小题专练数列.pdf

1、1 小题专练小题专练 数列数列 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(考点:等差数列,)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S9=27,a15=-4,则 S19=(). A.9 B.12 C.-9 D.-19 2 2.(考点:等比数列,)已知 Sn是等比数列an的前 n 项和,a7=27a4,S4=80,则 a1=(). A.2 B.3C.-3 D.-2 3.(考点:等差数列与等比数列的综合,)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则?1+?2 ?2 的值 为(

2、). A.2 B.-2 C.3 D.-3 4.(考点:等比数列与传统文化,)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初 行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个 人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.” 则此人第三天走了(). A.60 里B.48 里C.32 里D.24 里 5.(考点:等差数列的性质,)一个等差数列an的前 n 项和为 30,前 2n 项和为 50,则前 3n 项和为(). A.30B.60C.70 D.80 6.(考点:等差数列,)已知等差

3、数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1+a5=-16,S9=-63,则使得 Sn取最小值的 n 的值为 (). A.17B.17 或 18 C.18 或 19D.19 7.(考点:等差数列与均值不等式,)设 a0,b0,lg 4 是 2lg 2a与 lg 2b的等差中项,则2 ?+ 1 ?的最小值为( ). A.9 4 B.7 4 C.5 4 D.1 8.(考点:等差数列的前 n 项和,)已知数列an满足 an+1-an=1,且 a6,a8,a9成等比数列.若an的前 n 项和为 Sn,则 Sn的最小值为(). A.3 B.-3 C.-40D.-45 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题

4、 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 2 的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.(考点:等差数列,)已知数列an是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则下列选项 中正确的是(). A.a10=0B.S7=S12 C.Sn的最小值为 S10D.S20=0 10.(考点:等比数列,)设等比数列an的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,前 n 项积为 Tn,并满足条件 a11,a2007a20081,?2007-1 ?2008-10,则下列结论正确的是( ). A.T2007T2008 B.a2007a200

5、9-1 4 33,则 n 的最小值为 5 D.若 am+an=a2+a10,则1 m+ 16 n 的最小值为25 12 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.(考点:等比数列的前 n 项和,)已知在等比数列an中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则an的前 5 项和为. 14.(考点:数列的综合应用,)已知数列an的通项公式是 an=n2+kn+4.若 k=-5,则 an的最小值为;若 对于nN*,都有 an+1an,则实数 k 的取值范围为. 15.(考点:数列求和,)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=a2n-2,则? 2的前 n 项和为 .

6、 3 16.(考点:等差数列的综合,)已知两等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 ? ?= 5?+2 2?+3,则 ?3+?20 ?8+?15= . 答案解析： 1.(考点:等差数列,)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S9=27,a15=-4,则 S19=(). A.9 B.12 C.-9 D.-19 2 【解析】由等差数列前 n 项和公式可得 S9=(?1+?9)9 2 =27,a1+a9=2a5=6,a5=3. 又 a15=-4,S19=19(?5+?15 ) 2 =-19 2 . 【答案】D 2.(考点:等比数列,)已知 Sn是等比数列an的前 n 项和,a7

7、=27a4,S4=80,则 a1=(). A.2 B.3C.-3 D.-2 【解析】设等比数列的公比为 q,由 a7=27a4,即?7 ?4=q 3=27,解得 q=3, 又由等比数列求和公式得 S4=?1(1-3 4) 1-3 =80,解得 a1=2. 【答案】A 3.(考点:等差数列与等比数列的综合,)已知数列2,a1,a2,10成等差数列,1,b1,b2,b3,16成等比数列,则?1+?2 ?2 的值 为(). A.2 B.-2 C.3 D.-3 【解析】由题意得 a1+a2=12,?2 2=16,且 1,b2,16 同号,所以 b2=4,所以?1+?2 ?2 =3. 【答案】C 4.(

8、考点:等比数列与传统文化,)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初 行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思是“有一个 人走378里,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天到达目的地.” 则此人第三天走了(). A.60 里B.48 里C.32 里D.24 里 【解析】由题意可得这个人每天走的路程成等比数列,且公比 q=1 2,n=6,S6=378,故 ?11- 1 26 1-1 2 =378,解得 a1=192,故 a3=a1q2=1921 4=48. 4 【答案】B 5.(考点:等差数列的

9、性质,)一个等差数列an的前 n 项和为 30,前 2n 项和为 50,则前 3n 项和为(). A.30B.60C.70 D.80 【解析】Sn=30,S2n=50,S2n-Sn=20, 又 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列, S3n-S2n=10, S3n=50+10=60. 【答案】B 6.(考点:等差数列,)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1+a5=-16,S9=-63,则使得 Sn取最小值的 n 的值为 (). A.17B.17 或 18 C.18 或 19D.19 【解析】由题意可得 a1+a5=2a3=-16,故 a3=-8. 因为 S9=-63,所以

10、 9a5=-63,故 a5=-7. 所以 2d=a5-a3=1,即 d=1 2, 所以 an=a3+(n-3)d=-8+(n-3)1 2= ? 2- 19 2 . 令 an=? 2- 19 2 0,则 n19,且当 n=19 时,an=0, 所以当 n=18 或 n=19 时,Sn取得最小值. 【答案】C 7.(考点:等差数列与均值不等式,)设 a0,b0,lg 4 是 2lg 2a与 lg 2b的等差中项,则2 ?+ 1 ?的最小值为( ). A.9 4 B.7 4 C.5 4 D.1 【解析】lg 4 是 2lg 2a与 lg 2b的等差中项, 2lg 4=lg 22a+lg 2b, 即

11、lg 24=lg(22a2b)=lg 22a+b, 2a+b=4. 2 ?+ 1 ?= 2 ? + 1 ? (2a+b)1 4= 5 4+ 1 4 2? ? + 2? ? 5 4+1= 9 4, 当且仅当2? ? =2? ? ,即 a=b=4 3时,等号成立, 5 2 ?+ 1 ?的最小值为 9 4. 【答案】A 8.(考点:等差数列的前 n 项和,)已知数列an满足 an+1-an=1,且 a6,a8,a9成等比数列.若an的前 n 项和为 Sn,则 Sn的最小值为(). A.3 B.-3 C.-40D.-45 【解析】由题意可知an为等差数列,公差 d=1, 由 a6,a8,a9成等比数列

12、,可得?8 2=a6a9, 所以?8 2=(a8-2)(a8+1),解得 a8=-2. 因为 a8=a1+7d,所以 a1=-9. 所以 Sn=-9n+?(?-1) 2 1=1 2(n 2-19n)=1 2 n-19 2 2-361 8 . 故当 n=9 或 n=10 时,Sn取到最小值,最小值为-45. 【答案】D 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.(考点:等差数列,)已知数列an是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+5a3=S8,则

13、下列选项 中正确的是(). A.a10=0B.S7=S12 C.Sn的最小值为 S10D.S20=0 【解析】设等差数列an的公差为 d(d0), 由 a1+5a3=S8,可得 a1+9d=0,即 a10=0,故选项 A 正确. 因为 S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以 S7=S12,故选项 B 正确. 当 d0 时,Sn的最小值为 S9或 S10,当 d1,a2007a20081,?2007-1 ?2008-10,则下列结论正确的是( ). A.T2007T2008 B.a2007a2009-10 C.T2007是数列Tn中的最大值 6 D.数列Tn无最大值

14、 【解析】当 q0 时,a2007a2008=?2007 2 q1,a20081,?2007-1 ?2008-10,不成立, 当 0q1,且 0a2008T2008,故 A 错误; a2007a2009-1=?2008 2 -1 1 4,故 B 正确; 对于 C 项,由于 378-192=186,192-186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里,故 C 正确; 对于 D 项,由于 a4+a5+a6=192 1 8 + 1 16 + 1 32 =42,故 D 正确. 【答案】BCD 12.(考点:数列的综合应用,)已知等差数列an的首项为3,公差为 2,前n项和为Sn,则下列结论

15、成立的有 (). A.数列 ? ? 的前 10 项和为 100 B.若 a1,a4,am成等比数列,则 m=13 C.若 ?=1 ? 1 aiai+1 4 33,则 n 的最小值为 5 D.若 am+an=a2+a10,则1 m+ 16 n 的最小值为25 12 【解析】由已知可得,an=2n+1,Sn=n2+2n, 7 对于 A 项,Sn n=n+2,则数列 Sn n 为等差数列,其前 10 项和为10(3+12) 2 =75,故 A 错误; 对于 B 项,若 a1,a4,am成等比数列,则a4 2=a1am,am=27,即 am=2m+1=27,解得 m=13,故 B 正确; 对于C项,因

16、为 1 aiai+1= 1 2 1 2i+1 - 1 2i+3 ,所以 i=1 n 1 ?+1= 1 2 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 + + 1 2?+1 - 1 2?+3 = ? 6?+9 4 33,解得n4,故n的最小值 为 5,故 C 正确; 对于 D 项,由等差数列的性质可知,m+n=12,所以 1 ?+ 16 ? = 1 12 1 ? + 16 ? (m+n)= 1 12 1 + ? ? + 16? ? + 16 1 12(17+2 4)=25 12,当且仅当 ? ?= 16? ? ,即 n=4m=48 5 时取等号,因为 m,nN*,所以 n=4m=48 5 不成立

17、,故 D 错误. 【答案】BC 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.(考点:等比数列的前 n 项和,)已知在等比数列an中,a1+a2=2,a4+a5=-16,则an的前 5 项和为. 【解析】?4+?5 ?1+?2=q 3=-8,q=-2,a1(1+q)=2,解得 a1=-2, an的前 5 项和 S5=?1(1-? 5) 1-? =-2(1+2 5) 1+2 =-22. 【答案】-22 14.(考点:数列的综合应用,)已知数列an的通项公式是 an=n2+kn+4.若 k=-5,则 an的最小值为;若 对于nN*,都有 an+1an,则实数 k 的取值范围为

18、. 【解析】若 k=-5,则 an=n2-5n+4= ?- 5 2 2-9 4,由二次函数的性质得,当 n=2 或 n=3 时,an 取得最小值,其最小值为 a2=a3=-2. 由 an+1an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n N*,所以-? 2-3,所以实数 k 的取值范围为(-3,+). 【答案】-2(-3,+) 15.(考点:数列求和,)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=a2n-2,则? 2的前 n 项和为 . 【解析】由题意知等比数列an的前 n 项和为 Sn= ?1 1-?- ?1 1-?q n

19、=a2n-2, 所以 ?1 1-?=-2,解得 a=2,q=2,a1=2. 所以 an=2n,所以? 2=4n, 所以? 2的前 n 项和为4(1-4?) 1-4 =4 ?+1-4 3 . 【答案】4 ?+1-4 3 16.(考点:等差数列的综合,)已知两等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 ? ?= 5?+2 2?+3,则 8 ?3+?20 ?8+?15= . 【解析】因为数列an和bn为等差数列,所以?3+?20 ?8+?15= ?1+?22 ?1+?22= (?1+?22)22 2 (?1+?22)22 2 =?22 ?22= 522+2 222+3= 112 47 . 【答案】112 47