3.不含参数的极值点偏移问题.pdf

1、公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 3 3 不含参数的极值点偏移问题不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多 元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等 式或

2、不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例 1：已知函数( )() x f xxexR ，如果 12 xx，且 12 ()()f xf x. 证明： 12 2.xx 构造函数( )(1)(1),(0,1F xfxfx x， 则0) 1()1 ( )1 ( )( 2 1 x x e e x xfxfxF， 所以( )F x在(0,1x上单调递增，( )(0)0F xF， 也即(1)(1)fxfx对(0,1x恒成立. 由 12 01xx ，则 1 1(0,1x， 所以 11112 (1 (1)(2)(1 (1)()()fxfxfxf xf x， 即 12 (2)()fxf x，又因为

3、 12 2,(1,)x x，且( )f x在(1,)上单调递减， 所以 12 2xx，即证 12 2.xx 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 法法 2 2：由 12 ()()f xf x，得 12 12 xx x ex e ，化简得 21 2 1 xx x e x ， 不妨设 21

4、xx，由法一知， 12 01xx . 令 21 txx，则 21 0,txtx ，代入式，得 1 1 t tx e x ， 反解出 1 1 t t x e ， 则 121 2 2 1 t t xxxtt e ，故要证 12 2xx， 即证 2 2 1 t t t e ， 又因为10 t e ，等价于证明：2(2)(1)0 t tte， 构造函数( )2(2)(1),(0) t G tttet，则( )(1)1,( )0 tt G tteG tte， 故( )G t在(0,)t上单调递增，( )(0)0G tG， 从而( )G t也在(0,)t上单调递增，( )(0)0G tG， 即证：即证：式

5、成立，也即原不等式式成立，也即原不等式 X1+X2X1+X22 2 成立成立 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 2.已知函数( )ln , ( ) x f xxx g xx e （1）记( )( )( )F xf xg x，求证：函数( )F x在区间(1,)内有且仅有一个零点； （

6、2）用min , a b表示, a b中的最小值，设函数( )min ( ), ( )h xf x g x，若关于x的方程( )h xc（其中c为 常数）在区间(1,)有两个不相等的实根 1212 ,()x xxx，记( )F x在(1,)内的零点为 0 x，试证明： 12 0 2 xx x 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：60839691

7、6608396916 下载！下载！ 4 4 例 3：已知函数 2 ( )lnf xxxx，正实数 12 ,x x满足 1212 ()()0f xf xx x. 证明： 12 51 2 xx . 【解析】由 1212 ()()0f xf xx x，得 22 11122212 lnln0 xxxxxxx x 从而 2 12121212 ()()ln()xxxxx xx x， 令 12 tx x，构造函数( )lnttt ， 得 11 ( )1 t t tt ，可知( ) t在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 所以( )(1)1t，也即 2 1212 ()()1xxxx， 解得： 12

8、51 2 xx . 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 例 4：已知函数 lnf xxx （）求函数 f x的单调区间； （）若方程 f xm(2)m 有两个相异实根 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 2 12 2x x. 【答案】（） yf x在 (0,1)递增， yf x在(1,+)递减；（）见解析 （2）由(1)可设 的两个相异实根分别为，满足 且， 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以，令 公众号：渝城高中数学会公众号：渝城高中数学会 608396916608396916高中数学资料分享高中数学资料分享 QQQQ 群：群：608396916608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6