试读版 第四章技巧套路篇对称点点法差法vs斜率和积商vs定点.pdf

1、6.2 对称点点法差法 vs 斜率和积商 vs 定点 1. 斜率斜率和和二次曲线二次曲线上定点上定点之间之间的关系的关系 过二次曲线上一定点M 做两条直线交于 A、 B两点， 两条直线的斜率分别为 12 kk、， 且 12 kk、满足： 1212 ()0kkk k，则直线 AB 恒过定点 2. 高中常见高中常见的类型的类型 (1) 椭圆椭圆过椭圆 22 22 1 xy ab 上任一点 00 (,)P xy引两条弦 PA、PB， 若 2 2 PAPB b kk a ，则直线 AB 恒过定点 2222 00 2222 , abab xy abab 若(0) PAPB kk ，则直线 AB 恒过定点

2、 22 2200 00 22 , a yb x a xa y (2) 双曲线双曲线过双曲线 22 22 1 xy ab 上任一点 00 (,)P xy引两条弦 PA、PB， 若 2 2 PAPB b kk a ，则直线 AB 恒过定点 2222 00 2222 , abab xy abab 若(0) PAPB kk ，则直线 AB 恒过定点 22 2200 00 22 , a yb x a xa y (3) 抛物线抛物线过抛物线 2 2ypx上任一点 00 (,)P xy引两条弦 PA、PB， 若(0) PAPB kk ，则直线 AB 恒过定点 00 2 , p xy 若(0) PAPB kk

3、 ，则直线 AB 恒过定点 0 00 22 , yp xy 3. 特例特例：斜率和为斜率和为零零 过圆锥曲线圆锥曲线上任一点 00 (,)P xy引两条弦 PA、PB，若直线 PA、PB 的斜率互为相反数， 即0 PAPB kk，则直线 AB 的斜率为定值，定值为点 P 处切线斜率的相反数 例如，对于椭圆 22 22 1 xy ab ，则 2 0 2 0 AB xb k ay ；对于抛物线 2 2ypx，则 0 AB p k y y xO A B C D 背景背景根据结论： 圆锥曲线上的四点共圆， 则斜率互补！ ！（可参见后面的四点共圆专题） 如图所示，则有 0 0 ABCD DACB kk

4、kk ，当 C、D 两点不断接近，直至重合为一点 P 时，则 CD k 即为椭圆在点 P 处切线的斜率 P k，即 0 0 ABP PAPB kk kk 4. 椭圆和双曲线椭圆和双曲线 vs 抛物线抛物线 上述种种结论，对于椭圆和双曲线，利用“对称点点差法”的套路即可轻松处理，而对 于抛物线，利用“抛物线抛物线的中点斜率公式的中点斜率公式抛物线抛物线的两点式的两点式方程方程”即可轻松处理，具体参 考前面的抛物线的两点式方程章节 例例已知椭圆 22 1 82 xy C：上有一点(2,1)A，点 M、N 也在椭圆 C 上，且满足 1 4 AMAN kk ，求证：直线 MN 过定点 分析分析由于 2

5、 2 1 4 AMAN b kk a ，联想到对称点点差法的结论，可以猜测直线 MN 过 的定点是原点 证明证明设 11 (,)M xy， 22 (,)N xy，则 11 11 22 22 121 241 121 241 AM AN yx k xy yx k xy ，又 1 4 AMAN kk ， 故 12 12 21 21 1211 2414 1211 2414 yx xy yx xy ，展开： 12211212 21121212 2() 2() x yx yxxyy x yx yxxyy ， 由 可 得 ： 1221 0 x yx y； 又 直 线MN的 方 程为 ： 12211221 (

6、)()0yyxxxyx yx y，即为： 1221 ()()0yyxxxy，显然，直线 MN 过定点(0 , 0) 注解版注解版设 11 (,)M xy， 22 (,)N xy，(2,1)A，( 2,1)B （补出点 A 关于原点的对称点） ， 利用点差法易得： 11 11 111 224 MAMB yy kk xx ，即 11 11 121 241 MA yx k xy 同理可得： 22 22 121 241 AN yx k xy （对于 AN k直接用 22 xy、替换 AM k中的 11 xy、即可） 又 1 4 AMAN kk ，故 12 12 21 21 1211 2414 1211

7、 2414 yx xy yx xy （交叉相乘） 展开： 12211212 2()x yx yxxyy ，展开： 21121212 2()x yx yxxyy （对于，同样直接用 1212 xxyy、替换中的 2121 xxyy、即可，不需要重复计 算！ ） 由可得： 1221 0 x yx y ，又直线MN为： 12211221 ()()0yyxxxyx yx y，代入可得： 1221 ()()0yyxxxy，显然， 直线 MN 过定点(0 , 0) 注注(1)交叉相乘的目的交叉相乘的目的是为了凑出直线的两点式方程中的“ 12 x y、 22 x y” ；毕竟， 此法的本质就是利用直线的两点

8、式方程！ ！【是最本质的目的，不过是附带的效 果！ 】 是为了简化运算；上面的交叉相乘是为了方便下面直接替换，简化运算！ (2)计算量说明计算量说明此法的计算量，主要集中在“展开作差”这两步，因此，一定要细 心！同时，虽然展开的式子看上去很庞大，一大串，但是，计算量实际并不大，而且，一旦 熟练此法，要远远比传统的韦达定理方法快速很多！ ！ (3)书写书写技巧技巧要熟练直线的两点式方程的书写，以及纵横截距公式的书写；同时，在 展开的时候，向直线两点式方程中的元素形式靠拢，即写成“ 12 x y、 22 x y”的形式 例例(2017 全国理)已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：，四

9、点 1(1,1) P、 2(0 ,1) P、 3 3 1, 2 P 、 4 3 1, 2 P 中恰有三点在椭圆 C 上. (1) 求 C 的方程； (2) 设直线 l 不经过 2 P点且与 C 相交于 A、 B 两点 若直线 2 P A与直线 2 P B的斜率的和为 1，证明：l 过定点 解解(1) 根据椭圆的对称性， 易知点 2 P、3P、4P在椭圆C上， 易求得C的方程为 2 2 1 4 x y (2)设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，则 2 2 11 11 22 22 11 41 11 41 P A P B yx k xy yx k xy ，故 22 12 12 21 2

10、1 11 1 41 1 11 1 41 P AP B yx xy kk yx xy ， 展开： 121212121 122112212 4(1)4()0 4(1)4()0 y yyyx xx yx y yyyx xx yx ， 作差可得： 12121221 2()()0yyxxx yx y 又直线 AB 为： 12121221 ()()0yyxxxyx yx y，和类比，显然，直线 AB 过 定点(2,1) 例例(2009 辽宁文压轴、理)已知椭圆 C 过点 3 1, 2 A ，两个焦点为( 1, 0)，(1,0) (1) 求椭圆 C 的方程； (2) E、F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直

11、线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明 直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值 解解(1) 22 1 43 xy ；(2) 1 2 法一法一常规韦达定理常规韦达定理法法替换替换的的技巧技巧 设直线AE为： 3 (1) 2 yk x， 与椭圆联立： 2 22 3 (34)4 (32 )4120 2 kxkk xk ， 设(,) EE E xy，则 2 2 3 412 2 1 34 E k x k ，即 2 2 3 412 2 34 E k x k ， 3 2 EE ykxk 又直线AF、 AE 的斜率互为相反数， 设(,) FF F xy， 以k替换 k， 可得： 2 2 3 412

12、 2 34 F k x k ， 3 2 FF ykxk 因此， 直线EF 的斜率 ()21 2 FEEF EF FEFE yyk xxk k xxxx ， 即直线 EF 的斜率为定值 1 2 法二法二对称点点差法对称点点差法 设 11 (,)E xy， 22 (,)F xy，由 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy 变形可得： 1 1 1 1 2 2 2 2 3 13 2 3 14 2 3 13 2 3 14 2 AE AF y x k x y y x k x y 又0 AEAF kk，故 1 2 1 2 2 1 2 1 3 13 2 0 3 14 2 3 13 2 0 3

13、14 2 y x x y y x x y ，展开可得： 12211221 21122 112 946()3(1) 946()3(1) y yyyx xxx y yyyx xxx ，两式相减，并整理可得： 2121 2()yyxx，显 然 1 2 EF k 例例在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 1 84 xy 上一点(2,2)A，点 B 是椭圆上任意 一点（异于点 A） ，过点 B 作与直线 OA 平行的直线 l 交椭圆于点 C，当直线 AB、AC 斜率都 存在时， ABAC kk 解解设椭圆在点 A 处的切线斜率为 A k，则 4 8 AOA kk ，易得到0 ABC kk，利 用上述

14、结论，显然0 ABAC kk 例例在圆 22 25xy上有一点(4,3)P，点 E、F 是 y 轴上两点，且满足PEPF，直 线 PE、PF 交圆于 C、D 两点，则直线 CD 的斜率是 法一法一知道背景的话，显然，直线和 CD 的斜率就是点 P 处切线斜率的相反数，由于圆 在点 P 处的切线为4325xy，因此， 4 3 CD k 法二法二既然是圆，和圆有关的题目，一般都可以利用几何法，此题也不例外！ 作点 P 关于 y 轴的对称点( 4,3)Q ，由PEPF可知CPQDPQ ，故 Q 是CD的 中点，进而可得 CDOQ，因此， 14 3 CD OQ k k 例例设点 A、B 分别为椭圆 2

15、2 22 10 xy ab ab 的左、右顶点，设l xc：为过椭圆右 焦点的直线，其与椭圆交于点 P，过 l 上一点 Q（位于点 P 上方）作直线 AQ、BQ 分别交椭 圆于点 M、N，直线 MN 交 x 轴于点 C，过点 P 作斜率互为相反数的直线 PR、PS 分别交椭 圆于点 R、S，直线 RS 交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 I，若BDCD，且 3 4 OIb（其中 O 为 坐标原点） ，则椭圆的离心率为 Q A B CDx y P I R S O M N 解解易知极线l xc：对应的极点为 2 , 0 a C c ，故 2 1 2 D a xa c 由于0 PRPS kk，故直线

16、 RS 的斜率为椭圆在点 P 处切线斜率的相反数，易知椭圆在 点 P 处的切线方程为：yexa ，故 RS OI ke OD ，易解得 5 13 e 注注此题是利用结论拼凑的题；上述的背景结论都可以利用点差法进行证明 例例(2015 陕西理)如图， 椭圆 22 22 10 xy Eab ab ：经过点(0,1)A， 且离心率为 2 2 . (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P、Q（均异于点 A） ，证明： 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2 y x P Q O A 解解(1) 2 2 1 2 x y (2) 法一法一常规常

17、规方法，方法，设直线设直线法法韦达定理法韦达定理法 设直线 PQ 为(1)1(2)yk xk， 与椭圆联立： 22 (12)4 (1)2 (2)0kxk kxk k， 设 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy， 12 0 x x ，则 12 2 4 (1) 12 k k xx k ， 12 2 2 (2) 12 k k x x k ，故直线 AP 与 AQ 的斜率之和为： 121212 12121212 112211 2(2)2(2) 4 (1) 2(2) 2 (2) 22(1)2 APAQ yykxkkxkxx kkkkkk xxxxxxx x k k kk k k kk 法二法二设

18、点法，设点法，即即对称点点差法对称点点差法 设 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy， 2 2111 1 11 11 1 221 xyx y xy ， 同 理 可 得 ： 22 22 11 21 yx xy 设 APAQ kkt， 则 由 可 得 ： 12 12 21 21 11 21 11 21 yx t xy yx t xy ， 展 开 ： 1212121 1221212 2(1)2 () 2(1)2 () y yyyt x yx y yyyt x yx ，两个式子相减可得： 12122112 2()()yyt x yx yxx， 又 直 线PQ过 点(1,1)， 可 得 ： 12

19、121221 ()()0yyxxx yx y， 即 12211212 ()()x yx yxxyy ， 代入中， 1212 2()()yyt yy ， 由于 12 yy， 故2t ， 得证 注注也可以借助比例的性质如下书写： 1221 1221 1111 2121 APAQ yxyx kk xyxy ， 即 12121221212121 121212122121 222222224() 2()2()2() APAQ y yyyx xy yyyx xyy kk x yxx yxx yx yxx ， 又 直 线 PQ 的 方 程 为 12211221 ()()0yyxxxyx yx y， 代 入(

20、1,1)， 则 有 21211221 yyxxx yx y，故2 APAQ kk 例例在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 22 10 xy Eab ab ：的离心率为 3 2 ，两个顶 点分别为(,0)Aa，( , 0)B a，点( 1,0)M ，且3AMMB ，过点 M 斜率为(0)k k 的直线 交椭圆 E 于 C，D 两点，且点 C 在 x 轴上方 (1) 求椭圆 E 的方程；(2) 若 BCCD，求 k 的值； (3) 记直线 BC，BD 的斜率分别为 12 kk、，求证： 12 k k为定值 y xO AB C D M 解解(1) 2 2 1 4 x y； (2) 既然 k 可

21、求，那么点 C 的坐标必定也可求，C 的坐标含有两个未知数，因此，只要 找到两个相关方程求解即可，显然，其中一个方程是椭圆方程，再利用斜率关系构造另一个 方程即可求解 设 11 (,)C xy， 2 22111 1111 11 2 121 2143 CBCDCBCM yyx kkkkxxyx xx ， 1 2x （舍去） ， 点 C 在 x 轴上方，故 1 6 3 y ， 1 1 2 2 1 y k x (3) 法一法一利用利用对称点点差法对称点点差法 设 11 (,)C xy， 22 (,)D xy，设 12 k k定值为 t，则 12 12122112 12 12 2121122112 2

22、1 21 424280 24280221 42 xy t yxtx yx yyty yy k kt xytx yx yytyxx t yx ， 作差可得： 122112 (41)()(28 )()0tx yx ytyy，又 122121 ()x yx yyy ，代入消 去 21 ()yy，易解得 1 12 t 法二法二利用定比利用定比点差法对称点点差法点差法对称点点差法 设 11 (,)C xy， 22 (,)D xy，CMMD ，利用定比点差法，易得： 1 2 12 253 3 25 x x yy ， 故 12121 12 12122 1 2 22411 2242424 2411131 3

23、424412 9 yyxyx k k xxyxx x x 变式变式将上述第(3)问换成：记直线 AD，BC 的斜率分别为 12 kk、，求证： 1 2 k k 为定值 y xO AB C D M 法一法一显然是利用点差法 1 4 ADBD kk 作的马甲， 由上述第(3)问知 1 12 BCBD kk ， 显 然3 AD BC k k 法二法二无视第三定义，利用韦达定理，则是典型的非对称问题，利用和积公式套路之即 可 法三法三无视第三定义，继续利用对称点点差法，具体过程同上面类似，故略 法四法四利用定比点差法，也很简单，具体过程同上面类似，故略 法五法五利用斜率比值模型，可速得答案： 1 2

24、3 kBM kMA ，更多参见后续极点极线专题 例例在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：的离心率 3 2 e ，点 A、B 分别是椭圆 C 的左、右顶点，椭圆 C 上一点 S 到点(0,3)Q的距离的最大值为 4，过点 2 , 0 3 P 作斜率为(0)k k 的直线 l 交椭圆 C 与 M、N 两点，点 M 在 x 轴上方 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设直线 AM、BN、AN、BM 的斜率分别是 1234 kkkk、，求 1234 234kkkk的 最小值 解解(1) 由于 2 2 2 1 1 4 b e a ，即 22 4ab，故椭圆

25、C 的方程为： 22 22 1 4 xy bb 设(2 cos, sin )Sbb，则 22222 1 4cos( sin3)3sin412SQbbbb b ， 当1b 时， 1 1,1 b ，故 2 min 4124SQb，解得 2 1b ； 当1b 时， 1 1 b ，故 22 min 1 314124SQbb b ，此时无解； 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y； (2)先利用套路证明出 1 2 2 kBP kPA （或者证明 13 1 2 k k ） ，又 1423 1 4 k kk k ，故 1234121 211 315 234222 5 42 kkkkkkk kkk ，

26、 当且仅当 1 5 2 k 取得等号 练习练习在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点(2,1)P在椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：上， 且 离心率为 2 2 (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 不过坐标原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点（不与点 P 重合） ，且线段 AB 的 中点为 D，直线 OD 的斜率为 1，记直线 PA、PB 的斜率分别为 12 kk、，求证： 12 k k为定值 y A B D O x 略解略解(1) 22 1 63 xy ； (2) 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 由于 3 6 ODAB kk ， 故 1 2 A

27、B k ， 即 1212 2()0 xxyy 由于 11 1 11 22 2 22 121 221 121 221 yx k xy yx k xy ，设 12 k kt，则 12 12 12 12 12 12 121 221 211 212 yx k kt xy xy k kt yx ，展开可 得： 21121212 12212121 222 (22) 222 (22) x yyxt x yxy x yyxt x yxy ，作差可得： 2112121212211212 222 (22)x yx yyyxxt x yx yxxyy ， 结合式，可得 21121221 2 ()x yx yt x

28、yx y ，故21t ，即 1 2 t 例例如图，已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ，A、B 为椭圆的左右顶点， 焦点到短轴端点的距离为 2，P、Q 为椭圆 E 上异于 A、B 的两点，且直线 BQ 的斜率等于直 线 AP 斜率的 2 倍 (1) 求证： 直线 BP 与直线 BQ 的斜率乘积为定值； (2) 求三角形 APQ 的面积 S 的最大值 x y P Q AB O 解解(1) 22 1 42 xy ，易得 2 2 2 21 BPBQAPBP b kkkk a (2)设 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy，则 11 11 22 22 21 22

29、21 22 BP BQ yx k xy yx k xy ，故 12 12 21 21 21 1 22 1 21 1 22 BPBQ yx xy kk yx xy ，展开： 122112 121221 11221 2240 2 ()0 22403 x yx yyy yyx yx y x yyy ， 又直线 PQ 为： 12121221 ()()0yyxxxyx yx y，对比式，易得直线 PQ 过定 点 2 , 0 3 M 因此，设直线 PQ 为： 2 3 xmy，与椭圆联立： 22 432 (2)0 39 mymy， 故 2 1212 22 14416916 233292 APQ m SAM

30、yyyy mm ， 令 2 11 0, 22 t m ， 则 2 16 29 9 APQ Stt ， 2 ( )29f ttt 的开口向下， 且对称轴 9 4 t ， 故 APQ S在 1 2 t ， 即0m 时取得最大值为 32 9 APQ S 注注对于此题，利用套路，定点是很容易得到的！但是，对于面积的求解，估计会有同 学卡主，尤其是习惯于利用均值不等式的同学，估计会想方设法凑均值，但是，此题的面积 不能用均值，显然，取等条件就是直线斜率不存在的情况！ 此外，注意面积公式的选取，不能混淆的，利用面积切割的话，就用不到弦长公式，估 计会有的同学，粗心将 12 1 2 APQ SAM yy 写

31、出 1 2 APQ SAM PQ 例例(2014 辽宁理)圆 22 4xy的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当 该三角形面积最小时，切点为 P（如图） ，双曲线 22 1 22 1 xy C ab ：过点 P 且离心率为3 (1) 求 1 C的方程； (2)椭圆 2 C过点 P 且与 1 C有相同的焦点，直线 l 过 2 C的右焦点且与 2 C交于 A，B 两点， 若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程 x O y P 解解(1) 设切点 00 (,)P xy，切线上任一点为( , )Q x y，则0OP PQ ，代入数据，结合 22 00 4xy，解得切线方程为

32、： 00 4x xy y， 【这是圆上任意一点的切线的推导套路！ 】 ， 进 而 可 得 三 角 形 的 面 积 为 0000 1448 2 S xyx y ， 又 22 0000 42xyx y， 故 0000 1448 4 2 S xyx y ，当且仅当 00 2xy时取等号，因此，点 P 的坐标为( 2 ,2) 由题意知 22 2 2 2 22 1 12 ab b e a ，解得 2 2 1 2 a b ，故 1 C方程为 2 2 1 2 y x (2) 法一法一此问比较简单，显然，先转化为0APBP ，然后设直线，结合韦达定理计 算即可 易得 2 C为 22 1 63 xy ，显然，l

33、 斜率不为 0，故设 l 的方程为3xmy， 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 直线 l 和 2 C联立： 22 (2)2 330mymy，则 12 2 12 2 2 3 2 3 2 m yy m y y m ，由于直线 l 过 2 C 的右焦点，故必有0 由 11 3xmy， 22 3xmy得： 1212 2 2 2 121212 2 4 3 ()2 3 2 66 3 ()3 2 xxm yy m m x xm y ym yy m ， 由题意可知0APBP ，即 1212 ( 2)( 2)( 2)( 2)0 xxyy， 【注意式子的展 开技巧，同时不建议使用点乘双根的算法！ 】

34、 即 12121212 2()2()40 x xxxy yyy，代入数据整理得： 2 22 64 6110mm， 解 得 3 6 1 2 m 或 6 1 2 ， 因 此 直 线 方 程 为 3 6 130 2 xy 或 6 130 2 xy . 法二法二分析条件，易知1 PAPB kk ，显然也可以利用对称点点差法处理，不过利用对称 点点差法只能得到一条直线，结合法一可知，漏了一个解，即忽略了“点 P 可以在直线 AB 上，亦即点 P 可以和点 A 或点 B 重合” 当点 P 和点 A 或点 B 重合时，满足题设条件，由( 2 ,2)P， 2( 3 , 0) F，可得直线 l 为： 6 130

35、 2 xy 当点 P 不和点 A 或点 B 重合时，则 PAPB，易知直线 PA、PB 的斜率都存在且不为 0， 故1 PAPB kk 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy，则 11 11 22 22 221 222 221 222 PA PB yx k xy yx k xy ，故 12 12 21 21 221 1 222 221 1 222 yx xy yx xy ，展开可得： 12211221 21122112 22 222 2220 22 222 2220 x yx yxxyy x yx yxxyy ， 两式相减可得： 12121221 2()2()3()0yyxxx yx

36、 y， 【由此式，也可以得到 直线 AB 过定点 22 , 33 】 ， 又直线 AB 过点 2( 3 ,0) F， 可得： 122121 3()x yx yyy ， 把代入可得： 21 21 2 3 62 AB yy k xx ， 进而可得直线 l 为： 3 6 130 2 xy 综上所述，直线方程为 3 6 130 2 xy 或 6 130 2 xy . 注注从此例可以看出， 对称点点差法的使用还是有风险的， 如果对题目的条件分析不彻 底，就会造成漏解！ 例例定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即 c e a ，叫做椭圆的离心率.若两个椭 圆的离心率 e 相同，称这两个椭圆相似 (1)

37、判断椭圆 22 1 1 10025 xy C：与椭圆 2 2 2 1 4 x Cy：是否相似？并说明理由； (2) 若椭圆 22 1 2 1(2) 4 xy a a ：与椭圆 22 2 1 816 xy ：相似，求 a 的值； (3) 设动直线6l ykx：与(2)中的椭圆 1 交于 M、N 两点，试探究：在椭圆 1 上是否 存在异于 M、N 的定点 Q，使得直线 QM、QN 的斜率之积为定值？若存在，求出定点 Q 的 坐标；若不存在，说明理由 解解(1) 由于 12 3 2 ee，故相似；(2) 由 2 48 4 a a ，解得2 2a ； (3) 椭圆 22 1 1 84 xy ：，设 0

38、0 (,)Q xy， 11 (,)M xy， 22 (,)N xy， QMQN kk 由于 0101 0101 0202 0202 1 2 1 2 QM QN yyxx k xxyy yyxx k xxyy ，故 0102 0102 0102 0102 1 2 1 2 yyxx xxyy xxyy yyxx ，展开可得： 0020012100021012 0010021200012021 2 () 2 () x yx yx yx yx yx yx yx y x yx yx yx yx yx yx yx y ， 两个式子作差可得： 0120121221 ()(21)()(21)()(21)0yxxxyyx yx y 注意到直线 l 过定点(0, 6)，利用纵截距公式： 122121 6()x yx yyy 根据题意，类比，必有 0 0 0 (21)21 16 x y ，又 22 00 1 84 xy ，因此，当 0 2y 时， 解得 1 4 ；当 0 2y 时，解得1.