近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编14 不等式选讲.docx

1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 十四、不等式选讲 一、解答题一、解答题 1 （2021全国高考真题（理） ）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sin?cos? + sin? ? ? ? ?sin ? ? ? ? + ? （1）当1a 时，求不等式 ? ? ? ? 的解集; （2）若 ? ? ? ?，求 a 的取值范围 2 （2021全国高考真题（文） ）已知函数 ? ? ? ? ? M? ? ? ? ? +? ? （1）画出 yf x和 ? ? M ? 的图像； （2）若 ? ? + ? ? M ? ，求 a 的取值范围 3 （2020全国高考真题（理） ）已知

2、函数 2 ( )|21|f xxaxa. （1）当 ? ? ? 时，求不等式 ? ? ? ? 的解集； （2）若 ? ? ? ?，求 a 的取值范围. 4 （2020全国高考真题（理） ）已知函数 ? ? ?+ ? ? ? （1）画出 ? ? ?的图像； （2）求不等式 ? ? ?+ ?的解集 5 （2019江苏高考真题）设 ?，解不等式?+ ? ? ?. 6 （2019全国高考真题（理） ）设 ?，且 ? + ? + ? ? ?. （1）求? ?+ ?+ ?+ ?+ ?的最小值； （2）若? ?+ ? ?+ ? ? ? ?成立，证明：? ? ? 或 ? ? ?. 7 （2019全国高考真题（

3、文） ）已知 ? ? ? ?+ ? ? ? ? （1）当1a 时，求不等式 ? 的解集； （2）若(,1)x 时，? ，求 ? 的取值范围. 8 （2019全国高考真题（文） ）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1）? ? + ? ? + ? ? ? ?+ ?+ ?； （2）?+ ?+ ?+ ?+ ? + ? ? 9 （2018江苏高考真题） 若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求?+ ?+ ?的最小值 10 （2018全国高考真题（理） ） 设函数 ? ? ? ?+ ? + ? ? ? （1）画出 yf x的图像； （2）当 ?，? + ? ，? ? ? ?+

4、 ?，求 ? + ? 的最小值 11 （2018全国高考真题（文） ）已知 ? ? ? ? + ? ? ? ? . （1）当1a 时，求不等式 ? ? ? ? 的解集； （2）若 ? 时不等式 ? ? ? ? 成立，求 ? 的取值范围. 12 （2018全国高考真题（文） ）设函数 ? ? y ? ? + ? ? ? ? ? . （1）当1a 时，求不等式 ? ? 的解集； （2）若 ? ? ? 恒成立，求 ? 的取值范围. 13 （2017全国高考真题（理） ）已知函数 ?= x+1x2. （1）求不等式 ? 1的解集； （2）若不等式 ?x2x +m 的解集非空，求实数 m 的取值范围.

5、14（2017全国高考真题 （文） ） 已知函数 ? ? ?+ ?+ ?， M? ? ?+ ?+ ? ? （1）当1a 时，求不等式 ? ? M?的解集； （2）若不等式 ? ? M?的解集包含1，1，求 ? 的取值范围 15（2017全国高考真题 （理） ） 已知函数 ? ? ?+ ?+ ?， M? ? ?+ ?+ ? ? （1）当1a 时，求不等式 ? ? M?的解集； （2）若不等式 ? ? M?的解集包含1，1，求 ? 的取值范围 16 （2017全国高考真题（理） ）已知 ? ? ，? ? ，?+ ? ?，证明： (1) ? + ?y+ ?y? ?； (2)? + ? ? ?. 17

6、 （2017江苏高考真题）已知 a,b,c,d 为实数，且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd?8. 18 （2016全国高考真题（文） ）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? ? ? ? + ? + ? ? ，M 为不等式 ? ? 的解集. （）求 M； （）证明：当 a，b? 时， ? + ? ? + ? . 19 （2016全国高考真题（文） ）已知函数 ? ? ? ? + ?. （1）当 a=2 时，求不等式 ? ? ? 的解集； （2）设函数 M? ? ? ?.当xR时，? + M?，? ? 求 ? 的取值范围. 近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

7、 十四、不等式选讲（答案解析） 1 （1）? ? ? + ? .（2） ? ? ? ? + ? . 【分析】 （1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集. （2）利用绝对值不等式化简 ? ? ? ?，由此求得 ? 的取值范围. 【解析】 （1）当1a 时，? ? ? ? ? ? + ? + ? ， ? ? ? + ? + ? 表示数轴上的点到 ? 和? ? 的距 离之和， 则 ? ? ? ? 表示数轴上的点到 ? 和? ? 的距离之和不小于 ?， 当 ? ? ? 或 ? ? ? 时所对应的数轴上的点到 ?，? ? 所对应的点距离之和等于 6， 数轴上到 ?，? ? 所对应的点距离之和等于大于等

8、于 6 得到所对应的坐标的范围是 ? ? ? 或 ? ? ?， 所以 ? ? ? ? 的解集为? ? ? ? ? + ? . （2）依题意 ? ? ? ?，即 ? ? ? + ? + ? ? ? 恒成立， ? ? ? + ? + ? ? ? ? ? + ? + ? ? ? + ? ， 当且仅当 ? ? ? + ? ? 时取等号，? ? ? ? ? + ? , 故 ? + ? ? ?， 所以 ? + ? ? ? 或 ? + ? ?， 解得 ? ? ? ?. 所以 ? 的取值范围是 ? ? ? ? + ? . 【小结】 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法解含有两个绝对值，且其中的 ? 的

9、系数 相等时， 可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解； 利用绝对值三角不等式求最值也是常 见的问题，注意表述取等号的条件. 2 （1）图像见解析； （2）? ? ? ? 【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像； （2）根据函数图像数形结和可得需将 yf x向左平移可满足同角，求得 ? ? ? ? + ? 过 ? ? ? 时 ? 的值可求. 【解析】 （1）可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，画出图像如下： M? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，画出函数图像如下： （2）?+ ? ? ? + ?

10、? ?， 如图，在同一个坐标系里画出 ? ? ?M ? 图像， ? ? ? ? + ? 是 yf x平移了 ? 个单位得到， 则要使 ?+ ? ? M?，需将 yf x向左平移，即 ? ? ， 当 ? ? ? ? + ? 过 ? ? ? 时， ? ? + ? ? ? ? ?，解得 ? ? ? ? 或? y ?（舍去） ， 则数形结合可得需至少将 yf x向左平移? ? 个单位，? ? ? ? ? . 【小结】 关键小结： 本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3 （1） ? ? ? ? ?或? ? ? ? ； （2）? ? ? ? ? + ? . 【分析】

11、 （1）分别在 ? ? ?、? ? ? 和 ? ? ? 三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 ? ? ? ? ? ? ?，由此构造不等式求得结果. 【解析】 （1）当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? + ? ? ? . 当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ?，解得：? ? ? ?； 当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ?，无解； 当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ?，解得：? ? ? ? ； 综上所述：? ? ? ? 的解集为 ? ? ? ?

12、?或? ? ? ? . （2）? ? ? ? ? ?+ ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ?（当且仅当 ? ? ? ? ? ?时取等号） ， ? ? ? ? ? ? ?，解得：? ? ? 或 ? ? ?， a 的取值范围为? ? ? + ? . 【小结】 本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 4 （1）解析解析； （2） ? ? ? ? . 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 ? ? 的解析式，作出图象； （2）作出函数 ? ? + ? 的图象，根据图象即可解出 【解析】 （1）因为 ? ? ?

13、 ? + ? ? ? y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，作出图象，如图所示： （2）将函数 ? ? 的图象向左平移 ? 个单位，可得函数 ? ? + ? 的图象，如图所示： 由? ? ? ? ? y ? + ? ? ?，解得 ? ? ? 所以不等式 ? ? ?+ ?的解集为 ? ? ? ? 【小结】 本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力， 属于基础题 5? ? ? ? 或? ? ?. 【分析】 由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【解析】 当 x0 时，原不等式可化为? ? + ? ? ? ? ?，解得 x2

14、，即 x? ?时，原不等式可化为 x+2x12，解得 x1. 综上，原不等式的解集为? ? ? ? 或? ? ?. 【小结】 本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力 6(1) ? ?；(2)见解析. 【分析】 (1)根据条件 ? + ? + ? ? ?，和柯西不等式得到? ?+ ?+ ?+ ?+ ? ? ?，再讨论 ? 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题， 柯西不等式等号成立时构造的 ? 代入 原不等式，便可得到参数 ? 的取值范围. 【解析】 (1) ? ? ?+ ?+ ?+ ?+ ?+ ?+ ? ? ? ?+ ?+ ? + ?+ ? ? + ? + ? + ?

15、 ? 故? ?+ ?+ ?+ ?+ ? ? ?等号成立当且仅当 ? ? ? ? ? + ? ? ? + ? 而又因 ? + ? + ? ? ?，解得 ? ? y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时等号成立 所以? ?+ ?+ ?+ ?+ ?的最小值为 ? ?. (2) 因为? ?+ ? ?+ ? ? ? ?，所以? ? ? ? + ? ?+ ? ?+ ?+ ?.? ? 根据柯西不等式等号成立条件，当 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? ?+? ? 时有? ? ?+ ? ?+ ? ?+ ?+ ? ? ? ?

16、+ ? ? ? + ? ? ? ? + ?成立. 所以?+ ? ? 成立，所以有 ? ? ? 或 ? ? ?. 【小结】 两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型. 7 （1） ? ? + ?）2（ ； 【分析】 （1） 根据1a ， 将原不等式化为? ?+ ? ? ? ， 分别讨论 ? ?， ? ? ? ?， ? ? ? 三种情况，即可求出结果； （2）分别讨论 ? ? ? 和 ? ? 两种情况，即可得出结果. 【解析】 （1）当1a 时，原不等式可化为? ?+ ? ? ? ? ； 当 ? ? 时，原不等式可化为? ? ? +? ? ? ，即? ? ，显然成立， 此时解集为 ? ?

17、； 当 ? ? ? ? 时，原不等式可化为? ? ? + ? ? ? ，解得 ? ?，此时解集为 空集； 当 ? ? ? 时，原不等式可化为? ? +? ? ? ，即? ? ? ，显然不成立； 此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为 ? ?； （2）当 ? ? ? 时，因为(,1)x ，所以由 ? 可得? ? ? +? ? ? ? ， 即? ? ? ? ，显然恒成立；所以 ? ? ? 满足题意； 当 ? ? 时，? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因为 ? ? ? ? 时， ? 显然不能成立， 所以 ? ? 不满足题意； 综上，? 的取值范围是? + ?. 【小结】 本题主要考查含绝对值

18、的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型. 8 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）利用 ? ? ? 将所证不等式可变为证明：?+ ?+ ? ?+ ? + ?，利用基本不等 式可证得 ? ?+ ?+ ? ?+ ? + ?， 从而得到结论； （2） 利用基本不等式可得 ? + ? ? + ? + ? ? + ? + ? ? ? ? ? + ? + ? + ? ， 再次利用基本不等式可将式转化为 ? + ? ? + ? + ? ? + ? + ? ? ? ? ?，在取等条件一致的情况下，可得结论. 【解析】 （1）? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? +

19、? ? + ? ? ? ? ? + ? + ? ? ? ?+ ?+ ? ?+ ?+ ?+ ?+ ?+ ? ?+ ? + ? 当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等号 ? ? ?+ ?+ ? ? ? ? + ? ? + ? ? ，即：?+ ?+ ? ? ? + ? ? + ? ? （2）? ? + ? ? + ? + ? ? + ? + ? ? ? ? ? + ? + ? + ? ，当且仅当 ? ? ? ? ? 时取等 号 又 ? + ? ? ? ?，? + ? ? ? ?，? + ? ? ? ?（当且仅当 ? ? ? ? ? 时等号同时成立） ? ? + ? ? + ? + ? ? + ? +

20、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 ? ? ? ? + ? ? + ? + ? ? + ? + ? ? ? ? 【小结】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题， 考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立. 94 【解析】 分析：根据柯西不等式?+ ?+ ?+ ?+ ? ? ? + ?+ ?可得结果. 解析：证明：由柯西不等式，得 ?+ ?+ ?+ ?+ ? ? + ?+ ? ? 因为 ? + ?+ ? ? ?，所以?+ ?+ ? ?， 当且仅当 ? ? ? ? ? ? ? ?时，不等式取等号，此时 ?

21、? ? ?，? ? ? ?，? ? ? ?， 所以?+ ?+ ?的最小值为 4 小结：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设 a1， a2，an，b1，b2，bn为实数，则(a a a )(b b b )(a1b1a2b2 anbn)2，当且仅当 bi0 或存在一个数 k，使 aikbi(i1，2，n)时，等号成立 10 （1）见解析 （2）y 【解析】 分析： （1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可 （2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值 解析： （1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ?

22、? ? ? ? ? ? ? ? ? 的图像如图所示 （2）由（1）知，? ? ? ? 的图像与 ? 轴交点的纵坐标为 ?，且各部分所在直线斜率的最大 值为 ?，故当且仅当 ? ? ? 且 ? ? ? 时，? ? ? ?+ ? 在? + ? 成立，因此 ? + ? 的最小值 为 y 小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题 11 （1） ? ? ? ? ? ； （2）? 【解析】 分析：(1)将1a 代入函数解析式，求得 ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ，利用零点分段将解析式化 为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 然后利用分段函数

23、， 分情况讨论求得不等式 ? ? ? ? 的解集为 ? ? ? ? ； (2)根据题中所给的 ? ? ? ， 其中一个绝对值符号可以去掉， 不等式 ? ? ? ? 可以化为 ? ? ? 时 ? ? ?，分情况讨论即可求得结果. 解析： （1）当 ? ? ? 时，? ? ? ? + ? ? ? ? ? ，即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故不等式 ? ? ? ? 的解集为 ? ? ? ? （2）当 ? ? ? 时 ? + ? ? ? ? ? ? 成立等价于当 ? ? ? 时 ? ? ? 成立 若 ? ? ，则当 ? ? ? 时 ? ? ? ?； 若 ? ? ， ? ?

24、? 的解集为 ? ? ?，所以 ? ? ? ?，故 ? ? ? 综上，? 的取值范围为? 小结： 该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成 立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从 而将不等式转化为多个不等式组来解决， 关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所 给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 12(1)? ?；(2)? ? ? + ? . 【解析】 分析： （1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2） 先化简不等式为?+ ? + ? ? ? ?

25、 ?，再根据绝对值三角不等式得?+ ?+ ? ?最小值， 最后解不等式?+ ? ? ? 得 ? 的取值范围 解析： （1）当1a 时， ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? 可得 ? ? ? 的解集为 （2）? ? ? ? 等价于 ? + ? + ? ? ? ? ? 而 ? + ? + ? ? ? ? ? + ? ，且当 ? ? ? 时等号成立故 ? ? ? ? 等价于 ? + ? ? ? 由 ? + ? ? ? 可得 ? ? ? 或 ? ? ?，所以 ? 的取值范围是 ? ? ? + ? 小结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是

26、利用绝对值 的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向 13 （1）? + ? ； （2）? ? y ?. 【分析】 （1）由于 f（x）|x+1|x2|? ? ?，? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ?，? ，解不等式 f（x）1 可分1x2 与 x2 两类讨论即可解得不等式 f（x）1 的解集； （2）依题意可得 mf（x）x2+xmax，设 g（x）f（x）x2+x，分 x1、1x2、 x2 三类讨论，可求得 g（x）max? y ?，从而可得

27、 m 的取值范围 【解析】 解： （1）f（x）|x+1|x2|? ? ?，? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ?，? ，f（x）1， 当1x2 时，2x11，解得 1x2； 当 x2 时，31 恒成立，故 x2； 综上，不等式 f（x）1 的解集为x|x1 （2）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x2+xm 成立， 即 mf（x）x2+xmax，设 g（x）f（x）x2+x 由（1）知，g（x）? ? ?+ ? ? ?，? ? ? ? ?+ ? ?，? ? ? ?+ ? + ?，? ? ? ， 当 x1 时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x? ? ? ?1， g（x）g

28、（1）1135； 当1x2 时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x? ? ?（1，2） ， g（x）g（? ?）? ? ? + ? ? ?1? y ?； 当 x2 时，g（x）x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x? ? ? 2， g（x）g（2）4+2+31； 综上，g（x）max? y ?， m 的取值范围为（，y ? 【小结】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论 思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题 14 （1）? ? ? ? ? ?+ ? ? ； （2）? ? 【解析】 试题分析： （1）分 ? ? ?，?

29、 ? ? ? ? ?，? ? ? 三种情况解不等式 ? ? M?）2（ ；? M?的解集包含? ? ?，等价于当 ? ? ? ? ?时 ?，? ? 所以 ? ? ? ? 且 ?，? ? 从而可得? ? ? ? ? ? 试题解析： （1）当1a 时，不等式 ? ? ? M ? 等价于? ? + ? + ? + ? ? ? ? ? ? . 当 ? ? ? 时，式化为? ? ? ? ，无解； 当? ? ? ? ? ? 时，式化为? ? ? ? ? ，从而? ? ? ? ? ?； 当 ? ? ? 时，式化为?+ ? ? ? ? ，从而 ? ? ? ?+ ? ? . 所以 ? ? ? M ? 的解集为?

30、 ? ? ? ? ?+ ? ? . （2）当 ? ? ? ? 时，M ? ? ?. 所以 ? ? ? M ? 的解集包含 ? ? ，等价于当 ? ? ? ? 时 ? ? ? ?. 又 ? ? 在 ? ? 的最小值必为 ? ? ? 与 ? ? 之一，所以 ? ? ? ? ? 且 ? ? ? ?，得? ? ? ? ? ?. 所以 ? 的取值范围为 ? ? . 小结:形如? ?+ ? ? ? ? (或? ?)型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ? ?，?，? + ?( 此处设 ? ?)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解， 然

31、后取各个不等式解集的并集 (2)图像法：作出函数? ? ?+ ? ?和? ? 的图像，结合图像求解 15 （1）? ? ? ? ? ?+ ? ? ； （2）? ? 【解析】 试题分析： （1）分 ? ? ?，? ? ? ? ? ?，? ? ? 三种情况解不等式 ? ? M?）2（ ；? M?的解集包含? ? ?，等价于当 ? ? ? ? ?时 ?，? ? 所以 ? ? ? ? 且 ?，? ? 从而可得? ? ? ? ? ? 试题解析： （1）当1a 时，不等式 ? ? ? M ? 等价于? ? + ? + ? + ? ? ? ? ? ? . 当 ? ? ? 时，式化为? ? ? ? ，无解；

32、当? ? ? ? ? ? 时，式化为? ? ? ? ? ，从而? ? ? ? ? ?； 当 ? ? ? 时，式化为?+ ? ? ? ? ，从而 ? ? ? ?+ ? ? . 所以 ? ? ? M ? 的解集为? ? ? ? ? ?+ ? ? . （2）当 ? ? ? ? 时，M ? ? ?. 所以 ? ? ? M ? 的解集包含 ? ? ，等价于当 ? ? ? ? 时 ? ? ? ?. 又 ? ? 在 ? ? 的最小值必为 ? ? ? 与 ? ? 之一，所以 ? ? ? ? ? 且 ? ? ? ?，得? ? ? ? ? ?. 所以 ? 的取值范围为 ? ? . 小结:形如? ?+ ? ? ?

33、? (或? ?)型的不等式主要有两种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ? ?，?，? + ?( 此处设 ? ?)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解， 然后取各个不等式解集的并集 (2)图像法：作出函数? ? ?+ ? ?和? ? 的图像，结合图像求解 16(1) 见解析(2) 见解析 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b32 转化为 ?+? ? ? ?+? ?ab，再由均值不等式可得： ?+? ? ? ?+? ?ab，即可 得到? ?（a+b） 32，问题得以证明 【解析】 证明： （1）由柯西不等式得： （? +

34、 ?） （?y+ ?y）?（?+ ?） ?， 当且仅当 ab5ba5， 即 ab1 时取等号； （2）a3+b32， （a+b） （a2ab+b2）2， （a+b）（a+b）23ab2， （a+b）33ab（a+b）2， ?+? ? ? ?+? ?ab， 由均值不等式可得： ?+? ? ? ?+? ?ab （a+b）32? ? ?+? ? ? ， ? ?（a+b） 32， a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立 【小结】 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 17见解析 【解析】 试题分析：由柯西不等式可得?+ ? ?+ ?+ ?，代入即得结论 试题解析：证明：

35、由柯西不等式可得：， 因为 所以， 因此 ? + ? ? ?. 18 （）? ? ? ? ? ?； （）详见解析. 【解析】 试题分析： （I）先去掉绝对值，再分 ? ? ? ?，? ? ? ? ? ?和 ? ? ? ?三种情况解不等式，即可 得?； （II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ?，? ? ?时，? + ? ? + ? 试题解析： （I）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? ? ?时，由 ? ? 得? ? ?解得 ? ? ?； 当? ? ? ? ? ?时，?；? 当 ? ? ? ?时，由 ? ? 得 ? ?解得

36、? ?. 所以 ? ? 的解集 ? ? ? ? ? ?. （）由（）知，当 ? ? ? 时，? ? ? ? ? ? ?，从而 ?+ ? ?+ ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ， 因此 ? + ? ? + ? ? 【考点】绝对值不等式，不等式的证明. 【名师小结】形如 ? ? ? + ? ? ? ? ?（或? ?）型的不等式主要有两种解法： （1） 分段讨论法： 利用绝对值号内式子对应的方程的根， 将数轴分为 ? ?， ?， ? + ? （此处设 ? ?）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解， 然后取各个不等式解集的并集 （2）图象法：作出函数? ? ? ? +

37、? ? ? 和? ? 的图象，结合图象求解 19 （1）? ? ? ? ? ?； （2） 【解析】 试题分析： （1）当 ? ? ? 时? ? ? ? ?+ ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （2） 由 ?+ M? ? ? ?+ ? + ? ? ? ? ? + ? ? ?+ ? ? ? ?+ ? ? ?+ M? ? ? 等价于 ? ?+ ? ? ?，解之得 ? ? ?. 试题解析： （1）当 ? ? ? 时，? ? ? ?+ ?. 解不等式? ? ?+ ? ? ?，得? ? ? ? ? ?. 因此，? ? ? 的解集为. （2）当xR时，? + M? ? ? ?+ ? + ? ? ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ?+ ?， 当 ? ? ? ?时等号成立， 所以当xR时，?+ M? ? ? 等价于? ?+ ? ? ?. 当 ? ? ? 时，等价于 ? ? ? + ? ? ?，无解. 当 ? ? ? 时，等价于 ? ? ? + ? ? ?，解得 ? ? ?. 所以 ? 的取值范围是. 考点：不等式选讲.