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1、 放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介 质中损耗能量产生电子离子对、射线或中子与物质相 互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内事件发生的 数目和某一事件发生的时刻都是随机的，即具有统计涨 落性。因此在实验测量中，一定时间内测到的核事件数 目或某种核事件发生的时刻也总是随机的。 了解放射性事件随机性方面的知识的意义： 1. 可以检验探测仪器的工作状态是否正常，分析测量值出现的不确定 性是出于统计性的原因还是仪器本身有其它误差因素。 2. 可对所测得的计数值进行一些合理校正，给定正确的误差范围。 本章主要讨论在放射性测量中常遇到的一些统计涨落问题。 第一章 放射性测量中的统计学 第一节第一

2、节 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布 第二节第二节 放射性测量的统计误差放射性测量的统计误差 第三节第三节 测量数据的检验测量数据的检验 在放射性测量中，保持实验条件不变（如源的放射性活 度、源的位置、源与探测器间的距离、探测器的工作电压等都保持不 变)，在相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到 的计数并不完全相同而是围绕某个平均值上下涨落，这种 现象称为放射性计数的统计涨落。这是微观粒子运动过程 中的一种规律性现象，是放射性原子核衰变的随机性引起 的。 在放射性核衰变中，M个原子核在某个时间问隔内衰 变的数目n是不确定的，这就引起了放射性测量中计数的 涨落，它服从统计分布

3、规律。另一方面，原子核衰变发出 的粒子能否被探测器所接收并引起计数，也有统计涨落问 题，即探测效率的随机性问题。下面我们根据数理统计的 理论分别讨论其规律性。 第一节 核衰变数和计数的统计分布 一、核衰变的统计分布 在时间间隔t内放射性原子核衰变的概率为Pt 未发生衰变的概率是未发生衰变的概率是 经过经过2 t t未发生衰变的概率为未发生衰变的概率为 经过经过i i t=tt=t时间后未发生衰变的概率为时间后未发生衰变的概率为 tp t tpq tt 11 2 )1 ()1)(1 (ttt ii i t t)1 ()1 ( 令i，则t=0，则 一个放射性原子核经过t时间后未发生衰变的概率为e-

4、t， 设t=0时刻有N0个原子核，在经过t时间后未发生衰变的原 子核数目为 此为放射性原子核衰变规律，其中，为表示衰变概率大 小的衰变常数。 t i i e i t 1lim t eNN 0 衰变规律只是从平均的观点来看大量的原子核衰变时所服从 的规律，从数理统计学来看，放射性衰变这样的随机事件服 从一定的统计分布规律。放射性核衰变所服从的三种最基本 的分布规律，即二项式分布，泊松分布，高斯分布。 放射性原子核或衰变或不衰变，只有这两种可能（贝努利 试验），并且每个原子核衰变都是独立的。 在t=0时，N0个原子核中任何一个核在t时间内衰变的概率 为p=1- e-t ，不衰变的概率为q= e-t

5、 ，显然p+q=1。 所以可以看成数理统计中的伯努利试验问题，这样的情形 服从二项式分布，在t时间内发生核衰变数为n的概率为： 1二项式分布二项式分布 nN n nN nn N pp nnN N ppCnP 00 0 1 ! ! 1 0 0 对任何一种分布，有两个最重要的数字特征。一个是数学期望 值E(n)(简称期望值，在物理中有时也称平均值，用m表示)， 它表示随机变数n取值的平均位置；另一个是方差D(n)，又常 用2表示，它表示随机变数n取值相对于期望值E(n)的离散程 度。方差的开方根值称均方根差，用表示。对以上的二项式 分布，相应的期望值与方差分别为 nN t n t ee nnN N

6、 nP 0 1 ! 0 0 ！ t eNpNm 1 00 ttt meeeNppN 11 00 2 假如t1，即时间t远小于半衰期，也就是不考虑源活度 的变化时，上式可简化为 在m数值较大时，由于n值出现在平均值m附近的概率较大， 即涨落|mn|m，上式还可以简化为 即可用任意一次观得到的衰变核数（即单次测量值）代替其 平均值来进行计算。 mm，或 2 nnnm 在二项式分布中，当N0很大，且t1时，则有：p=1- e-t ，这样， m= N0 p1时，二项式分布可以简化为高斯分布 高斯分布是对称的，一般当m20时，泊松分布就可以 用高斯分布来代替了。 m=20时泊松分布(圆点）和高斯分布（曲

7、线）的比较 此外，在二项式分布与泊松分布中，n是离散性随机变数， 只限于取整数值。但对高斯分布来说，可以是离散变数，不 限于只取整数值，也可以是连续型随机变数。所以上式的 P(n)可理解为在n处的概率密度函数。此时，P(n)可以写成 在用正态分布计算时，必须正确写出积分限。例如原子 核衰变数落在某一数值区间n1，n2内的概率为 21 21 2 2 2 2 1 n n mn dnenP 21 21 2 21 2 1 2 2 2 1 n n mn dnennnP 当n很大时，为了计算方便，可以写成 实际使用时，这一积分一般不直接计算，通常利用现成的高 斯分布积分数值表。表中给出了对应于z的函数值(

8、z) 2 1 2 2 2 21 2 1 n n mn dnennnP z z dzez 0 2 2 2 1 dnmn z dz， 注意到函数(z)的奇对称性，当计算(-z)时，可利用 如下的关系式 zz 12 2 2121 2 1 2 2 1 zz dzezzzPnnnP z z z 例1: 若在时间t内，放射源放出粒子的平均值为m=100。 试求：在相同时间内放出108个粒子的概率；出现绝 对偏差|mn|6的概率。 解：因m=100，则10100 m 03. 0 1014. 32 1 108 22 102/100108 enP 2 2 2 22 2 1 2 1 mn m mn ee m nP

9、 进行变量置换，即 查表(060)=0.2258 所以放出粒子数的偏差|mn|6的概率为： 6 . 0 10 100106 mn z 55. 02258. 02160. 021 )60. 060. 0(1)10694(1 zPnP 一方面，并不是所有的核衰变事件都能进入探测器中； 另一方面，每个进入到探测器中的粒子并不一定都能被记 录下来。 即粒子的探测过程中的计数也是一个随机过程。 为讨论方便，假定在某时间间隔内放射源衰变发出的 N个粒子全部入射到探测器上，探测器对入射粒子的探测 效率为 ，即每个入射粒子引起探测器计数的概率为 ， 未引起计数的概率为(1一)，这相当于一个伯努利试验。 这N个

10、入射粒子引起的计数为n，n也是一个随机变数，它 服从的分布为 二、计数的统计分布 以上n所服从的分布形式上与二项式分布相同，但进入 探测器的粒子数N不是一个常数，而是一个随机变数。 假定N服从泊松分布 其中，M是入射粒子数N的期望值。 上式表示在N确定下n出现的概率，现在入射粒子数N 也是一个随机变数，根据全概率公式，可以推得n的概 率密度分布 nN nNnN M n M N nN nNn nN nN M e n M e N M nnN N NPNnPnP ! 1 ! ! 1 ! ! / nN n nN N NnP 1 ! ! / M n MM n i i i M n e n M ee n M

11、 i M e n M nP ! ! 1 ! 1 0 令令i=N-ni=N-n，则，则 从上式可以看到，当入射到探测器的粒子数N服从平均值为M的 泊松分布时，引起的探测器的计数n服从平均值为M的泊松分 布，其方差2也为M 。 同样，当n比较大时，即M1，上面的泊松分布可以化为高 斯分布： 式中，m=M ，此时计数n的期望值与方差均为M 。 2 2 2 2 1 mn enP 在许多情况下，需要处理几个随机变数的合成问题。例如， 当样品中有两种放射性核素时，则探测器记录到的数目为 这两种核索分别引起的计数之和。在数理统计中证明了， 具有泊松分布或高斯分布的几个独立的随机变数之和仍然 服从泊松分布或高

12、斯分布。根据这一定理，各组成的计数 是服从泊松分布时，总计数也必定服从泊松分布。 三、合成分布 以下是几个重要的计算公式： (1)常数倍的随机变数的数学期望和方差为 (2)相互独立的随机变数的和(或积)的数学期望是各随机变数的 数学期望的和(或积)，即 (3)相互独立的随机变数的和的方差是各随机变数方差的和，即 从而可知，几个随机变数引起的总计数的数学期望M和方 差2分别为 由于放射性核衰变具有统计分布，测量过程中射线与物质相互作用的过 程也具有随机性，因此在某个时间内对样品进行测量得到的计数值可以 看成是一个随机变数。它的各次测量值总是围绕着其平均值上下涨落。 从理论上讲，我们希望得到的是计

13、数值的数学期望值m=M ，它是无限多 次测量计数值的平均值，称为真平均值真平均值。但实际上，我们在实验中不可 能对某一计数作无限次测量，只能进行有限次甚至一次测量。一次测量 或有限次测量值的平均值都不是真平均值，它们只能在某种程度上作为 真平均值的近似值。这样就给结果带来了误差。这种误差是由于放射性 核衰变和射线与物质相互作用的统计性引起的，称为统计误差。从数理 统计抽样的观点来看，就是要用有限个样本的数值来估计总体的数学期 望，这只能得到一个估值，一定会有误差产生。 第二节第二节 放射性测量的统计误差放射性测量的统计误差 一、统计误差的产生和表示方法 在一般的非放射性物理量的测量中，还有一种

14、偶然误差。偶 然误差是由于测量时受到各种因素的影响所造成的，但被测 物理量本身在客观上还是一个确定不变的数值。而统计误差 是由于被测物理量本身有涨落造成的，它与测量过程无关。 但在另一方面，这两种测量值服从的分布是相同的，一般认 为它们都是服从正态分布，因而在表示与计算方法上是很相 似的。不同之处在于放射性计数值的统计误差与计数值本身 有联系，表现在其方差与计数的期望值相等，即2=M，因而 它的确定更为简便。而偶然误差则不具有这样的性质。 标准误差标准误差N N： 放射性测量的计数值服从正态分布，统计误差是用相 当于一定置信度的置信区间来表示。通常用的正态分 布的方差的平方根表示，称标准误差N

15、。 M 2 M为计数的期望值。但是M值我们是不知道的，通常的测量 是有限次的，甚至只进行一次测量得到计数值N，我们就 用k次测量的平均值 甚至一次测量值N代替MN NNM N k i i N k N 1 1 这样，只需用一次计数N或有限次计数的平均值 开方即可计 算标准误差。但这里表示的方差仅仅是由统计涨落引起的。 N 标准偏差标准偏差S: 样本方差为样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平 均数。由于样本方差是总体方差的无偏估计，所以可以用 样本方差来估计有限次测量的方差，称标准偏差S 。 k i iS NN k 1 2 1 1 S反映了各种因素造成的数据离散，除了统计涨落外还包 括了其它偶

16、然误差。 知道标准误差后，对一次测量，我们就可以将测量结果表示为 NNN N 它表示对任何一个计数N，写出 就表示了一个区间。 N不同，这个区间的位置也不同，所以这个区间是随机的。 我们知道，任何一个计数值N落在MN这个区间内的概率是 68.3（置信度或者置信概率）。因此对任何一个 区间来说，真平均值M可能在其中，也可能不在其中，这就 要看N与M的偏差是否超过了N,。但是设想对每一个N都写出 这样的区问的话，则可以说，每100个这样的区间中平均有 68个是包含了真平均值的。因此， 所表示的区间中 包含真平均值的概率是68.3。 标准误差也正是说明具有这一概率意义的空间宽度。 N N N N N

17、 N 有时也采用不同宽度如2N ，3N 来表示概率区间，它 表示真平均值出现在N2N ,N3N 区间的概率分别 为95.5和99.7。 用绝对误差表示不能直接看出测量结果的精确度，用相 对误差就可明显看出。按定义,相对标准误差N是 NN N N N N 1 所以所以N N越大，相对误差越小，测量精度越高。越大，相对误差越小，测量精度越高。 或然误差：或然误差： 0.67450.6745 50% 50% 标准误差：标准误差： 1.0001.000 68.3% 68.3% 0.950.95误差：误差： 1.9601.960 95.0% 95.0% 极限误差：极限误差： 3.0003.000 99.

18、7% 99.7% 以上讨论了测量中统计误差的概念与表示方法，给出了 单次测量的结果表示。在实际测量中，要涉及到很多其它 因素，如进行多次测量，考虑测量时间的长短，本底的影 响等，这就要求我们能正确计算出统计误差，给出相应正 确的结果表示。 二、计数统计误差的计算 在很多问题中要算出以计数值作为自变量的函数的 统计误差，甚至是多个独立的计数值作为自变量的多 元函数的统计误差。 1函数的统计误差的计算 若f(x1, x2, ,xn) 是相互独立的变量x1, x2, ,xn的 多元函数，则函数f(x1, x2, ,xn)的统计误差可由下式 求出： 21 2 2 2 2 2 2 2 1 321 x n

19、 xxf x f x f x f 称为误差传递公式误差传递公式。 对于只有加减或只有乘除的几种常用函数的误差运算公式 假设对某种样品重复测量了k次，每次测量时间t相 同，称为等精度测量，得到k个计数,则在时间t内的平 均计数值为 2多次测量结果的误差 k i i N k N 1 1 根据误差传递公式，它的方差为 kN N k N kk N k i i k i NN i 111 1 2 1 2 2 2 测量结果可表示为 kNNN N 的相对误差为N 比较单次测量的误差与多次测量的误差 kN N NNM N 在等精度测量中，测量次 数越多，误差越小。 NN N N N N 1 不管是一次测量还是多

20、次测量，只要总计数相同， 则结果的统计误差是相同的。 3计数率的误差计数率的误差 对于单次测量，设在t时间内记录了N个计数，则计数 率为n=Nt，根据误差传递公式， 上式表明，测量时间越长，计数率的误差越小。 计数率的相对误差为 上式可以看出，计数率的相对误差与总计数有关，且 计数率的相对误差与总计数的相对误差相等。 21 22 tNt N tN n 计数率n的标准误差为 对于多次测量，若对放射性核素进行k次测量，各次测量的 时间为ti，计数为Ni(i=1，2，,k)，此为不等精度的测 量。要求出平均计数率 及其标准误差 ，可以先求出 各次测量中的计数率及方差 n n 由于各次测量ti不一定相

21、同，因而各个 也不一定相同， 求平均计数率及其误差时要加权平均，给各次测量结果赋予 一个权，使测量数据精度高的数据在求平均值时的贡献较大， 而测量数据精度低的贡献小。 2 i n 设各次测量的权为 为一任意常数。权Wi 具有相对意义，2可用 来代替， 而 正是我们要求的量，现在还不知道，所以用各次测 量时的计数率ni代替 。则有 n n n 计数率的加权平均值为 根据误差传递公式， 的统计误差为n 的相对误差为 n 平均计数率及其误差可表示为 假如k次测量的时间相同，则为等精度测量 对统计误差来说，无论是一次测量还是多次测量，只要总的 计数相同，多次测量的平均计数率相对误差和一次测量的计 数率

22、相对误差是一致的。相对误差只与测量的总计数有关， 而与测量的次数与测量的时间分配无关。 4存在本底时误差的计算存在本底时误差的计算 在放射性测量中，往往在没有放射源或样品时，探测器也 会探测到一定的计数。这些计数是由宇宙射线、周围环境 中的微弱天然放射性、仪器噪声以及放射性实验室中其它 放射源所引起的，统称为本底。由于本底的存在，会使探 测器测得的计数增加，所以应将它们扣除。这时，为求得 净计数率需要进行两次测量：第一次在时间tb内测得本底 计数为Nb，第二次测样品，设在ts时间内测得样品计数(包 括本底)为Ns。这时样品的净计数率n0为 n0的标准误差 测量结果可写成 相对误差 本底计数率n

23、b愈高， 相对误差愈大。 bs b b s s n n nn t n t n n 0 0 0 5测量时间与测量装置工作状态的选择测量时间与测量装置工作状态的选择 这里从减小统计误差的角度来考虑选择最佳的测量时间和测 量装置工作状态，在实际测量中还要综合其它因素进行考虑。 首先讨论测量时间的确定，不考虑本底的影响的情况。 此式改写为 这三个量中的任意两个给定，就可以求得第三个量。一 般当n大约知道时，在一定误差要求下，计算测量时间t。 1 2 nt n 计数率的相对标准误差： Nntn tn n n n 11 在有本底存在时，需要合理分配样品和本底的测量时间,以 便在规定的总的测量时间T=ts+

24、tb内使测量结果的误差最小。 b b s s b b s s n t n t n t N t N 22 0 b s b s s b s s s n n t t tT n t n dt d 0 为使测量结果的误差最小，样品和本底的测量时间之比应 等于它们计数率的平方根之比。给定了总的测量时间T后, 可得到ts和tb最佳时间分配下表达式 在这种最佳条件下的相对方差为 2 2 2 1 11 bsb b b s s bs n nnTn t n t n nn T nn tT nn nn t bs b bs bs s 1 1 , 1 在vn给定的情况下需要的最小测量时间Tmin为: 前面讨论的是关于记录脉

25、冲数目的情况。实际上还有一类 测量装置，它所记录的是反应辐射平均效应的一个量。积分 电离室、电流电离室和计数率计就属于这种情况。在这种记 录方式中，同样存在统计误差。 三、平均效应的统计误差三、平均效应的统计误差 2 2 min 1 1 bsnb nnn T 有时需要对放射性测量的数据或数据之间的差异进行检验。 通过这种检验可以了解测量数据的可靠性，帮助检查测量仪 器的工作状态和测量条件是否正常和稳定，从而有助于分析 和判断在测量中除统计误差外是否还有其它的误差等。 放射性测量数据的检验方法是多种多样的，根据不同的问 题采用不同的检验方法。由于放射性计数的统计性，测量数 据应服从某一理论分布，

26、检验的基本做法是将实验数据同这 种理论分布进行比较，比较的结果产生差异，然后从某种概 率意义上说明这种差异是否显著，如果显著，则说明实验测 量中存在问题；反之，若差异在某种概率意义上不显著，则 认为测量数据是正常的。 第三节 测量数据的检验 在同样条件下对放射性样品进行两次测量，得到计数N1与N2， 其差异=|N1-N2|多大时其可靠性才值得怀疑?首先考虑差 值所服从的理论分布。若将N1和N2看作是服从相同正态分 布的两个随机变数，那么它们的差异也是服从正态分布 的，且中心值为0，方差 。因此概率密度P() 可以写成 一、两次测量计数值差异的检验 21 2 NN 作变量置换Z=/，可将上式标准

27、化。考虑大于或 等于 的概率 ,K是以为单位 的数值作变量置换Z=/，可将上式标准化。 K 事先要求一个比较小的概率，相对应的的Z值为K；通过 查表求出此K的值。 )( KP )(21 2 1 1 )(1)(1)( 2/ 0 2 KdZe KZPKPKP Z K 比如，取比较小的数=0.05， K=1.96；然后，由实验测得 的两次数值N1与N2算出差异及值，并求出与之间 的倍数值K。判断的准则是若KK，则认为N1与N2 之间的差 异显著，应怀疑它们的可靠性；反之，若KK，则差异不显 著，没有理由怀疑。当然，这种判断也有错误的可能，因为 N1与N2 之间的差异较大使得KK的情况毕竟还有小的概率

28、 (=0.05)发生。称为显著度或显著水平。 例题：两次测量的计数为1128和1040，检验这组数的可靠性。 88. 1 6 .46 88 6 .46104011288810401128 K ， 若取=0.05， K=1.96; K=1.88bbbmax max时，认为电子完全被原子束缚的，没有能量转移；而在 时，认为电子完全被原子束缚的，没有能量转移；而在 b bmin minbb bbmax max时，电子可以被看成是自由电子。这时： 时，电子可以被看成是自由电子。这时： 21 2 0 2 0 42 min max 2 0 42 2 ln 4 ln 4 I vm vm NZez b b v

29、m NZez dx dE e I vm vm NZez dx dE e 2 0 2 0 42 2 ln 4 贝特根据量子理论，但不考虑相对论，导出的能量损失率公式：贝特根据量子理论，但不考虑相对论，导出的能量损失率公式： 根据量子理论，并考虑相对论和其他修正因子，导出的能量损失率公式：根据量子理论，并考虑相对论和其他修正因子，导出的能量损失率公式： Z C I vm vm NZez dx dE e 2 2 2 0 2 0 42 1 1 ln 2 ln 4 相对论修正相对论修正 壳修正项壳修正项 cv 结论：结论： 1.1. 阻止本领只与入射粒子的速度有关阻止本领只与入射粒子的速度有关(1/v(

30、1/v2 2) )，而与它的质量无关。，而与它的质量无关。 2.2. 阻止本领与重带电粒子的电荷数的平方成正比。阻止本领与重带电粒子的电荷数的平方成正比。 3.3. 阻止本领与靶物质的阻止本领与靶物质的NZNZ有关。高原子序数和高密度物质具有较大有关。高原子序数和高密度物质具有较大 的阻止本领。的阻止本领。 4.4. 阻止本领与入射粒子能两阻止本领与入射粒子能两E E的关系曲线的关系曲线 电离能量损失率随粒子能量的变化电离能量损失率随粒子能量的变化 2 2低速重带电粒子的能量损失低速重带电粒子的能量损失 当重带电粒子的速度低于轨道电子的平均速度当重带电粒子的速度低于轨道电子的平均速度(vv(v

31、v0 0z z2/3 2/3) )时，入射粒子与 时，入射粒子与 靶物质之间的电荷交换效应变得很重要，离子从靶物质中俘获电子，因靶物质之间的电荷交换效应变得很重要，离子从靶物质中俘获电子，因 而离子的中性化概率变得很大。这时必须考虑外层电子对核库仑场的屏而离子的中性化概率变得很大。这时必须考虑外层电子对核库仑场的屏 蔽，即考虑入射离子的有效电荷减少。低速时，离子与靶原子碰撞的最蔽，即考虑入射离子的有效电荷减少。低速时，离子与靶原子碰撞的最 接近距离增大，离子只能激发或电离靶原子的最外层的一些电子。林哈接近距离增大，离子只能激发或电离靶原子的最外层的一些电子。林哈 德等人在理论上德等人在理论上(

32、 (称称LSSLSS理论理论) )得出：得出： 0 23 3232 0 261 8 v v Zz Zz Naez dx dE e a a0 0是玻尔半径。是玻尔半径。 在离子速度小于在离子速度小于v v0 0z z2/3 2/3的低能区，离子的电子阻止本领随离子速度减 的低能区，离子的电子阻止本领随离子速度减 小而减小。在很低能量时，离子被中性化，电子阻止本领已趋近于小而减小。在很低能量时，离子被中性化，电子阻止本领已趋近于 零，另一种能量损失过程零，另一种能量损失过程核阻止起重要作用。核阻止起重要作用。 3 3能量损失的布拉格相加法则能量损失的布拉格相加法则 4.核阻止本领 粗略计算：设靶原

33、子半径为a，快速的质子和粒子与靶原子核碰撞的最 接近距离R0远小于a。入射粒子以碰撞参量b(bv0)粒子，LnLe2，所以这时 核阻止本领与电子阻止本领之比为l/2000。可见，入射粒 子速度大时，核阻止作用确实可以忽略掉。 对p和粒子，只是在很低能量(v2的所有失去了部分电子的的所有失去了部分电子的 原子原子(正离子正离子)，或有过剩电子的原子，或有过剩电子的原子(负离子负离子)，一般都，一般都 是指正离子。是指正离子。 由于重离子核反应方面的研究工作和半导体材料、金属 材料中离子注入研究及重离子束表面层分析工作等迅速开 展，迫切需要了解重离子与靶物质相互作用的行为和重离 子在物质中的阻止本

34、领数据。 相互作用：相互作用： 入射离子的原子核与靶原子电子之间的库伦作用 入射离子的原子核与靶原子核之间的库伦作用 靶原子核与入射离子中束缚电子之间的库仑作用 入射离子中的电子与靶原子中电子之间的相互作用 电荷交换效应 一、电荷交换一、电荷交换 离子在靶物质中慢化时，与靶原子的每一次碰撞中，有一定 的机会使离子失去电子，或者离子从靶物质中俘获电子。这 种现象就是离子在物质中的电荷交换效应。发生这种失去电 子和俘获电子过程的截面(几率）大小表示为(q，q)。单 次碰撞中失去或俘获一个电子的过程，其截面大小与入射离 子速度和它的核电荷有强烈的依赖关系，与靶物质的核电荷 数关系不是太大。 通常一次

35、碰撞中失去一个电子或俘获一个电子的过程，即 的过程概率较大，单次碰撞中发生 的过程的 概率较小。并且实验证明，一次碰撞中同时失去几个电子的 过程是可能的，但同时俘获几个电子的过程可能性极小。 1 qq1 qq 离子电荷态随离子速度的变化的定性地来描述：离子电荷态随离子速度的变化的定性地来描述： 离子与靶物质之间的这种电荷交换现象的存在，使离子的 电荷态发生变化。当单一电荷态的一束离子穿过的靶物质 厚度较薄(g/cm2)时，虽然经受多次碰撞，但因每一次 与靶原子电子碰撞中，能量转移很少，故能量几乎没有损 失，离子速度基本保持不变。这种速度的离子在这一薄层 中经受许多次碰撞后，失去电子和俘获电子过

36、程的统计竞 争结果，就是它的电荷态分布达到平衡，即离子束中任一 特定的电荷态成分qi的比例不再因碰撞而改变。以F(g)表 示离子具有某一电荷态qi的相对比例，则离子束在平衡态 时的平均电荷态 就可写为： i z i i qqFq 0 q 平衡的电荷态分布近似为一高斯分布。但由于单次碰撞中， 多电荷交换(失去或俘获几个电子)概率（较小)的存在，以 及靶物质原子壳层效应的影响，使平衡电荷态分布出现非 对称性。当离子穿透较厚的靶物质层，逐渐损失能量时， 随着离子的慢化，平衡电荷态分布发生变化， 随之而连线 地变化。平衡电荷态分布与离子速度、离子种类有关 ( )。也与靶物质状态有关，离子穿过固 体靶材

37、料得到的电荷态大于穿过气体靶材料得到的电荷态。 但与离子的初始电荷态成分无关，与靶物质的原子序数也 没有关系。离子在靶物质中的电荷交换过程十分复杂，到 目前为止，还没有完善的理论能定量地计算运动离子的动 态电荷态问题，通常是由实验和半经验关系确定。 3/2 0 /zvvzq q 重裂变碎片，它失去的电子较多，有效电荷很大，因此在 吸收体中能量损失率大，速度很快降低。当裂变碎片在消 耗能量降低速度的同时不断俘获电子，使其有效电荷随之 减少，导致能量损失率减少。这种因素超过由于离子速度 降低引起的能量损失率增加，结果造成裂变碎片的能量损 失率随其能量的降低而减少。这是裂变碎片不同于质子、 粒子等径

38、迹的一个重要特性。 质子和粒子，在低能时也存在电荷交换效应。 质子俘获电子的临界速度所对应的能量质子俘获电子的临界速度所对应的能量E Ep p=25keV=25keV。 粒子俘获电子的临界速度所对应的能量粒子俘获电子的临界速度所对应的能量E E =400keV =400keV。 二、重离子的电子阻止本领二、重离子的电子阻止本领 重离子通过靶物质时，离子电荷态的连续改变，使重离子 的能量损失计算比较困难。通常分三个离子速度(或能量) 区来讨论霓离子的电子阻止本领(或阻止截面)： (1)高速区，离子速度v3VF，这里VF是靶电子的费米 速度。固体的VF大体与v0相近(所有固体的VF在0.7 v0到

39、1.3 v0之间)。对应的能区为每原子质量单位(amu)200keV。 (2)低速区，离子速度vVF，对应的能区为每原子质量 单位25keV。 (3)中速区，VFv 3VF，对应的能区为每原子质量单 位25200keV。 由于电子阻止本领与入射粒子的z、v有关，但入射的离 子由于发生电荷交换效应，所以首先得计算入射离子在 靶物质中的有效电荷。 设原子序数为z，速度为v的重离子，在原子序数为Z的 靶物质中的有效电荷z*(v，Z)，它与离子核电荷的关系 为z*(v，Z)=z(v，Z)，。这样， 从相同速度的轻离子(例如质子质子)在同一靶物质中的电子 能量损失公式出发，便可计算有效电荷为z的重离子

40、在这靶物质中的能量损失。这种方法有时称为“标度法标度法” 或或“重离子的标度规则重离子的标度规则”。 根据我们前面讨论电子阻止本领性质，具有相等速度的 不同电荷态的粒子，它们的电子阻止本领之比仅与它们 的z2有关，在我们这里就是重离子的有效电荷 和质子 的 之比，即 2 h z 2 p z 质子在固体中的电荷态是知道的，总是=1 式中把(z)h简单写成了z。 由实验测量到的重离子能量损失率，与具有相同速度的质 子穿过相同物质所具有的能量损失率(dEdx)p作比较可求 得重离子的有效电荷比例参数。对大量的实验数据作拟合 后，已有经验公式可计算不同能量时的值。或者，当由实 验测定的电荷态分布已知时

41、，可计算出值。 三、重离子的核阻止本领三、重离子的核阻止本领 我们来讨论低能重离子的核阻止问题。低速时，离子通过 电子俘获，电荷态已接近中性，离子的原子核库仑场被它 的核外电子所屏蔽；而且在低速时，离子与靶原子核碰撞 的最接近距离增大，离子不能穿透到更靠近靶核的部位， 靶原子核库仑场也被部分电子所屏蔽。由于离子和靶原子 两个核的复杂的电子屏蔽，使计算离子-原子碰撞能量转移 复杂化。理论处理时，要采用一定形式的离子与靶原子间 的屏蔽库仑势来描述离子与靶原子核的碰撞。入射离子与 靶原子核之间的碰撞，可以看作是二个自由粒子之间的弹 性碰撞(实际上，不只是靶原子核，而是整个靶原子参与碰 撞)，导致离子

42、能量损失和角度偏转。但在最末了的碰撞中， 不能看作是完全自由的，那时必须考虑靶物质的化学结合 能(10eV)。 在质心坐标系中，两个原子的屏蔽库仑碰撞时从入射原子(即 离子)转移到靶原子的能量T是离子的初始能量E和碰撞参量b的 函数： 式中m1、m2分别为离子和靶原子质量，H*是质心系中的离 子散射角度，它与相互作用势、碰撞参量、质心能量有关。 对所有的碰撞参量求和，就得到核阻止本领 N是靶原子密度。 ub的最大值bmax为两碰撞原子半径之和，大于这值时，相 互作用势为零，T=0。 ub的最小值为零，即对头碰撞，这时 E mm mm T 2 21 21 max 4 林哈德等人用托马斯一费米模型

43、来确定库伦屏蔽效应，然后 推导出核阻止本领公式。引入两个无量纲物理量和。 21 2 2 /mmzZeamE 2 21 212 4 mm mm ax a为屏蔽半径，a=a00.8853(z2/3+Z2/3)-1/2； 玻尔半径a0=5.2910-9cm； 入射粒子的折合能量 折合靶厚度 以和为单位来表示的折合(约化)核阻止本领表达为： f（）是计算中的一个函数。当10时 为比较这能量区域中的核阻止的贡献与电子阻止的贡献大小， 我们把(27)式的电子阻止本领也以无量纲量和为单位来 表达，从而得到 A1和A2分别为入射离子和靶原子的质量数。 低能量时重离子的核阻止和电子阻止本领曲线 当zZ时，k0.

44、10.2；z1。 这一节里我们讨论轻带电粒子这一节里我们讨论轻带电粒子( (包括包括射线、单能电子射线、单能电子 以及正电子以及正电子) )与靶物质的相互作用。电子质量小，所以它与靶物质的相互作用。电子质量小，所以它 在物质中的能量损失情况和运动轨迹与重带电粒子相比很在物质中的能量损失情况和运动轨迹与重带电粒子相比很 不一样。电子与靶原子的作用，主要引起电离能量损失、不一样。电子与靶原子的作用，主要引起电离能量损失、 辐射能量损失和多次散射。电子在物质中的运动径迹则十辐射能量损失和多次散射。电子在物质中的运动径迹则十 分曲折。分曲折。 第四节第四节 射线与物质的相互作用射线与物质的相互作用 快

45、电子通过靶物质时，与原子的核外电子发生非弹性碰 撞，使物质原子电离或激发，因而损失其能量，这与重带 电粒子情况相类似。电离损失(电子碰撞能量损失)是射线 在物质中损失能量的重要方式。但由于入射电子质量与跟 它发生相互作用的靶原子轨道电子质量一样，一次碰撞损 失很大部分能量(最大能量转移可为电子能量的一半，大多 数情况下的平均能量转移为几个keV)。碰撞后入射电子运 动方向有较大的改变。 一、电子的能量损失一、电子的能量损失 1电离损失电离损失 由非弹性碰撞所引起的电子能量损失的表达式， 在低能时为 在高能时，应考虑相对论效应，表达式为 电子和粒子在硅中的dEdx值 电子的(-dEdx)e也是与

46、粒子的速度平方成反比。 在能量相同的情况下，电子的速度比粒子的速度大 得多，因而电子的电离损失率比粒子要小得多。 它穿透物质的本领比粒子大得多。 由于粒子的能量损失率较小，所以粒子的比电离值 较小，即粒子的电离本领是较弱的。 结论：结论： 粒子穿过物质时，除了使原子电离或激发损失能量外，还 有另一种损失能量的方式辐射损失。这是粒子与物质 原子的原子核非弹性碰撞时产生的一种能量损失。根据经典 电磁理论，当带电粒子接近原子核时，速度迅速减低，会发 射出电磁波(光子)，这种电磁辐射叫轫致辐射轫致辐射。例如，入射 带电粒子受到靶物质原子核库仑场的作用，使它的运动速度 大小和方向发生变化，即有加速度时，

47、总是伴随着发射电磁 波。如x光管中，电子束打到钨靶上就产生轫致辐射(x射线)。 电子加速器的高能电子束轰击靶子产生轫致辐射。 2辐射损失辐射损失 根据电磁理论，电磁波的振幅正比于加速度，而加速度正比 于入射带电粒子和原子核之间的库仑力，即加速度zZe2/m。 因此，电磁辐射的强度(对各种能量的光子积分)，正比于振 幅的平方(即z2Z2m2)。根据量子电动力学可以得出，轫 致辐射引起的辐射能量损失率有如下的关系： 对于电子，有下列关系式： (1)辐射能量损失率与z2成正比，与m2成反比。因此，电 子的辐射损失率，或电子的轫致辐射强度比粒子、质 子和重离子要大得多。 (2)辐射能量损失率与Z2成正

48、比。表明电子打到重元素 靶物质中，容易发生轫致辐射。这一特性对选择合适的 材料来阻挡粒子很重要。 (3)辐射能量损失率与粒子能量E成正比。这点与电离损 失是不同的，所以电子能量低时，电离损失占优势；能 量高时，辐射损失变得重要了。 结论：结论： 电子在铍和金中的轫致辐射强度电子在铍和金中的轫致辐射强度(对所有能量的光子积分对所有能量的光子积分)的角分布的角分布 在轫致辐射过程中，入射电子原来的动量由原子核、在轫致辐射过程中，入射电子原来的动量由原子核、 光子和被偏转的电子三者之间分配，所以轫致辐射光子可光子和被偏转的电子三者之间分配，所以轫致辐射光子可 以具有任何动量值，对应的光子能量以具有任

49、何动量值，对应的光子能量h h是连续谱，这里是连续谱，这里h h 是普朗克常数，是普朗克常数，是电磁波的频率。能量从零到最大值等是电磁波的频率。能量从零到最大值等 于电子的动能，故轫致辐射又称于电子的动能，故轫致辐射又称连续连续x x射线射线。能量低时，。能量低时， 光子带走的动量较小，所以光子向各个方向发射；能量高光子带走的动量较小，所以光子向各个方向发射；能量高 时，光子倾向于前向发射。时，光子倾向于前向发射。 带电粒子穿过物质时发射电磁辐射的现象，除了轫致带电粒子穿过物质时发射电磁辐射的现象，除了轫致 辐射外，还有另一种辐射过程辐射外，还有另一种辐射过程切伦科夫辐射切伦科夫辐射。这是带。

50、这是带 电粒子使原子暂时极化，当退极化时，发射光子。电粒子使原子暂时极化，当退极化时，发射光子。 粒子与靶物质原子核库仑场作用时，只改变运动方向，而不辐 射能量，这种过程称为弹性散射弹性散射。由于电子的质量小，因而散射 角度可以很大(与粒子相比，粒子的散射要大得多)，而且会发 生多次散射，最后偏离原来的运动方向。同时，入射电子能量越 低、靶物质的原子序数越大，散射也就越厉害，粒子在物质中 经过多次散射，其最后的散射角可以大于900，这种散射称为反 散射。进入吸收物质表面(例如探测器的入口窗)的电子，能从表 面散射回来，因而造成探测器对这部分电子的漏计数；或者，电 子从源衬托材料上反散射进入探测