5对数平均不等式-教师.pdf

1、公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！1 对数平均不等式对数平均不等式 1.1.定义：定义：设,0,a bab则 2lnln abab ab ab 其中 lnln ab ab 被称为对数平均数对数平均数 2.2.几何解释几何解释：反比例函数 1 0fxx x 的图象，如图所示，APBCTUKV， MN

2、CDx轴，,0 ,A a 1 ,P a a 1 ,0 ,B bQ b b , 1 ,Tab ab 作 f x在点 2 , 2 ab K ab 处的切线分别与,AP BQ交于,E F，根据左图可知， 因为 ABNMABQPABFE SSS= 矩形曲边梯形梯形 ，所以 () 12 lnln, b a dxbaba xab =- + 又 1 lnln ab AUTP a Sdxaba x =- 曲边梯形 ， () 11 lnln 22 ABQ P baS=-= 曲 边 梯 形 ， () 11111 222 AUTPABCD ba SabaS aabab - =+-= 梯 形梯 形 ， 根据右图可知，

3、 AUTPAUTP SS 曲边梯形梯形 ，所以lnln ba ba ab - - ， 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！2 另外， ABQXABYPABQPABQP SSSS 矩形矩形曲边梯形梯形 ，可得： ()()() 11 111 lnln, 2 babababa baba -+- 综上，结合

4、重要不等式可知： () () ()() 211 111 lnln 2 baba babababa bababaab - -+- - + . 等价变形：等价变形：)0.( )(2 lnln ba ba ba ba )0.(lnlnba a b b a ba 3.3.典例剖析典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题对数 平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的 （一）（一）()0 lnln ba ba a ba - - 的应用的应用 例例 1 1 （2014 年陕西） 设函数 )1ln()(xxf

5、，( )( )g xxfx 其中( )fx 是 )(xf 的导函数 （1）（2）（略） （3）设 Nn，比较 12ggg n与 nf n的大小，并加以证明 解析解析（3）因为 1 x g x x ， 所以 12111 12 231231 n ggg nn nn ， 而 ln1nf nnn，因此，比较 12ggg n与 nf n的大小，即只 需比较 1 1 3 1 2 1 n 与ln1n的大小即可 根据0ba时， lnln ba b ba - - ，即() 1 lnln ,baba b - 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资

6、料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！3 令,1,an bn=+则() 1 ln1ln , 1 nn n 时， lnln ba a ba - - ，即() 1 lnln,baba a -令,1,an bn=+ 则() 1 ln1ln,nn n +- 可得：() 111 ln11 23 n n + - 的应用的应用 例例 2 2设数列 n a的通项 1 11 n a n n ，其前n项的和为 n S，证明：

7、ln1 n Sn 解析解析根据0ba时， 22 2lnln abba ba +- - ，即 () 22 2 lnln ba ba ab - - + ， 令1,bnan=+=则() () 2 2 2 ln1ln 1 nn nn +- + 2 2 221nn = + 2 2 222 n a nn + ，易证ln1 n Sn （三）（三）()0 2lnln abba ba ba +- - 的应用的应用 例例 3.3. 设数列 n a的通项 111 1 23 n a n ，证明：ln 21 n an 解析解析根据0ba时， 2lnln abba ba +- - ，即 ()2 lnln ba ba ab

8、 - - + ， 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！4 令21,21,bnan=+=-则()() 1 ln 21ln 21nn n +- ，易证ln 21 n an （四）（四）() 2 0 11 lnln ba ba ba ab - - + 的应用的应用 例例 4.4.（2010 年湖北）已知函

9、数( )()0 b f xaxc a x =+的图象在点( )()1,1f处的切线方程为 1yx=- （1）用a表示出, b c；（2）（略） （3）证明：() ()( ) 111 1ln11 . 2321 n nn nn + + L 解析（1）1,12baca=-= -； （3）当0ba时， 2 11 lnln ba ba ab - - + ，即() 1 11 lnln 2 baba ab -+- ， 令,1,an bn=+则() 1 11 ln1ln, 21 nn nn +-+ + 所以 1 11 ln2ln1, 2 12 -+ 1 11 ln3ln2, 2 23 -+ L， () 1 1

10、1 ln1ln, 21 nn nn +-+ + 将以上各不等式左右两边分别相加得： () () 111111 ln1, 223421 n nn + + L 即() () 111111 ln11, 234212 n nn + + L （五）（五）()0 lnln ba ab ba ba - - 的应用的应用 公众号公众号：渝城高中数学会渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608

11、396916608396916 下载！下载！5 例例 5.5. （2014 福建预赛）已知 1 ( )ln(1)31 1 f xaxx x （1）（略） （2）求证： 2222 23411 ln 21 4 114 214 31414 n n n 对一切正整数n均 成立 解析解析（2）根据0ba时， lnln ba ab ba - - ，即lnln, ba ba ab - - 令21,21,bnan=+=-则()() 2 2 ln 21ln 21, 41 nn n +- - 变 形 可 得 ： ()() 2 22 2 11 11 42 ln 21ln 21, 44141 41 n n nn nn

12、 n - + +-= - - 则 () 2 12 ln3ln1, 44 11 - - () 2 13 ln5ln3, 4421 - - L ()() 2 11 ln 21ln 21, 441 n nn n + +-时， lnln ba b ba - - ，即() 1 lnln ,baba b - 令21,21,anbn=-=+则 () ()() 22 ln 21ln 21 , 21121 nn nn =+- +-+ 2 ln3ln1, 3 - 2 ln5ln3, 5 - 2 ln7ln5, 7 -L () ()() 2 ln 21ln 21 , 211 nn n 时， 2 11 lnln ba

13、 ba ab - - + ，即() 1 11 lnln 2 baba ab -+- ， 令,1,an bn=+则() 1 11 ln1ln, 21 nn nn +-+ + 所以() 1 11 ln1ln, 21 nn nn +-+ + ()() 111 ln2ln1, 212 nn nn +-+ + ()() 111 ln3ln2, 223 nn nn +-+ + L () 111 ln2ln 21, 2 212 nn nn -+ - 将以上各不等式左右两边分别相加得： 1 122221 ln2ln, 2123212 nn nnnnnn -+ +- L 即 111111 ln2, 2123214nnnnnn + +- L 故 1111 ln2 1224nnnn 评 注评 注本 题 提 供 标 准 答 案 是 借 助 于 第 一 问 的的 最 小 值 1 2 时 ， 2 ln 10 22 xx xx x 加 以 赋 值 ， 并 进 行 变 形 ， 令 1 x k ， 有 1211 11 ln 1 2121 k kk kkk ， 亦即 1 11 ln 1ln 21 kk kk 达到 放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.