弹塑性力学全册配套最完整精品课件2.ppt

1、 n课程安排课程安排 n课堂秩序课堂秩序 n重点内容重点内容 中山大学中山大学 地球科学系地球科学系 经典力学经典力学 静力学 连续介质力学 动力学 固体力学 流体力学 弹性力学 塑性力学 损伤力学 断裂力学 接触力学 流体静力学 流体运动学 流体动力学 统计力学 天体力学 工程力学 自然科学 物理学 天文学 经典物理学 现代物理学 热力学 统计力学 电磁学 地球科学 化学 生物学 推理严谨推理严谨 计算结果准确计算结果准确 解决许多工程技术问题解决许多工程技术问题 张量 1678年年 1882、1887年年 提出了弹性体的 变形和所受外力 成正比的定律。 弹性力学发展 建立柱体扭转和 弯曲的

2、基本理论。 RHooke 1828年年1807年年 Thomas Young 提出和测定了材 料的弹性模量。 提出应力、应变 概念，建立平衡 微分方程、几何 方程和广义胡克 定律。 1828年年 建立了接触应力 理论、薄板理论 Navier Cauchy Saint venant Cauchy Saint- Venant Saint-Venant Hertz、 Hertz Kirchoff Kirchoff 1837年法国达凯尔发 明保留影像摄影术 弹性力学加速发展时期自1907年，非线性弹性力非线性弹性力 学迅速地发展。学迅速地发展。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问 题；卡门和钱学森提出

3、了薄壳的非线性稳定问题；力 学工作者还提出了大应变问题，非线性材料问题（如 塑性力学等）等等。 同时，线性弹性力学线性弹性力学也得到进一步的发展，出现 了许多分支学科，如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹 性力学、各向异性弹性力学等。 弹性力学的解法不断地发展。首先是变分法（能 量法）及其应用的迅速发展。贝蒂（1872）建立了功 的互等定理，卡斯蒂利亚诺（18731879）建立了最 小余能原理，以后为了求解变分问题出现了瑞利里 茨（1877，1908）法，伽辽金法（1915）。此外，赫 林格和瑞斯纳（1914，1950）提出了两类变量的广义 变分原理，胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类 变

4、量的广义变分原理。 数值解法也广泛地应用于弹性力学问题。迈可斯 （1932）提出了微分方程的差分解法，并得到广泛应用。 在20世纪30年代及以后，出现了用复变函数的实部 和虚部分别表示弹性力学的物理量，并用复变函数理论 求解弹性力学问题的方法，萨文和穆斯赫利什维利作了 大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等问题。 1946年之后，出现有限单元法，并且得到迅速的 发展和应用，成为现在解决工程结构分析的强有力的 工具。 弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现代复 杂工程结构的分析创造了条件，并促进了技术的进步 和发展。 1678年年另外另外 1773年年 提出了弹性体的变形和所 受外力成正比的定

5、律。 建立数学弹性理论，给 出应变、应变分量、应力、 应力分量概念，建立变形体 的平衡方程、几何方程、协 调方程及各向同性和各向异 性材料的广义虎克定律，奠 定了弹性力学的理论基础。 塑性力学是从最早提出土 的屈服条件开始的. 弹性力学发展弹性力学发展 钱伟长钱伟长 钱学森钱学森 胡海昌胡海昌 中国科学家钱伟长、钱学森、胡海昌、 徐芝纶等在弹塑性力学的发展，特别 是在中国的推广应用做出了重要贡献。 1 1 课程研究对象、研究任务课程研究对象、研究任务 2 2 基本假定基本假定 3 3 几个基本概念几个基本概念 4 4 参考书目参考书目 弹塑性力学弹塑性力学: : 研究可变形固体受到外荷载、温度

6、变化及边界约束研究可变形固体受到外荷载、温度变化及边界约束 变动等作用时弹塑性变形和应力状态的科学。变动等作用时弹塑性变形和应力状态的科学。 固体力学的一个分支学科固体力学的一个分支学科 研究对象研究对象: :对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。对实体结构、板壳结构、杆件的进一步分析。 P P P 研究方法研究方法: : 材料力学、结构力学材料力学、结构力学: :简化的数学模型简化的数学模型 研究任务研究任务: : 弹塑性力学弹塑性力学: :较精确的数学模型较精确的数学模型 建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问建立并给出用材料力学、结构力学方法无法求解的问 题的理论和方法。题的理

7、论和方法。 给出初等理论可靠性与精确度的度量。给出初等理论可靠性与精确度的度量。 学习目的学习目的: : 确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。确定一般工程结构的弹塑性变形与内力的分布规律。 确定一般工程结构的承载能力。确定一般工程结构的承载能力。 为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论为研究一般工程结构的强度、振动、稳定性打下理论 基础。基础。 1).1).假定固体材料是连续介质假定固体材料是连续介质连续性假定连续性假定 2).2).物体为均匀的各向同性体物体为均匀的各向同性体 3).3).物体的变形属于小变形物体的变形属于小变形 4).4).物体原来是处于一种无应力的自然状

8、态物体原来是处于一种无应力的自然状态 张量的概念张量的概念 只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量温度、质量、力所做功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量矢量物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等 张量张量 关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=r M=rn n=3=3n n 标量标量:n=0,:n=0,零阶张量零阶张量 矢量矢量:n=1,:n=1,一阶张量一阶张量 应力应力, ,应变等应变等:n=2,:n=2,二阶张量二阶张量 二阶以上的张量已不 可能在三维空间有明 显直

9、观的几何意义。 为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区 别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。 123 ( , , )( ,(1,)2,3 i x y zx x xx i 下标记号法下标记号法: : ,(, ), xxxyxzyxyyyzzxijzyzz i jx y z 不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3) 内分别取数1，2，3，N 重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量， 然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。 自由标号自由标号: : 哑标号哑标号: : 当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号

10、应理解为取其变程 N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。 求和约定求和约定: : 1 12233 112233 1 12 23 3 ( :1,2,3 ( :,1,2,3 ii ii Niij jiii a xa xa xa x ii Sllll iji j 哑标，） 自由下标，哑标，） ij ij记号 记号：Kroneker-deltaKroneker-delta记号记号 100 1, 010 0, 001 ijij ij ij 张量表示： 凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加 (减），并得到同阶的一个新张量，法则为： 张量的计算张量的计算: : ijkijkijk ABC 1 、

11、张量的加减 第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到 一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。 2 、张量的乘法 ijklijkl a bC 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。 3 、张量函数的求导 312 , 123 i i i i uuuu u xxxx 2 222 , , y ixz i jk jkjkjkjk u uuu u xxxxxxxx 1 、Y.C.Fung(冯元桢) 2 、杨桂通 3 、徐秉业 A first course in continuum mechanics A first course in continu

12、um mechanics 连续介质力学初级教程连续介质力学初级教程 弹塑性力学引论弹塑性力学引论 应用弹塑性力学应用弹塑性力学 弹塑性力学弹塑性力学 2014.2014.秋季秋季 弹塑性体的应力应变分析弹塑性体的应力应变分析 n第第1节节 应力分析应力分析 n第第2节节 应变分析应变分析 n第第3节节 应力和应变应力和应变 n1.1 应力状态应力状态 n1.2 应力张量应力张量 n1.3 应力偏量张量应力偏量张量 0 lim n n A p A y x z O n n A 0 lim s n A p A C 过过C C点可以做无点可以做无 穷多个平面穷多个平面K K 不同的面上的应不同的面上的

13、应 力是不同的力是不同的 1) 1) 一点的应力状态一点的应力状态 2)一点斜面上的应力一点斜面上的应力(不计体力不计体力) 11 22 33 cos( ,) cos( ,) cos( ,) n xl n xl n xl i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。 3 111 112 213 31 1 3 221 122 223 32 1 3 331 132 233 33 1 Nj j j Nj j j Nj j j Sllll Sllll Sllll 斜截面外法线斜截面外法线n的方向余弦的方向余弦: Niij j Sl 令斜截面令斜截面 ABC的面的面 积为积为1 11 22 33

14、 1 cos( ,) 1 cos( ,) 1 cos( ,) OBC OAC OAB Sn xl Sn xl Sn xl (1.3) (1.4) 斜截面斜截面OABCOABC上的正应力上的正应力: : 1 12 23 3 222 11 122 233 312 1 223 2 331 3 1 222 NNNN S lSlSl llll ll ll l 斜截面斜截面OABCOABC上的剪应力上的剪应力: : 2222 123NNNNN SSS (1.5) (1.6) 应力张量 一点的应力状态一点的应力状态 y x z O tyx tyz sy tyx tyz sy tzx tzy sz txy t

15、xz sx txy txz sx tzx tzy sz P A B C xxyxz ijyxyyz zxzyz 一点的应力状态一点的应力状态可由过该点的微小正可由过该点的微小正 平行六面体上的平行六面体上的应力分量整体应力分量整体确定。确定。 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变 换式的九个数所定义的量叫做换式的九个数所定义的量叫做。 111213 212223 313233 ij 用下标记号法 下标下标1 1、2 2、3 3表示坐标表示坐标x x1 1、 、x x2 2、x x3 3 即即x x、y y、z z方向方向 (1.1) (1.2) 11 22

16、33 N N N Sl Sl Sl 主平面主平面:剪应力等于零的截面剪应力等于零的截面 主应力主应力-:主平面上的正应力主平面上的正应力 111 112 213 3 221 122 223 3 331 132 233 3 N N N Slll Slll Slll 代入代入 11112 213 3 21 122223 3 31 132 2333 ()0 ()0 ()0 lll lll lll 采用张量下标记号采用张量下标记号 ()0 iijjj l Kroneker delta记号 (1.9) dij记号：记号：Kroneker-delta记号记号 1, 0, ij ij ij 方向余弦满足条件

17、：方向余弦满足条件： 222 123 1lll 100 010 001 ij 采用张量表示采用张量表示 1 i i ll 联合求解联合求解 l1,l2,l3： 11112 213 3 21 122223 3 31 132 2333 222 123 ()0 ()0 ()0 1 lll lll lll lll l1,l2,l3不全等于不全等于0 111213 212223 313233 0 (1.10) (1.11)(1.12) (1.13) 联合求解联合求解 l1,l2,l3： 行列式展开后得：行列式展开后得： 1112233kk J 112233122331213213133122 23321

18、1122133 ()()()() ()()0 简化后得简化后得 32 123 0JJJ (1.14) 222333311112 2 212232331311 1 () 2 iikkikki J 111213 3212223 313233 ij J (1.15) 式中式中: 是关于是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主的三次方程，它的三个根，即为三个主 应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。 主应力大小与坐标选择无关，故主应力大小与坐标选择无关，故 J1,J2,J3也必与坐标选择无关。也必与坐标选择无关。 123 ,:JJJ应力不变量 若坐标轴

19、选择恰与三个主坐标重合：若坐标轴选择恰与三个主坐标重合： 1123 J 2122331 ()J 3123 J (1.16) 233112 123 , 222 主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为： (1.17) 主剪应力面主剪应力面(t1 ) 2 1 3 1 2 1 3 t1 最大最小剪应力：最大最小剪应力： 取取主方向为坐标轴取向主方向为坐标轴取向,则一点处任一截面上的剪应力的计算式则一点处任一截面上的剪应力的计算式: 222222222222 1231 12 23 31 12 23 3 ()()()() NNNNN SSSllllll 22

20、2 123 1lll 消去消去l3： 22222222222 13123231312323 ()()()() N llll 22 11313123213 1 ()()()()0 2 lll 22 22313123223 1 ()()()()0 2 lll 由极值条件由极值条件 12 00 nn ll 及 最大最小剪应力：最大最小剪应力： 22 11313123213 1 ()()()()0 2 lll 22 22313123223 1 ()()()()0 2 lll 12 00ll及 123 22 ;0; 22 lll 第一组解：第一组解： 12 00ll及 第二组解：第二组解： 2 l消去

21、第三组解：第三组解： 13 13 2 23 23 2 12 12 2 123 22 0 ; 22 lll 123 22 ;0 22 lll 它们分别作用在与它们分别作用在与 相应主方向成相应主方向成45 的斜截面上的斜截面上 123 max 13 min 2 因为：因为： 八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3 沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八个面组成的图形，称为八面体八面体。 123 1/3lll (1.19) 八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦： 八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三

22、个坐标轴上的投影分别为： 123 lll 222 123 1lll 八面体（每个坐标象限1个面） 123 arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll 或或 11 1122 2233 33 /3,/3,/3PlPlPl (1.20) 4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3 八面体面上的正应力为八面体面上的正应力为: 222 81 12 23 31 12 23 3 1231 11 () 33 PlPlPllll J 八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为： 八面体（每个坐标象限1个面） 2 22222 888123123 2222 12233112 11 (

23、)() 39 12 ()()()3 33 F JJ (1.23) (1.21) 八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为： 2 222222 81231 12 23 3 222 123 ()()() 1 () 3 FPPPlll (1.22) 平均正应力平均正应力 例题例题:已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 代入式(1.14)后得: 解解: 1112233 3003J 222333311112 2 2

24、12232331311 (3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6 J 111213 3212223 313233 3 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 32 3680(4)(1)(2)0 解得主应力为解得主应力为: 123 4;1;2; 应力偏量张量 应力偏量张量应力偏量张量 物体的变形物体的变形 ij (1.32) 体积改变体积改变 形状改变形状改变 由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的 材料晶格间的移动引起的材料晶格间的移动引起的 球应力状态球应力状态/静水压力静水压力 弹性性质弹性性质 塑性性质塑性性质 ij ij S 球形

25、应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量 应力张量分解应力张量分解 00 00 00 xxyxz ijijijyxyyz zxzyz S (1.31) 球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量 1122331 111 () 333 kk J 其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力 主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量 00 00 00 xxyxz ijijijyxyyz zxzyz S (1.31) 二阶对称张量二阶对称张量 123 11 2 3 S 其中其中: 剪应力分量始终剪应力分量始终 没有变化没有变化 1 2 3 00 00 00 xxyxz ijyxyyz zx

26、zyz SS SSS SS 主偏量应力主偏量应力 213 22 2 3 S 312 33 2 3 S (1.33) ij S ij 设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：证明： ij 123 123 123 ()0 ()0 ()0 xnxyxz yxynyz zxzyzn lll lll lll 显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的 任意两式和l12+l22+l32=1所确定。 (a) 若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得： ij S 123 123 123 ()0 ()0 ()0 xnxyxz yxynyz

27、zxzyzn SS lS lS l S lSS lS l S lS lSS l 显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任 意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。 (b) ()() xnxmnmxn SS 由于:()() ynymnmyn SS ()() znzmnmzn SS l1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可见式(a)与式(b)具有相同的系数， 且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=1 主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量 11 ;S 22 ;S 33 S (1.33) ij S ij 满足三次代数方程式：满足三次代数方程式： 32 123 0J

28、JJ 1112233 222 2112222333311122331 222 123 3123 0 () 1 () 1 22 ii ijij ij JSSS JS SS SS SSSS SSS JS S S S S S S (1.34) 式中式中J1,J2,J3为不变量为不变量 (1.35) (1.40) 利用利用J1=0，不变量不变量J2还可写为还可写为: 222222 2112233122331 1 (222) 2 1 2 1 2 ijijii JSSSSSS S SS S (1.38) 222 2112222333311 222 122331 222 222 222 122331 1 (

29、)()() 6 6() 1 () 1 ()()( ()() 6 6( ) ) 6 xyyzzx xyyzzx JSSSSSS SSS (1.43) 等效应力等效应力(应力强度应力强度) 222 8122331 1 ()()() 3 222 2122331 1 ()()() 6 J 82 2 3 J 在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力等效应力 8 3/2 123 ,0, 故 222 81223312 31 ()()()3 22 J (1.41) 简单拉伸时简单拉伸时: “等效等效”的命名由此而来。 各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的 数值不变，这也说明等效应力

30、与球应力状态无关 (1.42) 等效剪应力等效剪应力( (剪应力强度剪应力强度) ) 222 2122331 11 ()()() 26 ijij TJS S 123 0,0, T 例：纯剪时， “等效等效”的命名由此而来。 10010 0100MPa 10010 ij 101010 / 310 / 3 10 / 300 010 / 30MPa 0010 / 3 20 / 3010 040 / 3 : : :0MPa 10020 / 3 m ij S 平均正应力 球形应力张量 量 （） 偏量应力张 解：解： 2 222222 112222333311122331 3 1( )()()6() 2

31、1400 400 0 6(0 0 100) 70010 7 MPa 2 J 1112233 222 2112222333311122331 222 3112233122331112322133312 10 () ( 100 100 100)0 0 100200 |2 1000 1000 0 00 ij J J J 等效应力等效应力 10010 0100MPa 10010 ij 主应力求解过程主应力求解过程 关于主应力的方程为关于主应力的方程为: : 1 32 23 102000 (20) 20,0,10 (10)0 222 122331 1 ()()() 2 1 400 10090070010

32、 7 MPa 2 由主应力求等效应力由主应力求等效应力: : 2.应变分析 n2.1 应变状态应变状态 n2.2 应变张量应变张量 n2.3 应变速率张量应变速率张量 一点应变状态一点应变状态 位移位移 刚性位移刚性位移 变形位移变形位移 物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两 点之间的距离却保持不变。点之间的距离却保持不变。 物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。 要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各 点的相对位置变动情况，也即研究点的相对位置变

33、动情况，也即研究变形位移变形位移 位移函数位移函数 ( , , ) ( , , ) ( , , ) uu x y z vv x y z ww x y z 位置坐标的单值连续函数 微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形 当物体在一点处有变形时，小单元体的当物体在一点处有变形时，小单元体的 尺寸尺寸(即单元体各棱边的长度即单元体各棱边的长度)及形状及形状(即即 单元体各面之间所夹直角单元体各面之间所夹直角)将发生改变。将发生改变。 由于变形很微小，可以认为两由于变形很微小，可以认为两 个平行面在坐标面上的投影只个平行面在坐标面上的投影只 相差高阶微量，可忽略不计。相差高阶微量，可忽略不计。 微小

34、六面体单元的变形微小六面体单元的变形 B点位移分量点位移分量 u udx x dx x D点位移分量点位移分量 u udy y dy y A点位移分量点位移分量 u xOy的改变量的改变量:xy 变形后变形后AB边长度的平方边长度的平方: 222 ()() u A Bdxdxdx xx M点沿点沿X方向上的方向上的线应变线应变: x A BAB AB (1)(1) xx A BABdx (a) (b) 22 2 22 xx uu xxx (c) 代入代入(a)得得: x u x 略去高阶微量略去高阶微量 y y 同理，同理，M点沿点沿Y方向方向 上的上的线应变线应变: x tan 1 dx x

35、x uu dxdx xx 同理同理: 1, u x 略去 u y xOy的改变量，即的改变量，即剪应变剪应变: xy u yx 1 22 z u y , uv yx 同时存在1 2 z u xy 对角线对角线AC线的线的转角转角: 1 22 z v x 刚性转动刚性转动 一点应变状态一点应变状态 受力物体内某点处所取无限多方向上的受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变线应变与与剪应变剪应变(任意两相任意两相 互垂直方向所夹直角的改变量互垂直方向所夹直角的改变量)的的总和总和，就表示了该点的应变状态。，就表示了该点的应变状态。 定义定义: (1.44) 工程应变分量：工程应变分量： xy x

36、yyz zzx uv u yx x vvw yzy wwu zxz (几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系) 应变张量 (1.45) , 1 2 iji jj i uu（） 111213 212223 313233 11 22 11 22 11 22 xxyxz ijyxyyz zxzyz 应变张量应变张量: 123 , ,u v wu uu 1 111,1 1 xx u u x 21 122,11,2 12 11 ()() 22 xy uu uu xx (1.46) 主应变及其不变量主应变及其不变量 由全微分公式由全微分公式: , ,u v w uuu dudxdydz xyz M点的

37、位移分量点的位移分量 ,udu vdv wdw N点的位移分量点的位移分量 vvv dvdxdydz xyz www dwdxdydz xyz 11 22 11 22 uvuw dydz yxz uuvuw dxdydz x x yxzx 表示刚性转动，不引起应表示刚性转动，不引起应 变，计算应变时可忽略。变，计算应变时可忽略。 xxyxz dudxdydz 在主应变空间中在主应变空间中: yxyyz dvdxdydz zxzyz dwdxdydz iijj dudx rxxyxz dudxdxdydz ryxyyz dvdydxdydz rzxzyz dwdzdxdydz ()0 xrxyx

38、z dxdydz ()0 yxyryz dxdydz ()0 zxzyzr dxdydz r drdudvdw rdxdydz ; rrr dudx dvdy dwdz 主平面法线方主平面法线方 向的线应变向的线应变 主应变主应变: 类似于应力张量类似于应力张量: 1112233123 222 2112222333311122331 111213 3212223 313233 ij I I I 其中其中: (1.47) (1.48) 112233 11 33 kk （）平均正应变平均正应变: 偏量应变张量偏量应变张量: (1.52) 1 3 ijijijijkkij e eij 的主轴方向与e

39、ij 的主方向一致，主值为: e1= e1-e ， e2= e2-e ， e3= e3-e 满足三次代数方程式： 32 123 123 1112233123 222 211 2222 3333 11122331 222 123 31 2 3 0 , 0 () 1 () 2 iii ij ij eI eIeI IIIe Ieeeeee Ie ee ee eeee eee Iee e e 式中为 的三个不变量， (1.50) (1.51) 222 2122331 11 ()()() 26 ijij Ie e I2应用较广应用较广,又可表达为又可表达为: 等效应变等效应变(应变强度应变强度): (1

40、.54) 222 2122331 123 222 ()()() 933 1 , 2 ijij Ie e 例：简单拉伸时，故 等效剪应变等效剪应变(剪应变强度剪应变强度): 222 2122331 132 2 2()()()2 3 1 0,0, 2 ijij Ie e 例：纯剪时，故 (1.55) 应变速率张量 一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关， 而且与时间也有关。如以而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则表示质点的位移分量，则: ; xyz dudvdw VVV dtdtdt 设设应变速率分量应变速率分量为为

41、: ; ; ; x x y y z z V x V y V z ; ; ; y x xy y z yz xz zx V V yx V V zy VV xz ii duvdt 质点的运动速度分量质点的运动速度分量 x x y y z zz x y Vdudu xx dtdtx V dvdv yy dtdty Vdwdw zzdtdtz u x v y w z y x xy y z yz xz z xy yz x V Vdudvduv yxy dtx dtdtyx V Vdvdwdvw zyz dtydtdtzy VVdwdu xzxd uv yx vw y tz dt z zx dwu dtxz

42、 wu xz 线应变速率线应变速率 在在小变形情况小变形情况下，下，应变速率分量应变速率分量与与应变分量应变分量之间存在有简单关系之间存在有简单关系: 剪剪 应应 变变 速速 率率 11 22 11 22 11 22 xxyxz ijyzyyz zxzyz 在在小变形情况小变形情况下的下的应变速率张量应变速率张量: , 1 () 2 iji jj i uu , 1 () 2 iji jj i VV (1.56) 可缩写为可缩写为 在一般情况下，应变速率主在一般情况下，应变速率主 方向与应变主方向不重合，方向与应变主方向不重合， 且在加载过程中发生变化。且在加载过程中发生变化。 应变增量应变增量

43、: , 1 () 2 iji jj i ddudu 应变增量应变增量由位由位 移增量微分得：移增量微分得： 由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代可不代 表真实时间，而是代表一个加载过程。因而表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张用应变增量张 量来代替应变率张量量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。更能表示不受时间参数选择的特点。 (1.57) 应变微分应变微分由两由两 时刻应变差得：时刻应变差得： , , ()()( ) 1 ()( )()( ) 2 ijijij iijj j i dttt u ttu tu

44、 ttu t 22 , , 22 , 1( ) 111 () 222 1 ()() 22 ) ijiijj ji iii jjjji ddudududu dudududu 泰勒级数展开泰勒级数展开 高阶微量高阶微量 () ijij dd 忽略高阶微量忽略高阶微量 应力应变Lode参数 n3.1 应力应力lode参数参数 n3.2 应变应变lode参数参数 n3.2 应力应变基本方程应力应变基本方程 一、应力莫尔圆一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : 任一斜面上应力任一斜面上应力 位于阴影线内位于阴影线内 ms=Q2A/Q1A =(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3

45、 A O s t s3 s1 s2 O3 O2 O1 Q3Q2Q1 如果介质中某点的三个主应如果介质中某点的三个主应 力的大小为已知，便可以在力的大小为已知，便可以在 - 平面内绘出相应的应力圆。平面内绘出相应的应力圆。 一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1 222 1 12 23 3 lll 222 23 22 2 1 12 23 3 lll 222 123 1lll 2 2 23 1 1213 ()() ()() l 2 2 31 2 2321 ()() ()() l 2 2 12 3 3132

46、 ()() ()() l (1.61) 2 23 ()()0 2 31 ()()0 2 12 ()()0 123 一、应力莫尔圆一、应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : A O s t s3 s1 s2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1 222 2323 11 ()() 24 (1.63) 222 3131 11 ()() 24 222 1212 11 ()() 24 式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一 对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半 径的三个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周

47、)之内。 若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，则应力，则应力 圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。 应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径直径)则则 取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力分量的大小有改变，但 应力状态的

48、形式不变应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即 应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的 各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 几何意义几何意义: :应力圆上应力圆上Q Q2 2A A与与Q Q1 1A A之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。 球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常 把这一因素分离出来，

49、而着重研究偏量应力张量。把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。 为此，引进参数为此，引进参数Lode参数参数： 13 2 232312 13 1313 ()() 2 21 2 Lode参数：表征参数：表征Q2在在Q1与与Q3之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。 A O 3 1 2 O3 O2 O1 Q3 Q2Q1 (1.64) 应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义： 1、与平均应力无关；、与平均应力无关； 2、其值确定了应力圆的三个直径之比；、其值确定了应力圆的三个直径之比； 3、如果两个应力状态的、如果两个应力状态的Lode参

50、数相等，就说明两个应力状态参数相等，就说明两个应力状态 对应对应 的应力圆是相似的，即的应力圆是相似的，即偏量应力张量的形式相同偏量应力张量的形式相同； Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特 征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。 11 (1.65) 简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数： Q3 O Q1Q2 A Q1 O Q2Q3 A 单向压缩(s1=s2=0, s30, s2=s3=0) ms=1 ms=-1 简单应力状态的简单应力状态的Lode参数：参数： Q2 O Q1Q