试读版 第四章技巧套路篇对称点点法差法vs点的斗转星移.pdf

1、6.1 对称点点法差法 vs 点的斗转星移 例例(1) 椭圆 22 22 10 xy ab ab 的两个顶点为 1( , 0)Aa， 2( , 0) A a，与 y 轴平行的直 线交椭圆于 1 P、 2 P时，求证： 11 A P与 22 A P交点的轨迹方程是： 22 22 1 xy xa ab (2) 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个顶点为 1( , 0)Aa， 2( , 0) A a，与 y 轴平行的直 线交双曲线于 1 P、 2 P时，求证： 11 A P与 22 A P交点的轨迹方程是： 22 22 10 xy xa ab 、 1 A 2 Ax y 1 P

2、2 P Q 证明证明如图，以椭圆为例进行证明，设 11 A P与 22 A P交点为( , )Q x y，由于 1222 PAP A kk ， 利用对称点点差法可得： 1 1121 12212 2 2 P AP AP AP AQAQA byy kkkkkk axaxa 即 22 22 1 xy ab 注注这两个小题经常在解析几何大题中出现，轨迹方程的求解很简单，但是，范围的范围的限限 制制不能遗漏，尤其对于双曲线，多了0 x 的限制可参考例题之 2010 广东理 例例已知双曲线 2 2 1 2 x y的左、右顶点分别为 12 AA、，点 11 (,)P xy、 11 (,)Q xy是双 曲线上

3、不同的两个动点 (1) 求直线 1 AP与 2 A Q交点的轨迹 E 的方程； (2) 若过点(0, )(1)Hh h 的两条直线 1 l和 2 l与轨迹 E 都只有一个交点，且 12 ll，求 h 的值 分析分析此题有坑，有两个坑，第一个坑是第一问的轨迹的范围限制不能遗漏，第二个坑 就是第一个坑的基础上继续挖的坑整体来说，此题想得满分很难！ ！ 解解(1) 法一法一交轨法交轨法求轨迹求轨迹，实质还是实质还是消参法消参法 直线 1 AP的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ，直线 2 A Q的方程为 1 1 (2) 2 y yx x 由得： 2 1 2 22221 22 11 1 1 2

4、 (2)(2)(2) 222 x y yxxx xx ，即为 2 2 1 2 x y 因为点 P、Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 1 A、 2 A均不重合故点 1 A和 2 A均 不在轨迹 E 上，即2x 过点(0,1)及 2( 2 ,0) A的直线 l 的方程为220 xy，联立 2 2 1 2 220 x y xy ，解 得 2 0 x y ，所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 2 A，故轨迹 E 不经过点(0,1)，同理，轨迹 E 也不经过点(0,1) 【由于直线220 xy和 2 2 1 2 x y的渐近线是平行的，故只有一个交点！ ！ 】 综上分析，轨迹 E 的方程为 2 2

5、 1 2 x y，0 x 且2x (2) 情形一情形一 1 l和 2 l均与轨迹 E 相切，此时，恰好就是蒙日圆，显然有213h 设 过 点(0, )Hh的 直 线 为(1)ykxh h， 与 2 2 1 2 x y联 立 ： 222 (12)4220kxkhxh 令0 得： 22 120hk ，设此方程的两个根分别为 1 k、 2 k，由于 12 ll，故 2 12 1 1 2 h k k ，解得3h 情形二情形二 1 l和 2 l中的一条过 1 A或 2 A，另一条与轨迹 E 相切 设 过 点(0, )Hh的 直 线 为(1)ykxh h， 与 2 2 1 2 x y联 立 ： 222 (

6、12)4220kxkhxh 令0 得： 22 120hk 当 1 l过点 1 A和 H，则直线 1 l的斜率为 1 2 h k ，由于 12 ll，则 1 1k k ，即2hk 由解得： 117 2 h 同理，当 2 l过点 2 A和 H，而 1 l与轨迹 E 相切时，亦有 117 2 h 情形三情形三 1 l和 2 l分别过 1 A或 2 A，均不与轨迹 E 相切 过点 1 A、 2 A分别引直线 1 l、2l通过 y 轴上的点(0, )Hh， 且使 12 ll， 因此， 12 A HA H， 由1 22 hh ，得2h 此时， 1 l、 2 l的方程分别为2yx与2yx ，它 们与轨迹 E

7、 分别仅有一个交点 22 2 , 33 与 22 2 , 33 . 综上所述，符合条件的 h 的值为3，2或 117 2 注注对于上述的情形一、二也可采用如下方法进行求解： 情形一情形一若 1 l、 2 l与椭圆相切时，由于椭圆关于 y 轴对称，且 12 ll，则 1 l与 2 l的斜率 分别为 1 和1 又 1 l过点(0, )Hh，则直线 1 l的方程为 1 lyxh：与 2 2 1 2 x y联立： 22 3 210 2 xhxh ，由于直线与椭圆相切，故 22 3 44(1)0 2 hh ，即 2 30h， 解得3h ,3h (舍去) 情形二情形二当 1 l过点 1 A， 2 l与轨迹

8、 E 相切时，设切点为 00 (,)xy，则有： 2 20 0 1 2 x y， 00 00 2 yhx xy ， 0 0 1 22 xh y ， 联立解得： 117 2 h 同理，当 2 l过点 2 A和 H，而 1 l与轨迹 E 相切时，亦有 117 2 h 炫 技炫 技 法法设 直 线 1 AP与 2 A Q的 交 点 为( , )M x y， 由 于 11 A PAQ kk ， 故 121212 A MA MA PA QAQA Q kkkkkk ，即为 2 111 2 1 11 1 222222 yyyyy xxxxx ，即为 2 2 1 2 x y 例例已知点( 3, 0)A 和圆

9、22 9O xy：，AB 是圆 O 的直径，M、N 分别是 AB 的三等 分点，P（异于 A、B）是圆 O 上的动点，PDAB 于 D，(0)PEED ，直线 PA 与 BE 交于 C，当时，CMCN为定值 解解 1 8 ；根据题意可知，点 C 的轨迹是以 M、N 为焦点，A、B 为顶点的椭圆，其方程 为 22 1 98 xy 设 00 (,)P xy，则 22 00 9xy， 0 0, 1 y E x ，利用对称点点差法可知： 0 0 00 8 1 339 CACBPAEB y y kkkk xx ， 易解得 1 8 例例已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点

10、为 1( 3, 0) F ， 点 16 3, 5 B 在椭圆上，直线(0)ykx k与椭圆交于 E、F 两点，直线 AE、AF 分别与 y 轴 交于 M、N 两点 (1) 求椭圆的方程； (2) 以 MN 为直径的圆是否过定点？若经过，写出定点的坐标，若不存在，请说明理由 略解略解 22 1 2516 xy ， 易知 16 25 AEAFAMAN kkkk ， 即 16 5525 NM yy ， 即16 MN y y ， 利用相交弦定理，显然，过定点( 4,0) 例例(2009 江西理)已知点 100 (,)P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb （b 为正常数）上任一点， 2 F

11、为双曲线的右焦点，过 1 P作右准线的垂线，垂足为 A，连接 2 F A并延长交 y 轴于 2 P (1) 求线段 12 PP的中点 P 的轨迹 E 的方程； (2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点，在 E 上任取一点 111 ,(0)Q xyy （），直线 QB、QD 分别交 y 轴于 M、N 两点求证：以 MN 为直径的圆过两定点 x y O P 1 P 2 P 1 F 2 F A 解解(1) 2(3 , 0) Fb， 0 8 , 3 b Ay ， 直线 2 F A为： 0 3 (3 ) y yxb b ， 令0 x ， 可得 20 (0,9)Py， 设( , )P x y，则

12、0 00 2 29 xx yyy ，即 0 0 2 5 xx y y ，代入 22 00 22 1 8 xy bb ，可得 22 22 1 225 xy bb ， 此即为线段 12 PP的中点 P 的轨迹 E 的方程 (2)利用双曲线的第三定义，亦即对称点点差法： 2 22 25 22 NMNM QBQDMBMD BD yy yyb kkkk xxbb ，即 2 25 MN y yb ， 【至此可知，定点显然 是( 5 , 0)b】 设以 MN 为直径的圆与 x 轴的交点为( , 0)T t， 根据相交弦定理可得： 2 OMONOT， 即 2 MN y yt，即5tb ，因此，以 MN 为直径

13、的圆所过的两个定点是(5 , 0)b和( 5 ,0)b 拓展拓展关于此类圆过定点的题型，以下是两种常见的模式： (1) 左图是以第三定义为背景，此时有： 2 2 NM APBPAMBN yyb kkkk tataa ，即 222 2 () MN b ta y y a 设HSHTd，则根据圆幂定理得： 2 MN y yd，即 222 2 ()b ta d a ，因此，以 MN 为直径的圆恒过定点(, 0)S td和(, 0)T td，其中 222 2 ()b ta d a (2) 右图是以弦 PQ 过定点(, 0)R m，则直线 AP、AQ 的斜率积为定值为背景，此时有： 2 2 () () N

14、M APAQAMAN yybma kkkk tataama ， 即 2 2 2 () () () MN bma y yta ama ，后续分析同上，相关证明方法，参见接下来的章节即可 y x A P B M N S H T xt O y x A P M N S H T xt Q OR 例例设椭圆 22 22 10 xy ab ab ：的左顶点( 2,0)A ，离心率 3 2 e ，过点(1,0)G的 直线交椭圆于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交直线3x 于 M、N 两点 (1) 求椭圆的标准方程； (2) 以线段 MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出所有定点的坐标；若不是，请说明 理

15、由 答案答案(1) 2 2 1 4 x y；(2) 5 3 3, 0 6 例例直线(0)ykx k与椭圆 22 22 10 xy Eab ab ：交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴上， 且 ACx 轴，直线 BC 与 E 交于点 D若 ABAD，则 E 的离心率为() A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 4 A B C D x y O 解解选 B；设 00 (,)A xy，则 00 (,)Bxy， 0 (, 0)C x，由于 2 2 DADBDACB b kkkk a ， 又1 DAAB kk ，故 2 2 CBAB b kk a ，即 2 00 2 00 2 yyb xax ，即

16、 2 2 1 2 b a ，故选 B 题源题源 1(2011 江苏理)如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， M、 N 分别是椭圆 22 1 42 xy 的 顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线， 垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k (1) 若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；(2) 当2k 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d； (3) 对任意0k ，求证：PAPB P A C B OM N y x 解解(1)由于( 2,0)M ，(0,2)N，故 M、N 的中点为 2 1, 2 ，故

17、2 2 k (2) 由 22 2 24 yx xy 可解得 2 4 , 3 3 P ， 24 , 33 A ， 2 ,0 3 C ，因此，直线 AC 为： 2 3 yx，故点 P 到直线 AB 的距离 242 2 2333 32 d (3) 利用分析法证明：设 00 (,)P xy， 11 (,)B xy，则 00 (,)Axy， 0 (,0)C x，等价于求证 1 PAPB k k ， 利用对称点点差法，可知 1 2 PBAB kk ，进而等价于求证2 PAAB kk，即求证2 PAAC kk， 由于 0 0 PA y k x ， 00 000 2 AC yy k xxx ，显然有2 PAA

18、C kk，故得证 题源题源 2(2012 湖北文理)设 A 是单位圆 22 1xy上的任意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直 的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交点， 点 M 在直线 l 上， 且满足DMm DA(0m 且1m ) 当 点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C (1) 求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； (2) 过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点，其中 P 在第一象限，它在 y 轴上 的射影为点 N，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H 是否存在 m，使得对任意的0k ，都有 PQPH？若存在，求 m 的值；若

19、不存在，请说明理由 解解(1) 如图 1， 设( , )M x y， 00 (,)A xy， 由DMm DA(0m 且1m )可得 0 0 xx ym y ， 结合 22 00 1xy，可得： 2 2 2 1 y x m (0m 且1m ) 因此，当01m时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，且焦点坐标为 2 (1, 0)m、 2 ( 1, 0)m； 当1m 时， 曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 且焦点坐标为 2 (0,1)m、 2 (0, 1)m (2) 如图 2、 3， 假设 PQPH， 则1 PQPH kk ， 利用对称点点差法， 可知 2 HPHQ kkm ， 进而可得 2 H

20、QPQ km k， 设 00 (,)P xy， 则 00 (,)Qxy， 0 (0,)Ny， 0 0 2 HQNQ y kk x ， 0 0 PQ y k x ， 故 200 00 2yy m xx ，结合0m ，可解得2m 例例已知椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y， 设 P 为椭圆上第一象限内的点， 点 P 关于原点 O、 x 轴的对称点分别为 A、Q，且 4 5 PDPQ ，若直线 AD 与椭圆 C 的另一个交点为 B，试判 断直线 PA、PB 是否互相垂直，并说明理由 x y O P A B Q D 略解略解不妨假设 PAPB，此时PDPQ ，设 00 (,)P xy，则 0

21、0 2 D yy y 由于 1 4 1 BABP PABP kk kk ，故 0 0 1 44 BAPA y kk x ，直线 AB 的方程为： 0 00 0 () 4 y yyxx x ， 令 0 xx可得： 0 2 D y y ，故 0 0 34 245 D yy y ，因此，直线 PA、PB 不垂直 例例已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：的离心率为 6 3 ，且过点( 6 ,2)设 M 是椭圆 C 上的一点，P、Q、T 分别为点 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点， N 为椭圆 C 上异于点 M 的另一点，且 MNMQ，QN 与 PT 的交点为 E (1) 求椭圆 C

22、 的方程；(2) 当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点 E 的轨迹方程 M N y x O P Q T E 解解(1) 22 1 124 xy ； (2)设 0000 (,)(0)M xyx y ， 则 00 (,)Pxy， 00 (,)Qxy， 00 (,)T xy， 则 0 0 1 1 3 33 1 NMNQ NQMQ NMMQ kk y kk x kk ，故直线 QN 的方程为： 0 00 0 () 3 y yyxx x 又直线 PT 的方程为： 0 0 y yx x ，联立解得： 0 0 1 2 1 2 E E xx yy ，又 22 00 1 124 xy ， 可得 2 2 1 3 E

23、 E x y，因此，动点 E 的轨迹方程为 2 2 1(0) 3 x yxy 注注对于第(2)问的一般情况是： 2 2222 2222 xyab abab 例例(2009 福建理)已知 A、B 分别为曲线 2 2 2 1(0,0) x Cyya a ：与 x 轴的左、右两 个交点，直线 l 过点 B 且与 x 轴垂直，S 为 l 上异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T (1) 若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧AB的三等分点，试求出点 S 的坐标； (2) 如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a，使得 O、M、 S 三点共线？若存在，求出

24、a 的值，若不存在，请说明理由 A B x M T S l y O 解解(1) 此小问看上去很简单，但是有坑，估计会有同学被题目中的配图所误导，而只 考虑图中给出的一种情况！ 当曲线 C 为半圆时，1a ，同时，由于点 T 为圆弧AB的三等分点，故60BOT或 120 当60BOT时，30SAE，故tan30SBAB ，可得1,S ；同理， 当120BOT时，可得(1, 2 3)S综上所述，点 S 的坐标为1, 或(1, 2 3) (2) 法一法一先分析转化，题目实质就是求解：当 a 为何值时，直线 SM 恒过定点 O？ 设直线 AT 为：()(0)yk xa k，可得( , 2)S aak，

25、又 2 2 1 1 TB SM SMTB kk kkaa kk ，故 直线 SM 的方程为： 2 2()yakkaxa，代入(0, 0)O，可得 2 2()aka ka，结合0a ， 可解得2a 因此，存在2a ，使得 O、M、S 三点共线【此法设 k 为参数，其他未知都向 k 靠拢！ 】 法二法二此问实质还是点差法结论的应用，此处给出一个炫技法！假设存在 a，使得 O、 M、S三点共线，根据第三定义可得： 2 11tan1 tan2 TATBASTBAS SM SBOBBAS kkkkk akBOSABSB ，即2a 一般情况一般情况已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：， A、

26、 B 是椭圆的左右顶点， 直线 1 lxa：， 点 P 为 C 上异于 A、B 的动点，直线 AP 交 1 l于点 M，过点 M 作 PB 的垂线 2 l，则直线 2 l过 定点 2 2 ,0 b a a ABx y M N P O 1 l 2 l 证明证明设( ,)M a m，直线 2 l与 x 轴交于点 0 (, 0)N x，则 2 00 2 ()1 22 PAPBMAPBMA MN axaxbm kkkkk akama ， 易解得 2 0 2b xa a ，故直线 2 l过定点 2 2 ,0 b a a 练习练习在平面直角坐标系 xOy，已知椭圆 22 22 10 xy Eab ab ：

27、过点 6 1, 2 ，其左 右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 2 2 (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 若 A、B 分别是椭圆 E 的左右顶点，动点 M 满足 MBAB，且 MA 交椭圆 E 于点 P (i) 求证：OP OM 为定值； (ii) 设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q，问直线 MQ 是否过定点，并说明理由 答案答案(1) 22 1 42 xy ；(2)(i) 定值为 4；(ii) 定点为(0, 0)O 练习练习已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab ：，A、B 是椭圆的左右顶点，C、D 是椭圆的下 上顶点，直线 1 lxa：，点 P 为 C 上异

28、于 A、B 的动点，直线 PA、PD 的斜率之比为非零常 数，直线 CP 交直线 1 l于点 M，过点 M 作 PB 的垂线 2 l，则直线 2 l过定点, a ab AB C D y xO M P 1 l 2 l 例例(2015 南京二模)如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 22 22 10 xy Eab ab ：的 离心率为 2 2 ，直线 1 2 lyx：与椭圆 E 相交于 A、B 两点，2 5AB ，C、D 是椭圆 E 上异 于 A、B 的两点，且直线 AC、BD 相交于点 M，直线 AD、BC 相交于点 N，连结 MN (1) 求 a、b 的值；(2) 求证：直线 MN 的

29、斜率为定值 A B C D xO y M N 解解(1)6a ，3b ，故 22 1 63 xy ； (2)当直线 DA、DB、CB、CA 的斜率都存在时，(2,1)A，( 2,1)B ，设 11 (,)M xy， 22 (,)N xy，由点差法可得： 1 2 1 2 DADBNAMB CACBMANB kkkk kkkk ，即 21 21 12 12 111 222 111 222 yy xx yy xx ， 继续展开： 12121212 12211221 2(1)422 2(1)422 y yyyx xxx y yyyx xxx ， 两式相减可得： 12 12 1 MN yy k xx 当直线 DA、DB、CB、CA 的斜率有不存在的时候，(2,1)A，( 2,1)B ，不妨假设 直线 CA 的斜率不存在，则(2,1)C，设 1 (2,)My， 2 (,1)N x， 此时，仍然可以利用点差法得到： 1 2 11 11 2222 DADBNAMB y kkkk x ，可得 1 2 1 1 2 MN y k x 综上所述，直线 MN 的斜率为定值1 背景背景补全自极三角形！不妨假设直线 AB、CD 相交于点 P，则PMN 为自极三角形， 设 00 (2,)Pxx，则极点 P 对应的极线 MN 为： 00 2 1 63 xxxy ，显然，极线 MN 的斜率为 1