 7】 （2020宁夏育才中学） 九章算术是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积 的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为 32,高为 h 的圆柱,上面是一个底面积为 32,高为 h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】288 【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，高中资料分享 QQ 群：608396916 其外接球的直径是23Rh，设圆柱的底面圆半径为r，母线长为lh， 则 2 32

11、r，解得4 2r ，又 222 (2 )(3 )lrh， 222 (8 2)9hh，解得4h ， 外接球的半径为 3 46 2 R ，外接球的体积为 33 446 288 33 R V 【例 8】 （2020贵阳高三（理） ）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 4 的正方形， PAD是一个正三角形， 若平面PAD 平面ABCD， 则该四棱锥的外接球的表面积为 （） A 14 3 B 28 3 C 56 3 D 112 3 【答案】D 【解析】过P作PFAD，交AD于F，取BC的中点G，连接,PG FG，取PF的三等 分点H（2PHHF） ，取GF的中点E，在平面PFG过,E F分别作,

12、GF PF的垂线，交 于点O，可证O为外接球的球心，利用解直角三角形可计算PO 【详解】如图，过P作PFAD，交AD于F，取BC的中点G， 连接,PG FG，在PF的三等分点H（2PHHF） ，取GF的中 点E，在平面PFG过,E F分别作,GF PF的垂线，交于点O因 为PAD为等边三角形，AFFD，所以PF AD 因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， PF 平面PAD，所以PF 平面ABCD，因GF 平面ABCD，故PFGF 又因为四边形ABCD为正方形，而,G F为,BC AD的中点，故FGCD，故GFAD， 因ADPFF，故PF 平面PAD高中资料分享 QQ 群：

13、608396916 在Rt PGF中，因,OEGF PFGF，故OEPF，故OE 平面ABCD， 同理OH 平面PAD因E为正方形ABCD的中心，故球心在直线OE上， 因H为PAD的中心，故球心在直线OH上，故O为球心，OP为球的半径 在Rt PGF中， 2234 3 4 3323 PHPF ，2OHEF， 故 16282 21 4 333 OP ，所以球的表面积为 28112 4 33 类型三类型三构造法（补形法）构造法（补形法） 【例 9】 （2020 延安高考模拟）刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面 垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）

14、A ?B ? ? ?C?D? 【答案】B 【解析】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长 方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球， 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1， 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1， 长方体的对角线为 ?，外接球的半径为 ? ? ，高中资料分享 QQ 群：608396916 外接球的体积为 ? l ? ? ? ? ? ? ?l ? ? ?.故选：B 【指点迷津】【指点迷津】当一三棱锥的由垂直条件时，可考虑将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为 长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱

15、锥的外接球. 【例 10】.（2020 宁夏石嘴山模拟）三棱锥 ? ? ? 中，侧棱 ? 与底面 ? 垂直，? l ?， ? l ?，? l ? 且 ? ? ?，则三棱锥 ? ? ? 的外接球的表面积等于_ 【答案】? 【解析】把三棱锥 ? ? ?，放到长方体 ? ?里,如下图: ? l? ?l?,因此长方体 ? ?的外接球的直径为 ?, 所以半径 ? l ? ? ,则三棱锥 ? ? ? 的外接球的表面积为 ?l ?. 【例 11】.（2020 菏泽高三模拟）已知直三棱柱 ? ? ?的底面为直角三角形，且两直 角边长分别为 1 和 ?，此三棱柱的高为 ? ?，则该三棱柱的外接球的体积为 A?

16、? B? ? C? ? D? ? 【答案】C 【解析】 如图所示，将直三棱柱 ? ? ?补充为长方体，则该长方体的体对角线为 ? ?+? ?+?=?，设长方体的外接球的半径为 ?，则 ? l ?，? l ?, 所以该长方体的外接球的体积 ? l ? ? ?l ? ? ，故选 C.高中资料分享 QQ 群：608396916 【例 12】 （2020贵州高三月考 （理） ） 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 （） A 4 3 B 5 3 C 8 3 D 16 3 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.高中资料分享 QQ 群：608396916 【详解】

17、由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示： 在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，取棱 11, ,BC DA AB BC CD的中点分别为 , ,E M N P Q，则该几何体为四棱锥EMNPQ，其体积为 2 14 22 33 .故选：A 类型四类型四与球体相关的最值问题与球体相关的最值问题 【例 13】 （2020福建高三期末（理） ）在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥 的高h （） A 14 3 B 13 4 C 7 2 D 16 3 【答案】D 【解析】设正三棱锥底面的边长为a，高为 h，由勾股定理可得 2 22 3 4(

18、4) 3 ha ，则 22 1 8 3 hha，三棱锥的体积 23 3 8 4 Vhh ，对其求导，分析其单调性与最值即可得 解. 【详解】设正三棱锥底面的边长为a，高为 h，根据图形可知 2 22 3 4(4) 3 ha ，则 22 1 80, 3 hha08h . 又正三棱锥的体积高中资料分享 QQ 群：608396916 2 13 34 Va h 2 3 8 4 hhh 23 3 8 4 hh ， 则 2 3 163 4 Vhh ， 令0V，则 16 3 h 或0h （舍去） ， 函数 23 3 8 4 Vhh 在 16 0, 3 上单调递增，在 16 ,8 3 上单调递减， 当 16

19、3 h 时，V 取得最大值，故选：D. 【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等 式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高. 【例 14】.（2020广东高三（理） ）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑 堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧 棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 1 2AAAB，当阳马 11 BA ACC体积最大时，则堑堵 111 ABCABC的外接球体积为（） A2 2B 8 2 3 C14 2 3 D4 2 【答案】B

20、【解析】根据 11 BA ACC体积的最大值求得此时,AC BC的长，判断出球心的位置，求得 111 ABCABC的外接球的半径，进而求得球的体积.高中资料分享 QQ 群：608396916 【详解】依题意可知BC平面 11 ACC A.设,ACa BCb，则 222 4abAB . 11 1 111 323 B A ACC VACAABCACBC 22 1142 32323 ACBC ，当且仅当2ACBC时取得最大值.依题意可知 1111 ,ABCABAABB是以 1 AB为斜边的直角三角形，所以堑堵 111 ABCABC外接球的直 径为 1 AB，故半径 22 11 11 2 22 OBA

21、BAAAB.所以外接球的体积为 3 48 2 2 33 .特别说明： 由于BC平面 11 ACC A， 1111 ,ABCABAABB是以 1 AB为 斜边的直角三角形，所以堑堵 111 ABCABC外接球的直径为 1 AB为定值，即无论阳马 11 BA ACC体积是否取得最大值，堑堵 111 ABCABC外接球保持不变，所以可以直接由直 径 1 AB的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B 【例 15】 （2020遵义市南白中学高三期末）已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上， 6ABBC ，90ABC，若四面体ABCD体积的最大值为 3，则这个球的表面积为 （） A4B8

22、 C16D32 【答案】C 【解析】 由底面积 ABC S不变,可得高最大时体积最大, 即DQ与面ABC垂直时体积最大, 设球 心为O,半径为R,在直角AQO中,利用勾股定理列方程求出半径R，即可求出球的表面积. 【详解】高中资料分享 QQ 群：608396916 根据 6ABBC ,可得直角三角形ABC的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边AC的 中点上,设小圆的圆心为Q, 由于底面积 ABC S不变,高最大时体积最大, 所以DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为为 1 3 3 ABC SDQ , 即 1 33,3 3 DQDQ ,如图,设球心为O,半径为R,则在直角AQO中,即 222 (

23、 3)(3,)2RRR, 则这个球的表面积为 2 4216S ,故选 C. 【例 16】 （2020河南高三（理） ）菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，沿对角线 AC 将三 角形 ACD 折起，当三棱锥 DABC 体积最大时，其外接球表面积为（） A 15 3 B 2 15 3 C 20 9 D 20 3 【答案】D 【解析】当平面 ACD 与平面 ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到 222 3 ( 3)() 3 ROG 和 222 2 3 () 3 ROG ，计算得到答案. 【详解】易知：当平面 ACD 与平面 ABC 垂直时体积最大. 如图所示：E为AC中点， 连接

24、,DE BE， 外接球球心O的投影为G是ABC中心， 在BE上 3BE ， 3DE ， 3 3 EG ， 2 3 3 BG 高中资料分享 QQ 群：608396916 设半径为R，则 222 3 ( 3)() 3 ROG ， 222 2 3 () 3 ROG 解得： 15 3 R ，表面积 2 20 4 3 SR 故选：D 三强化训练三强化训练 一、选择题一、选择题 1 （2020广西高三期末）棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥EBCD的底面重合，若由 它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上， 则正三棱锥EBCD的表面积为 （） A 2 33 4 a B 2 33 6 a

25、C 2 33 6 a D 2 33 4 a 【答案】A 【解析】 【分析】由棱长为a的正四面体ABCD求出外接球的半径，进而求出正三棱锥EBCD的高 及侧棱长， 可得正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直， 进而求出正三棱锥EBCD的 表面积.高中资料分享 QQ 群：608396916 【详解】由题意，多面体 ABCDE 的外接球即正四面体 ABCD 的外接球， 由题意可知AE面BCD交于F，连接CF，则 233 323 CFaa 且其外接球的直径为 AE，易求正四面体 ABCD 的高为 2 2 36 33 aaa . 设外接球的半径为 R，由 22 2 63 33 RaRa 得 6 4 Ra

26、 . 设正三棱锥EBCD的高为 h，因为 66 23 AEaah ，所以 6 6 ha . 因为底面BCD的边长为 a，所以 22 2 2 EBECEDCFha ， 则正三棱锥EBCD的三条侧棱两两垂直. 即正三棱锥EBCD的表面积 2 22 121333 3 22224 Saaa ，故选：A. 2、 （2020 辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥 ? ? ? 中，? l ? l?，? l ? l ?，? l ? l?，则三棱锥 ? ? ? 外接球的表面积为（） A?B? ?C? D? ? 【答案】C 【解析】 解：如图， 把三棱锥 ? ? ? 补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为 ?、

27、?、?， 则? ?l ?，? ?l ?，? ?l ?， 三棱锥外接球的半径 ? l ? ? l ? ? ? 三棱锥 ? ? ? 外接球的表面积为 ? l ?l ? 故选：C高中资料分享 QQ 群：608396916 3 （2020安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都 引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作几何 原本的卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面 体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（） A 2 :1:3 B2: 2 :3 C2: 2 :1 D2: 2

28、 :3 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出正四面体、正方体、正八面体的棱长与外接球半径关系，再求比值得结果. 【详解】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为, , ,a b c R 则 22 23,23 , 22 RaRb Rc , 即 2 22 ,2: :2:2 :3 33 RR abcRa b c故选：B 4（2020北京人大附中高三） 如图， 在四棱锥SABCD中， 四边形ABCD为矩形， 2 3AB ， 2AD ，120ASB，SAAD，则四棱锥外接球的表面积为（） A16B20 C80D100 【答案】B 【解析】 【分析】由已知证明平面SAB 平面ABCD，由正

29、弦定理求出三角形SAB外接球的半径， 设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答 案 【详解】解：由四边形ABCD为矩形，得ABAD， 又SAAD，且SAABA，AD平面SAB， 则平面SAB 平面ABCD， 设三角形SAB的外心为G，则 2 33 2 2sin2sin1203 2 AB GA ASB . 过G作GO 底面SAB，且1GO ，则 22 215OS . 即四棱锥外接球的半径为 5 四棱锥外接球的表面积为 2 4( 5)20S.故选 B 5（2020 河南省郑州市一中高三） 在三棱锥 ? ? ? 中， ? ?平面 ?，? l ?，? l ? l

30、 ?，M 是线段 ? 上一动点，线段 ? 长度最小值为 ?，则三棱锥 ? ? ? 的外接球 的表面积是（） A? ? B? ?C?D? 【答案】C 【解析】解：如图所示： 三棱锥 ? ? ? 中，? ?平面 ?，? l? l ?， M 是线段 ? 上一动点，线段 ? 长度最小值为 ?， 则：当 ? ? ? 时，线段 ? 达到最小值， 由于：? ?平面 ?，所以：? ?l ?， 解得：? l ?，所以：? l?，则：? l ?， 由于：? l ?，所以：? l ?则： ? 为等腰三角形 所以：? l ? ?， 在 ? 中，设外接圆的直径为 ?t l ? ? ?晦? l ?，则：t l ?， 所以

31、：外接球的半径 ? l? ? ? ? ?l ? ?， 则：? l ? ? ? ? ? l ?，故选：C 6、 （2020 河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为 2 的 等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多 面体的外接球的表面积为（） A?B? C?D? 【答案】C 【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体 中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易 得其外接球的直径为 ? ? ?l ?，从而外接球的表面积为 ?.故答案为：C.

32、7（2020江西高三期末 （理） ） 如图， 三棱锥PABC的体积为24， 又90PBCABC， 3BC ，4AB ，4 10PB ，且二面角PBCA为锐角，则该三棱锥的外接球的表 面积为（） A169B144C185D80 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中条件可以求出三棱锥各边长，然后证出PA 平面ABC，则可以找出 外接球球心，求出半径，最后利用球体表面积公式求出答案即可. 【详解】因90PBCABC，所以BC平面PAB， 且PBA为二面角PBCA的平面角， 又3BC ，4AB ， 4 10PB ， 由勾股定理可得13PC ，5AC ， 因为 1 sin8 10sin 2 PAB

33、 SPB ABPBAPBA ， 所以三棱锥的体积 11 8 10sin324 33 PAB VSBCPBA ， 解得 3 10 sin 10 PBA ， 又PBA为锐角，所以 10 cos 10 PBA ， 在PAB中，由余弦定理得 2 10 160 162 4 4 10144 10 PA ， 即12PA ，则 222 PBPAAB ，故PAAB， 由BC平面PAB得BCPA， 故PA 平面ABC，即PAAC，取PC中点O， 在直角PAC和直角PBC中， 易得OPOCOAOB，故O为外接球球心， 外接圆半径 113 22 RPC，故外接球的表面积 2 4169SR .故选：A. 8 （2019

34、湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体 1111 ABCDABC D 的三条棱长4ABAD， 1 2AA ，上面的四棱锥 1111 PABC D中 11 D EC E， 1111 PEABC D 平面， 1PE ，则过五点A、B、C、D、P的外接球的表面积为（） A 311 9 B 311 18 C 313 9 D 313 18 【答案】C 【解析】 【分析】在四棱锥PABCD中，利用正弦定理求得PCD外接圆的半径r，利用勾股定理 求得四棱锥PABCD的外接球半径 2 R ，由此求得外接球的表面积. 【详解】问题转化为求四棱锥PABCD的外接球的表面积 4913PC ， 3

35、sin 13 PCD 所以PCD外接圆的半径为 1313 3 6 2 13 r ，由于PE 平面 1111 DCBA， 则PE 平面ABCD，PE 平面PCD，所以平面PCD 平面ABCD， 所以外接球的 222 169313 24 3636 Rr所以 2 313 4 9 SR 球表面积 9三棱锥 PABC 中，底面 ABC 满足 BA=BC，? l ? ? ，点 P 在底面 ABC 的射影为 AC 的中点， 且该三棱锥的体积为? ? ， 当其外接球的表面积最小时， P 到底面 ABC 的距离为 （） A3B ? ?C ? ? ? D ? ? ? 【答案】B 【解析】设外接球半径为 ?，P 到

36、底面 ABC 的距离为 ?，? l ?， 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? l ? ? ? ? l ? ? ， 因为?l ? ? ?，所以 ? l ? ? l ? ? ? l ? ? ? ? ?， 因为?l ? ? ? ? ? l ? ? l ? ?，所以当 ? ? ? ? ?时，? ，当 ? t ? ?时，?t ，因 此当 ? l ? ?时，? 取最小值，外接球的表面积取最小值，选 B. 10 （2019河北高三月考） 在平面四边形 ABCD 中， ABBD， BCD=30， 22 46ABBD ， 若将ABD 沿 BD 折成直二面角 A-BD-C，则三棱锥 A-BDC 外接球的

37、表面积是() A4B5C6D8 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件折叠后，平面ABD 平面BCD，转化为线面垂直关系，再结合球的 的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解. 【详解】取,AD BD中点,E F，设BCD的外心为M，连,MB MF EF， 则 0 1 ,30 ,2 2 MFBDBMFDMBBCDBMBFBD 分别过,E M作,MF EF的平行线，交于O点， 即/ /,/ /OEMF OMEF， ,BDABE为 ABD的外心， 平面ABD 平面BCD，AB 平面BCD， / /,EFABEF平面BCD， OM平面BCD， 同理OE 平面ABD，,E M分别为ABD，BCD外

38、心， O为三棱锥的外接球的球心，OB为其半径, 2222222 13 42 OBBMOMBDEFBDAB， 2 46SOB 球 .故选:C 11 （2020梅河口市第五中学高三期末（理） ）设三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面 上，PAB是面积为 3的等边三角形， 45ACB，则当三棱锥PABC的体积最大时， 球O的表面积为（） A 28 3 B10C 32 3 D12 【答案】A 【解析】 【分析】求出PAB的边长，利用余弦定理建立关系式知CACB时ABC面积最大，再有 平面PAB 底面ABC时，三棱锥PABC的体积最大.然后分别过PAB和ABC的外心 作对应三角形所在平面的垂线，垂线的

39、交点即球心O，计算OC即为球半径 【详解】如图，由题意得 2 3 3 4 AB ，解得2AB .记,ABc BCa ACb， 12 sin 24 ABC SabCab ， 由余弦定理 222 2coscababC，得 22 4222abababab ， 4 2(22) 22 ab ，当且仅当ab时取等号 所以CACB且平面PAB 底面ABC时，三棱锥PABC的体积最大. 分别过PAB和ABC的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O， 设PAB和ABC的外接圆半径分别为 1 r， 2 r，球O的半径为R， 则 1 2 3 r ， 2 12 2 2sin45 r .故 2 22 21

40、117 2 233 Rrr ， 球O的表面积为 2 28 4 3 R.故选：A. 12.（2020 四川省成都外国语学校模拟）已知正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别是 BC，CD 的中点，沿 AE，EF，AF 折成一个三棱锥 P-AEF（使 B，C，D 重合于 P） ，三棱锥 P-AEF 的 外接球表面积为（） A?B?C? D? 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意可得，三棱锥 P-AEF 的三条侧棱 PA，PE，PF 两两互相垂直， 且 ? l ?，?两 l ?垂 l ?， 把三棱锥 P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为 ? ? ?l ? ?， 则三棱锥 P-AEF

41、 的外接球的半径为 ?， 外接球的表面积为 ? ? ? ?l ?故选：C 二、填空题二、填空题 13 （2020重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为 2 16的正方形，该圆柱内有一个 体积为 V 的球，则 V 的最大值为 【答案】 32 3 【解析】 【分析】根据正方形的面积计算出圆柱的底面直径和高，由此求得圆柱内最大球的半径，进 而求得体积. 【详解】设圆柱的底面直径为2r，高为l，则 22 2 16 rl l ，解得 2 4 r l .故圆柱的底面直径 为4，高为4，所以圆柱内最大球的直径为4，半径为2，其体积为 3 432 2 33 . 14 （2020江西高三）半正多面体(sem

42、iregular solid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由 边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三 条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体， 它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等 边体.若二十四等边体的棱长为 2，则该二十四等边体外接球的表面积为 【答案】8 【解析】 【分析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为 2，侧棱长 为2的正四棱柱的外接球，利用勾股定理得到关于R的方程，解得R值再代入球的面积公式. 【详解】由已知根据该几何体

43、的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为 2，侧棱长 为2的正四棱柱的外接球， 2222 (2 )( 2)( 2)2R,2R, 该二十四等边体的外接球的表面积 2 4SR 2 4( 2)8. 15.（2020 安徽省蚌埠市调研）正三棱锥 ? ? ? 中， ? l ? l ? ?，点 两 在棱 ? 上， 且 ?两 l ?两?.正三棱锥 ? ? ? 的外接球为球 o，过 两 点作球 o 的截面?，?截球 o 所得截面 面积的最小值为_ 【答案】? 【解析】因为 ? l ? l ? l ? l ? l ? l ? ?，所以 ? ?l ?， 所以? l ? ?，同理? l ? l ? ?， 故可把

44、正三棱锥补成正方体（如图所示） ，其外接球即为球 o，直径为正方体的体对角线，故 ? l ? ?，设 ? 的中点为 垂，连接 o垂， 则 o垂 l ? ?且 o垂 ? ?，所以 o两 l? ? ? l ?， 当 o两 ?平面?时，平面?截球 o 的截面面积最小， 此时截面为圆面，其半径为? ? ? ? ?l?，故截面的面积为 ?填 ? 16 （2020 陕西省榆林市模拟）如图，? 是边长为 2 的正方形，其对角线 ? 与 ? 交于 点o， 将正方形? 沿对角线? 折叠， 使点? 所对应点为?， ?o? l ? ? .设三棱锥? ? 的外接球的体积为 ?，三棱锥 ? ? 的体积为 ?，则? ?

45、l_ 【答案】? ? 【解析】易知三棱锥 ? ? 的外接球的球心为 o，? l?，? l ? ? ? ， 很明显 ?到底面 ? 的距离为 1，? l ? ? ? ? ? ? l ? ?， ? ? l ? ?. 17（2020福建高三期末 （理） ） 在棱长为4的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 1 AA， BC的中点，点M在棱 11 BC上， 111 1 4 B MBC，若平面FEM交 11 AB于点N，四棱锥 11 NBDD B的五个顶点都在球O的球面上，则球O半径为 【答案】 2 29 3 【解析】 【分析】利用补形法作出四棱锥的直观图，并计算其棱长，再确定外接球球心的

46、位置，并求 得半径的值. 【详解】 如图1， 2, ,B M F三点共线， 连结 22 ,B E BMF从而 2 B 平面FEM， 则 2 B E与 11 AB 的交点即为点N，又 12 Rt B B N与 1 Rt AEN相似，所以 11 121 1 2 AEA N B BNB ； 如图 2，设 11 B D N的外接圆圆心为 1 O，半径为r，球半径为R，在 11 B D N中， 111 4 45 ,10 3 NB DD N ，由正弦定理得 4 5 3 r ，所以 1 8 5 3 D P ，在 1 Rt DD P 中，解得 4 29 3 DP ，即 4 229 3 R ，所以所求的球的半径

47、为 2 29 3 . 18 （2020黑龙江高三（理） ）设, ,A B C D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，在ABC 中，6BC ,60BAC,则三棱锥DABC体积的最大值为 【答案】18 3 【解析】 【分析】利用正弦定理2 sin a r A 得到 2 3r ，再计算 22 max 6hRrR ，再利用余 弦定理和均值不等式得到36bc ，代入体积公式得到答案. 【详解】 ABC中，6BC ,60BAC，则 6 4 322 3 sinsin60 a rr A 22 max 6hRrR 22222 2cos36abcbcAbcbcbcbc ， 1 sin9 3 2 SbcA 当6a

48、bc时等号成立，此时 1 18 3 3 VSh 19 （2020河北承德第一中学高三）正三棱锥 SABC 的外接球半径为 2，底边长 AB3，则 此棱锥的体积为 【答案】 9 3 4 或 3 3 4 【解析】 【分析】画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体 积。 【详解】设正三棱锥的高为 h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心 因为底面边长 AB=3，所以 2 2 223 33 332 AHAD 当顶点 S 与球心在底面 ABC 的同侧时，如下图 此时有 222 AHOHOA ，即 2 2 2 322h 可解得 h=3 因而棱柱的体积 1

49、13 39 3 33 3224 SABC V 当顶点 S 与球心在底面 ABC 的异侧时，如下图 有 222 AHOHOA ，即 2 2 2 322h 可解得 h=1 所以 113 33 3 31 3224 SABC V ，综上，棱锥的体积为 9 3 4 或 3 3 4 20（2020江西高三江西高三 （理理） ） 已已知知P,A,B,C是半径是半径为为2的球面上的点的球面上的点， PA=PB=PC=2，90ABC， 点点 B 在在 AC 上的射影为上的射影为 D，则三棱锥，则三棱锥PABD体积的最大值为体积的最大值为 【答案】【答案】 3 3 8 【解析】【解析】 【分析】先画出图形（见解析

50、） ，求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥PABD体积最大时 ABD面积最大，进而求出ABD的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出 三棱锥PABD体积最大值 【详解】如下图，由题意，2PAPBPC，90ABC， 取AC的中点为G，则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以球心在 PG的延长线上，设PGh，则2OGh， 所以 2222 OBOGPBPG ，即 22 424hh ，所以1h . 故 GCG3A ， 过B作BDAC于D，设ADx(0 2 3x )，则 2 3CDx , 设(03)BDmm，则ABDBCD，故 2 3mx xm ， 所以 2 2 3mx x，则