关于一个不定方程的通解问题探究 1- .pdf

1、关于一个不定方程的通解问题探究 重庆张光年 在群里有老师问了这样一个问题：求不定方程532 22 yx的正整数解，有老师找到 了一组正整数解4x ， 3y 。但不知道这个不定方程是否还有其他的正整数解，如果有 能否找所有正整数解？实际上我们容易再.找到几组解如16x ， 13y38x ， 31y 。 我们如何能求出这个不定方程的所有正整数解呢？从方程的形式联想到佩尔方程 1 22 Dyx（1）CDyx 22 （2）其中D是一个不为完全平方数的正整数1 关于这两种类型的佩尔不定有如下结沦 不定方程（1）有无穷多组整数解方程 设0 0 x0 0 y是两个整数且1 2 0 2 0 Dyx则方程(1)

2、的全部解),(yx为： 由 n n DyxyDx)( 00n 其中),( 00 yx由D的循环连分数而得。证明 略 不定方程（2）的整数解的情况有以下三种 其中下面等式中的 n C是由D化为循环连分数时， n n n C bD K 所得。 1)若 n nC C）（ 1不定方程（2）有无穷多组整妓解 若),( 00 yx是1 22 Dyx最小解0 0 x0 0 y） 若),( 11 yx是CDyx 22 的的最小解（ （0 1 x ， 0 1 y） 则方程(2)的全部解),(yx为：由）（DyxDyxyDx n n1100n )( 2)若 n nC C）（ 1且DC 不定方程（2）无整妓解 3)

3、若 n nC C）（ 1且DC 且可作变换转化成DC 具体变换如下：设整数l ， h满足ChDl 2 且 2 0 C l 因为 2 0 C lCD 0 2 0CD 所以C C C C Dl h 22 即Ch 由此我们可以得一个新方程hDyx 22 按此变换得的新方程与原方程的整数解是相同 的。证明略 我们可以如法泡制直到新方程中的Dh 的这样就将方程同解转化成 1)或 2)的情形。 现在我们来解决、群里有老师问了这样一个问题。 原题原题：求 22 235xy的正整数解. 解： 22 (2 )610 xy.设xz2则 22 610zy（*） （10( 1)n n C 由筒单循环连分数判断）（ 4

4、 1 2 1 26 ） ， 106，设 2 6 10lh，且, l hN. 319 510 h，0,1h ，1,4hl. 可得一个新方程 22 61xy，这个新方程显然有无穷多组整数解 )2 , 5(是 22 61xy最小解) 1 , 4(是106 22 yx的最小解 则方程 22 610zy全部正整数解),(yz是由下面两个关系给出： ）（64)625( n n n yDz其中n是自然数 ）（64)625( n n n yDz其中n是正整数 其中上面这两个等式就给出了不定方 22 610zy的隐性解，通过下面的方法找出 n z n y的线性递推关系，从而得到不定方程（*）的全部正整数解),(

5、yz ，再用母函数法得到 不定方程（*）的全部正整数解),(yz解的显性表达。 )64()625(6 1 11 n nn yz，)6)(625(6 11nnnn yzyz 6)52(1256 11nnnnnn yzyzyz nnn nnn yzy yzz 52 125 1 1 这个关系的初始值为 1 4z 1 1y 同理）（64)625( 1 11n n n yDz也有 nnn yzz125 1 nnn yzy52 1 nnn nnn yzy yzz 52 125 1 1 这个关系的初始值为 1 8z 1 3y 下面用母函数法求出 n z n y为了不产生混淆，分别用 n a n b代替 n

6、z n y 2设数列 n a n b分别对应的母函数为：)(xf= 1 1 n n nx a)(xg= 1 1 n n nx b 下面我们求初始值为 1 4a 1 1b 分别对应的母函数 因为 nnn yzz125 1 所以 1 1 1 n n n xa）（ 1 - 1 - 1 1 1 - 125 n n n n n xbxa )( 1 1 1 1 axa x n n n 1 1 1 - 5 n n n xa（ 1 1 12 n n n b x )(12)(5)( 1 1 xgxf x a xf x 因为 nnn yzy52 1 所以 1 1 1 n n n xb）（ 1 - 1 - 1 1

7、1 - 52 n n n n n xbxa )( 1 1 1 1 bxb x n n n 1 1 1 - 2 n n n xa（ 1 1 5 n n n b x )(5)(2)( 1 1 xgxf x b xg x 1 1 )()21 ()(2 )(12)(5-1 bxgxxxf axgxfx）（ 110 8-4 )( 2 xx x xf 110 13 )( 2 xx x xg xx xf 1 1 ) 2 6 2( 1 1 2 6 2)(）（ xx xg 1 1 ) 3 6 2 1 ( 1 1 3 6 2 1 )(）（ 其中 是方程0110 2 xx的两个实根101 11 11 ) 3 6 2

8、 1 () 3 6 2 1 ( ) 2 6 2() 2 6 2( nn n nn n b a 同理可得初始值为 1 8a 1 3b 分别对应的母函数 110 4-8 )( 2 xx x xf 110 3 )( 2 xx x xg xx xf 1 1 ) 2 63 4( 1 1 2 63 4)(）（ xx xg 1 1 ) 3 62 2 3 ( 1 1 3 62 2 3 )(）（ 、 11 11 ) 3 62 2 3 () 3 62 2 3 ( ) 2 63 4() 2 63 4( nn n nn n b a 这样我们就得到原不定方程的全部正整数解 11 11 ) 3 6 2 1 () 3 6

9、2 1 ( ) 2 6 2() 2 6 2( 2 1 nn n nn n y x 11 11 ) 3 62 2 3 () 3 62 2 3 ( ) 2 63 4() 2 63 4( 2 1 nn n nn n y x 在这里我们还应该证明 n a即 n z是偶数略。 实际上我们也可以由 nnn nnn yzy yzz 52 125 1 1 推得 n z和 n y的独立的递推关系， 初始值为4 1 z32 2 z或8 1 z76 2 z及递推关系 nnn zzz 12 10 初始值为1 1 y13 2 y或3 1 y31 2 y及递推关系 nnn yyy 12 10 这两个递推关系给出了不定方程（*）的全部正整数解。由 n z初始值及递推关系很容易证明 n z是偶数。 这样我们就由两个递推关系及初始值得到原不定方程的全部正整数解。 参考文献1谈谈不定方程柯召孙琦上海教育出版社 1980 年 8 月 2Fibonaggi 数列中的明珠张光年哈尔滨工业大学出版社 2018 年 6 月