最值问题100题（教师版）.docx

1、更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 1.如图 3.1 所示， 在 RtABC 中， A=30， AB=4， 点 D 为边 AB 的中点， 点 P 为边 AC 上的动点， 则 PB+PD 的最小值为（） A.3B.2 2A.2 3A.4 5 1.解解 延长 BC 至点 B，使 BCB C，连接 B P、 B A，如图 4.1 所示， AC 垂直平分 BB， B ABA，AC 平分 B AB. 30CAB

2、， 60B AB ， ABB为等边三角形. 点 P 为 AC 上一点， PBPB， PBPDPBPDB D， 当且仅当 B、P、D 在同一直线上时，如图 4.2 所示，PBPD取得最小值. 在 Rt ADB中， 1 2 2 ADAB， 60B AB ， tan6032 3B DADAD ， 故答案是 C. 思路点拨思路点拨: 这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题，利用对称法将动线段构造至动点 P 所在直线的两侧；根据“两 点之间线段最短”找到最小值位置，利用勾股定理进行计算即可. 拓展若点 D 为边 AB 上任意一定点，则依旧可以根据勾股定理和 60特殊角计算 B D的长度；若点 D 是 边

3、 AB 上的一动点，则 B D将变为一条动线段，利用“垂线段最短”可确定最值位置还是在中点处. 2.如图 3.2 所示，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3，动点 P 满足 1 3 PABABCD SS= 矩形 ，则点 P 到 AB 两点距离 之和 PA+PB 的最小值为. 2.解解 令点 P 到 AB 的距离为 d. 111 =35=5=5 332 PABABCD SSd 矩形 ，2d ， 点 P 为到 AB 距离为 2 的直线 1 l、 2 l上的点. 直线 1 l、 2 l关于 AB 对称，因此选其中一条进行计算. 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：A

4、BC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 作点 B 关于直线 1 l的对称点 B，连接 B C、 B P、 AB，如图 4.3 所示， PAPBPAPBAB， 当且仅当 A、P、 B三点共线时取得最小值，如图 4.4 所示. 在 Rt ABB中，5AB ， 24BBd， 2222 5441ABABBB， 故PAPB的最小值是41. 思路点拨思路点拨: 这是典型的“将军饮马”型线段和最值问题.根据题目中中给出的面积关系，可判断点 P 的运动轨迹为直线 （或称为“隐线”） ；利用

5、轴对称的性质，构造对称点 B，再运用线段公理获得不等式；根据勾股定理计算 最值 AB. 3.如图 3.3 所示， 在矩形 ABCD 中， AD=3， 点 E 为边 AB 上一点， AE=1， 平面内动点 P 满足 1 3 PABABCD SS= 矩形 ， 则DPEP-的最大值为. 3.解解 令点 P 到 AB 的距离为 d. 1 3 PABABCD SS 矩形 ，2d ， 点 P 在到 AB 距离为 2 的直线 1 l、 2 l上，如图 4.5 所示. 作点 E 关于直线 1 l的对称点 E，连接 E D并延长交直线 1 l于点 P，连接 EP，如图 4.6 所示， E PEP. 当点 P 在

6、直线 1 l上时， DPEPDPE PE D，当且仅当 D、 E、P 三点共线时取得最大值 22 112E D . 当点 P 在直线 2 l上时，DPEPED，当且仅当 D、E、P 三点共线时取得最大值，如图 4.7 所示. 在 RtADE 中，3AD ，1AE ， 22 3110DE ， 10DPEPED， 当点 P 为 DE 的延长线与直线 2 l的交点时有最大值10. 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teac

7、her 思路点拨思路点拨: 解法如题 2，需要找出满足条件的点 P 所在的“隐线”，这里两条直线均要考虑（因为图形不对称）.由于两 边之差小于第三边，在共线时取得最大值，故遵循“同侧点直接延长，异侧点需对称后再延长”的规律，分 别计算最大值并进行大小比较. 特别说明 笔者认为这里的最大值只能取一个值.改编此题的目的是让大家不要忽略矩形外的“隐线”，毕竟 题中叙述点 P 时用的是“平面内”，而非“矩形内”. 4.已知 22 2222yxxxx=-+，则 y 的最小值为. 4.解解 原式 2 222 101101xx . 建立平面直角坐标系，设,0P x，1,1A，1, 1B ，则 AB 在 x

8、轴的两侧， 22 101PAx， 2 2 101PBx ， 2 222 101101yxxPAPBAB ， 当 A、P、B 三点共线时，y 值最小， min 2 2yAB. 思路点拨思路点拨: 若将式子看作函数，对于初中生来说解题难度较大.若换个角度，将每一个根式都看作是两点间的距离（距 离公式是平面直角坐标系中的勾股定理） ，则将问题转化为我们熟悉的几何最值模型两点之间线段最 短. 5.已知 22 (3)9(1)4yxx=-+-+，则 y 的最大值为. 5.解解 原式 2222 303102xx. 建立平面直角坐标系，设,0P x，3,3A，1,2B， 22 303PAx， 22 102PB

9、x， 2222 303102yxxPAPBAB， 当 A、P、B 三点共线，即点 P 在 AB 延长线上时 y 值最大， max 5yAB. 思路点拨思路点拨: 阅读题目时需观察清楚“”或“”，切不可盲目下笔.本题与题 4 形式相似，解法相近，但是又有所不同. 将代数式转化为平面直角坐标系中的两条线段的差；利用三边关系中的两边之差小于第三边，共线时取等 找到最大值. 6如图 3.4 所示，在等腰 RtABC 中，BAC90，ABAC，BC42，点 D 是边 AB 上一动点，连 接 CD，以 AD 为直径的圆交 CD 于点 E，则线段 BE 长度的最小值为 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众

10、号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 解：连接 AE，取 AC 得中点 F，连接 EF，如图 48 所示 AD 是圆的直径 AED90 AEC90 EF 1 2 AC2 点 E 的轨迹为以点 F 为圆心的圆弧（圆的定义） BEBFEF 当且仅当 B、E、F 三点共线时等号成立，如图 49 所示 在 RtABF 中，AF2，AB4 BF 22 AFAB 22 2425， minBEBFEF252 思路点拨 阅读题目时要找到三条关键信息：点 E

11、为圆周上一点，AD 所对的圆周角是 90，DEC 是平角，连 接 AE 后就找到了定弦定角（或斜边上的中线） ，若一个角的度数和其所对的一条线段均为定值，则这个角 的顶点的轨迹为圆（根据题目需求判断是否需要考虑两侧） 因此判断出点 E 的轨迹是圆（不是完整的圆， 受限于点 D 的运动范围） 根据三角形的三边关系，知 B、E、F 三点共线时 BE 取得最小值 7如图 3.5 所示，正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是边 AB 上一动点，连接 CE，过点 B 作 BGCE 于点 G，点 P 时边 AB 上另一动点，则 PDPG 的最小值为 解：取 BC 得中点 F，连接 GF，作点 D 关于

12、 AB 的对称点 D，连接 DP、DA，如图 4.10 所示 DPDP BGC90，点 F 为 BC 的中点 GF 1 2 BC2 PDPGPDPGDG 又 DGGFDF PDPGGFDFGF 如图 411 所示，当且仅当 D、P、G、F 四点共线时取得最小值 根据勾股定理得 DF 22 46213 PDPG 的最小值为 2132 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 思路点拨 不难发现BGC90是个定角

13、，因此点 G 的轨迹为以 BC 为直径的圆（部分） ，可以通过斜边上的中 线构造长度不变的动线段，再利用三边关系求解 8如图 3.6 所示，在矩形 ABCD 中，AB2，AD3，点 E、F 分别为边 AD、DC 上的点，且 EF2，点 G 为 EF 的中点，点 P 为边 BC 上一动点，则 PAPG 的最小值为 解：作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AB、AP、DG，如图 4.12 所示 PAPA PAPGPAPG ADC90，EF2 DG 1 2 EF1 PAPGDGAD PAPGADDG 如图 413 所示，当且仅当 A、P、G、D 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 AD 22

14、AAAD 2 2 2ABAD5 PAPG 的最小值为 4 思路点拨 与题 7 的已知条件是相似的，解法几乎一致，抓住核心条件，线段 EF 始终不变，线段 EF 所对的角 为直角，因此斜边上的中线 DG 始终不变，从而判断出点 G 的轨迹图形为圆利用轴对称的性质将线段和 最小值问题转化为点到动点的距离最小值问题，再根据圆外一点到圆周上一点的距离最值求解 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 9在平面直角坐标

15、系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且 m2n24，若点 E 为 CD 的中点， 则 ABBE 的最小值为（） A3B4C5D25 解：C(0，m)，D(n，0)，m2n24， CD24， CD2 在 RtCOD 中，点 E 为 CD 的中点 OE1，即点 E 在以 O 为圆心，1 为半径的圆上 作图 414，连接 OE，过点 A 作直线 y2 的对称点 A，连接 AB、AO A(3，4) ABBEABBEABBEEOEOAOEO 如图 4.15 所示，当且仅当 A、B、E、O 四点共线时等号成立 根据勾股定理得 AO 22 3 45 ABBE 的最小值为 4 思路点

16、拨 根据两点之间的距离公式 m2n2CD2，得到 CD 的长度；由已知条件判断出 OE 为斜边上的中线， OE 1 2 CD（定值） ；根据圆的定义可知点 E 的轨迹是以坐标原点为圆心、 1 2 CD 为半径的圆；利用对称的 性质将线段和的最值问题转化为圆外一点到圆周上一点的距离最值问题 10 如图 3.7 所示， AB3， AC2， 以 BC 为边向上构造等边三角形 BCD， 则 AD 的取值范围为 解：以 AB 为边向上作等边ABE，连接 DE，如图 416 所示 ABBE，CBBD，ABCEBD60CBE 在ABC 和EBD 中 , , , ABBE ABEEBD CBBD ABCEBD

17、(SAS) DEAC2 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 点 D 的轨迹是以点 E 为圆心，2 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 417 和图 418 所示，当且仅当 A、E、D 三点共线时取得最值 1AD5 思路点拨 这样理解 AB3，AC2 这个条件：固定一边 AB，CAB 可以自由变化，因此点 C 的轨迹是以点 A 为圆心、2 为半径的圆通过构造全等图形找出点 D 的运动轨迹利用圆外一点到

18、圆周上的距离最值来解 决问题 拓展 本题的解法较多，对于“定点动点”的最值问题，探究动点的轨迹图形时直接的方法 11.如图 3.8 所示，AB=3，AC=2，以 BC 为腰（点 B 为直角顶点）向上构造等腰直角三角形 BCD，则 AD 的取值范围为； 解答：以 AB 为腰做等腰直角ABE（ABE=90），连接 DE，如图 4.19 所示， AE= ?AB=3 ?，ABC=EBD=90CBE， 在ABC 和EBD 中 ?t h t? ?t? h ?t ?t h t 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：ala

19、rmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher ABCEBD（SAS） ED=AC=2 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、2 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 4.20 和图 4.21 所示，当且仅当 A，E，D 三点共线时取得最值， 3 ?2AD3 ?2 思路点拨思路点拨：解题方法基本同上题，也是通过构造全等图形找出点 D 的运动轨迹上，再利用圆外一点到圆周 上的距离最值来解决问题 12. 如图 3.9 所示， AB=4， AC=2， 以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD， 则 AD 的取值范围为， 解答：以 AB 为底边构造

20、等腰直角AEB（AEB=90），连接 DE，如图 4.22 所示， AE= ? ? AB=2 ?，EBA=CBD=45 ?t ?t h ?t t h? ?t? h ?t h ?t? ABCEBD 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher DE= ? ? AC= ? 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、 ? 为半径的圆 AEEDADAEED 如图 4.23 和图 4.24 所示，当 A、E、D 三点共线时取得最值

21、 ?AD3 ? 思路点拨思路点拨：与前面两题不同的是，由于旋转中心不再是等腰三角形顶角的顶点，因此构造全等图形变成构 造相似图形，从而找出点 D 的运动轨迹，最后根据圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题 13. 如图 3.10 所示，AB=4，AC=2，以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD，连接 AD 并延长至点 P， 使 AD=PD，则 PB 的取值范围为， 解答：以 AB 为底边构造等腰直角AEB（AEB=90），连接 DE，如图 4.25 所示， 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：ala

22、rmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher AE= ? ? AB=2 ?，EBA=CBD=45 ?t ?t h ?t t h? ?t? h ?t h ?t? ABCEBD DE= ? ? AC= ? 点 D 的轨迹为以点 E 为圆心、 ? 为半径的圆 延长 AE 至点 Q，使 AE=EQ，连接 PQ、BQ， AD=DP，DQ=2DE=2 ? 如图 4.23 和图 4.24 所示，当 A、E、D 三点共线时取得最值 BE 垂直平分 AQ，AB=BQ QAB=45，ABQ 为等腰直角三角形，BQ=AB=4 BQPQPBBQPQ 如图 4.26

23、和图 4.27 所示，当 B、P、Q 三点共线时取得最值 42?PB42? 思路点拨：注意到点 P 的产生与中点有关，点 P 的运动与点 D“捆绑”在一起，故可通过构造中位线来判断 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 点 P 的运动轨迹，再利用圆外一点到圆周上的距离最值来解决问题 14. 如图 3.11 所示，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，两顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，则顶点

24、D 到 坐标原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为； 解答：取 AB 的中点 G，连接 DG、OG，如图 4.28 所示， AOB=xOy=90，OG= ? ?AB=1， 连接 DB、OD DCB 为等腰三角形 C=120，DBC=30，DB=?DC=2?， DBA=12030=90 在 RtDGB，GB=1，DG= t? ?t?h? ? ? ? ?h? DGOGODOGDG 当且仅当 O、G、D 三点共线时取得最值 D、G 在点 O 同侧时取得最大值，在点 O 异侧时取最小值，如图 4.29 所示， 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 Q

25、Q 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher ?1OD ?1 OD 的最大值和最小值乘积为? ? ? ? ? =12 思路点拨思路点拨：这个是“墙角”型问题，类似于梯子在墙角滑动，将墙角变为平面直角坐标系，这样移动的范围 能扩大到负方向；利用“墙角”产生的直角，以及 AB 边长不变的特点，作出 AB 的中点 G，利用斜边上的中 线 OG 和位置固定的两点 D、G 来构造两条大小不变、位置变化的线段 OG、DG；利用两边之和与两边之 差得到 OD 的最大值和最小值； 另辟蹊径另辟蹊径：利用相对运动的知识

26、，我们假设正六边形是不变的，坐标系可以绕着正六边形运动；利用 AOB=90，AB=2，判断出点 O 的运动轨迹为一个圆，如图 4.30 所示， 利用圆外一点到圆周上的距离最值解得 OD 的最大值和最小值；读者可以自行计算验证 15. 如图 3.12 所示，AB=4，点 O 为 AB 的中点，O 的半径为 1，点 P 是O 上一动点，PBC 是以 PB 为直角边的等腰直角三角形（点 P、B、C 按逆时针方向排列），则 AC 的取值范围为； 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abc

27、shuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 解答：如图 4.31 所示，以 OB 为腰向上构造等腰直角OBQ，连接 OP、CQ、AQ； 在等腰直角OBQ 和等腰直角BPC 中，?t tt h ?t t? h?，QBO=45， CBQ=45QBP=PBO，CBQPBO ?t ? h ?t t? h ? ? ，CQ=? 点 C 在以点 Q 为圆心，?为半径的圆上， OQ=OB=OA=2，QOB=90 AQ=? ?=2? AQQCACAQQC 如图 4.32 和图 4.33 所示，当且仅当 A、C、Q 三点共线时取得最值， 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三

28、剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher ?AC3? 思路点拨思路点拨：由于PBC 形状固定，两个动点 P、C 到点 B 的距离之比始终不变，这是比较典型的位似旋转， 也可理解为点 P、C“捆绑”旋转；旋转过程中，点 C 的轨迹与点 P 的轨迹图形相似，相似比为 ?:1；利用 相似找出动点 C 轨迹的圆心，AC 的最值即定点 A 到定圆上一动点的距离的最值 16.如图 3.13 所示，O 的半径为 3，RtABC 的顶点 A、B 在O 上，B90，点 C

29、在O 内，且 tanA 3 4 .当点 A 在圆上运动时，OC 的最小值为() A.2B. 3 2 C.3D. 5 3 答案：连接 OB，过点 B 向下作 BDOB，取 BD 4 3 OB，连接 AD，如图 4.34 所示. CBAOBD90，OBC90OBADBA. CB AB OB BD 3 4 ，OCBDAB， OC AD 3 4 . ADODOA 22 OBBDOA2，当且仅当 O、A、D 三点共线时取得最值， OC 3 4 AD 3 4 2 3 2 . 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：ala

30、rmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 思路点拨思路点拨 又是比较典型的位似旋转问题，我们利用相似的性质将 OC 的最值问题转化为 AD 的最值问题.通过旋 转型相似构造 RtOBD，其中OBD90，ODBCAB，因此点 D 为定点.另外，由OCBDAB 得到 OC 和 AD 之间的固定比例， 从而可利用 AD 的最值求解 OC 的最值.AD 的最值即为圆外一点到圆周上 一点的距离最值. 另辟蹊径根据直径所对的圆周角为 90，找到直径 AD，而ACD180ACB 为定值，因此由定弦 定角得出点 C 的轨迹为圆弧，可根据图 4.35 所示

31、计算 OC 的最小值. 17.如图 3.14 所示，在平面直角坐标系中，Q(3，4)，点 P 是以 Q 为圆心、2 为半径的Q 上一动点，A(1， 0)，B(1，0)，连接 PA、PB，则 PA2PB2的最小值是_. 答案：连接 OP、QP、OQ，如图 4.36 所示.设 P(x，y). 根据两点距离公式得 PA2(x1)2y2，PB2(x1)2y2， PA2PB22x22y222(x2y2)2. OP 22 xy，OP2x2y2，PA2PB22OP22， 要求 PA2PB2的最小值，即求 OP2的最小值，也就是求 OP 的最小值，OPOQPQ， 如图 4.37 所示，当且仅当 O、P、Q 三

32、点共线时取得最值， OP523，PA2PB22OP22232220. 思路点拨思路点拨 根据 PA2PB2这样的形式，产生两个联想，一是勾股定理，二是坐标公式.要使用勾股定理，就得把 PA 和 PB 构造为两条直角边，在题图中难以实现，所以转而利用坐标公式表达，我们便发现 PA2PB2与 OP2 的联系，而 OP 的最小值即圆外一点到圆周上一点的距离最小值. 弦外之音弦外之音我们会发现，虽然点 P 在动，但 OP 始终是ABP 边 AB 上的中线，且 AB 是个定值，我们可以 直接利用中线长公式得到 PA2PB22OP2 2 4 AB ，接下来的计算和上面是一致的.公式的应用有助于对思 路的拓

33、展，因此学有余力的同学可以自行推导中线长公式(仅用勾股定理即可). 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 18.如图 3.15 所示，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC3，EF2，G 为 DE 上一动点.将三角尺 DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B、G 两点的最小距离为_. 答案：在 RtDEF 中，CE2，CDE30，DF23，DE4. 如图 4.38 所示，当点 G 与点 D 重合

34、时，CGmaxDF23， 当 CGDE 时，CGminh 2 DEF S DE 22 3 4 3， 3CG23. 当 CG3 时，以 C 为圆心、CG 为半径的圆恰好经过点 B. 在DEF 旋转的过程中，点 G 会经过点 B. 因此，当 BG 恰好重合时，BG 取得最小值为 0. 思路点拨思路点拨 这是个“特别”的题，点 G 是 DE 上一动点，因此在转动的过程中，点 G 的轨迹不是线而是面，这个面 的形状为以点 C 为圆心、分别以 CGmin和 CGmax为半径的同心圆环，点 B 也在这个“面轨迹”中，因此 BG 的最小值为 0. 19.如图 3.16 所示，在 RtABC 中，ABC90，

35、ACB30，BC22，ADC 与ABC 关于 AC 对称， 点 E、F 分别是边 DC、BC 上的任意一点，且 DECF，BE、DF 相交于点 P，则 CP 的最小值为() A.1B.3C. 3 2 D.2 答案：连接 BD，如图 4.39 所示. ADC 与ABC 关于 AC 对称，ACB30，BCCD，BCD60， BDC 是等边三角形，BDCD，BDCBCD60. 在BDE 和DCF 中，BDCD，BDCBCD，DECF， 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshux

36、ue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher BDEDCF(SAS)，BEDDFC. BEDPEC180，PECDFC180， DCFEPFDCFBPD180. DCF60，BPD120. 点 P 在运动中保持BPD120， 点 P 的运动路径为以 A 为圆心、AB 为半径的 120的弧. 当 C、P、A 三点共线时，CP 能取到最小值，如图 4.40 所示， CPACAP2，即线段 CP 的最小值为 2. 思路点拨思路点拨 需要熟悉等边三角形中的常见全等图形.因为点 P 在运动中保持BPD120，BD 又是定长，所以点 P 的路径是一段以点 A 为圆心的弧，于是将 CP 的

37、最小值转化为圆外一点到圆上一点的距离最小值. 20.如图 3.17 所示，sinO 3 5 ，长度为 2 的线段 DE 在射线 OA 上滑动，点 C 在射线 OB 上，且 OC5，则 CDE 周长的最小值为_. 答案：过点 C 作 CCDE 且 CCDE，连接 CE，如图 4.41 所示， 四边形 CCED 为平行四边形，CECD. 作点 C 关于 OA 的对称点 C，连接 CE、CD、CC，CECE， CDCECECECECECC， 当且仅当 C、E、C三点共线时取得最值，如图 4.42 所示. CC关于 OA 对称，OA 垂直平分 CC， CC2CF2OCsinO6. 在 RtCCC中，C

38、C 22 CCCC210， CDE 周长的最小值为 2102. 思路点拨思路点拨 因为 DE 为定值，所以CDE 周长的最小值问题转变为 CDCE 的最小值问题.似“饮马”非“饮马”，注 意观察，这是一定两动问题.利用平移将动线段 DE“压缩”为一个动点；轴对称后根据两点之间线段最短找 到最小值线段，再根据勾股定理计算即可解决问题. 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 21、 如图 3.18 所示， 在

39、矩形 ABCD 中， AB=6， MN 在边 AB 上运动， MN=3， AP=2， BQ=5， 则 PM+MN+NQ 的最小值是_。 解：作3 MNQQ，作点 Q关于直线 AB 的对称点 Q，连接 PQ，连接MQ 、MQ，作 DAHQ 于点 H， 如图 4.43 所示，四边形 MNQQ为平行四边形，MQMQ ，MNNQPM 33 PQMQPM， 如图 4.44 所示， 当 P、 M、 Q三点共线时，MQPM 取得最小值。 Q Q 关 于 AB 对 称 ，102 BQQQ， AH=BQ=5 ，PH=AP+AH=2+5=7 。 在 RtPH Q中 ， QQABHQ=3，5837 22 2 2 H

40、QPHPQ，PM+MN+NQ 的最小值为 3+58。 思路点拨：作 QQAB，使得3 MNQQ，作点 Q关于 AB 的对称点 Q，连接 PQ，当 P、 M、 Q三点共线时，PM+MN+NQ 的值最小。作DAHQ ，利用勾股定理求出 PQ即可解决问题。 22、如图 3.19 所示，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=900，AB=6，D 为 AB 的中点，E 为 CD 上的 点，且 CE=2DE，PQ 为 AB 上的动线段，PQ=1，F 为 AC 上的动点，连接 EQ、FP，则 EQ+FP 的最小值 为_。 解：过点 E 作 EEPQ，取 EE=PQ=1，作点 E关于 AB 的对称点 E，连接

41、 EP、EP，如图 4.45 所示，四边形 EEPQ 为平行四边形，EP=EP，EP=EQ，EQ+FP=EP+FP=EP+FPEF，如 图 4.46 所示，当且仅当 E、P、F 三点共线且 EFAC 时取到最小值。当 EFAC 时，设 EE与 AD 的交点为 G， EF 与 AD 的交点为 H， 如图 4.47 所示。E与 E关于 AB 对称，EG=EG=ED=1，AG=2， A=450，FHA=EHG=450，HG=EG=1，AH=AGHG=1。在等腰直角AFH 和HGE 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微

42、信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 中，AH=1，HG=1，FH= 2 2 ，EH=2，EF=EH+FH= 3 2 2 ，当 EFAC 时，EF 取得最 小值为 3 2 2 。 思路点拨：作 EEPQ，取 EE=PQ，构造平行四边形，将 EQ+FP 的长度转化为 EPFP 的长度来 找最小值。作对称点，构造“将军饮马”模型，再利用“垂线段最短”求出最小值。与题 21 类似，本题也要将 线段 PQ“压缩”为一个点，属于平移后求垂线段长度的问题。 23、如图 3.20 所示，在正方形 ABCD 中，AB=4，E、F 分别为

43、AB、AD 的中点，MN 和 PQ 分别是边 BC、 CD上的线段， MN=PQ=1， 依次连接EM、 NP、 QF、 EF， 则六边形EMNPQF周长的最小值为_。 解：分别过点 E、F 作 BC、CD 的平行线，截取 EE=FF=MN=PQ，作点 E关于 BC 的对称点 E， 点 F关于 CD 的对称点 F， 连接 EN、 EN、 FP、 FP， 如图 4.48 所示，四边形 EENM 和四边形 FFPQ 为平行四边形，EM=EN，FQ=FP。点 E、E关于 BC 对称，N 为 BC 上的点，EN=EN。同理， FP=FP。六边形 EMNPQF 的周长=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF，

44、其中 MN、PQ、EF 为定值，要求周长最 小值即求 EM+NP+FQ 的最小值。EM+NP+FQ=EN+NP+FPEF，如图 4.49 所示，当 E、N、P、 F四点共线时取到最小值。建立如图 4.50 所示的坐标系，由题意得点 E 的坐标为（0，2） ，E（1，2） ， E（1，2） 。同理可得 F（6，3） ，EF=5 2。AE=AF=2，EF=2AE=2 2，六边形 EMNPQF 的周长最小值为7 22。 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：a

45、ntshuxue 微信号：AA-teacher 思路点拨：本题中有两条定线段平移，那我们就仿照上两题的方法平移两次即可。分别构造平行四边 形 EENM 和平行四边形 FFPQ，将六边形 EMNPQF 的周长最小值问题转化为 EN+NP+FP 的最小值问 题（属于“邮差送信”问题） ，依旧作出对称点，根据两点之间线段最短求出最小值。这里求解最小值时用到 了平面直角坐标系，这是“偷懒”的一种计算方法，相当于在平面直角坐标系的背景下应用勾股定理，亦可 根据勾股定理求解 EF。与题 21，题 22 相比，本题是两次平移后的“两点之间距离”问题。 24、如图 3.21 所示，在矩形 ABCD 中，AB=

46、2，BC=4，E、F 分别为 AD、BC 上的动点，且 EFAC， 连接 AF、CE，则 AF+CE 的最小值为_。 解：过点 C 作 CGEF，且 CG=EF，连接 FG、AG，如图 4.51 所示，四边形 ECGF 为平行四边形， EC=FG。 在图 4.52 中， 过点 B 作 BHEF，四边形 BFEH 为平行四边形，EF=BH。EFAC，ABC HAB，BH：AC=EF:AC=AB:BC。综上所述，CGAC 且 CG=EF=5，G 为定点，AFCE=AF FGAG，如图 4.53 所示，当 A、F、G 三点共线时取到最小值。在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4， AC= 22 2

47、42 5，在 RtACG 中，AG= 22 5ACCG。 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 思路点拨：本题要求两条线段和的最小值，而对分开的两线段不易判断最值的问题，所以需要将它们 合并起来，可采用的方法是全等转换，我们这里使用的是平移变换。将线段 CE 平移至以点 F 和另一个固 定点 G 为端点的线段位置，即可根据两点之间线段最短解决最小值问题。 25、如图 3.22 所示，在ABCD 中，AD=

48、7，AB=32，B=600，E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开， 将ABE沿BC方向平移到DCF的位置， 得到四边形AEFD， 则四边形AEFD周长的最小值为_。 解：如图 4.54 所示，将ABE 平移，ABEDCF，AE=DF，BE=CF。在ABCD 中，AD=BC， AD=EF，四边形 AEFD 的周长=2AD2AE=142AE。如图 4.55 所示，当 AEBC 时，AE 取得最小 值。在 RtABC 中，B=600，AE=AB. 0 sin60=3，四边形 AEFD 周长的最小值=146=20。 思路点拨：四边形 AEFD 依旧是一个平行四边形，周长等于 2（ADAE） ，故

49、将四边形 AEFD 周长的 最小值问题转化为 AE 的最小值问题。根据“点到直线，垂线段最短”即可解决问题。 26.如图 1 所示，在 RtABC 中，BAC90，AB4，AC3，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 G、 F 在 BC 边上（均不与端点重合） ，DGEF.将BDG 绕点 D 顺时针旋转 180，将CEF 绕点 E 逆时针 旋转 180，拼成四边形 MGFN，则四边形 MGFN 周长 l 的取值范围是_. 更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学 更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxu

50、e，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher 图 1 26.解：由题意得BGDAMD， MDGB， AM/BG， 四边形 MGFN 为平行四边形， l2（GFGM）. GFMNBGCFBCGF， GF 1 2 BC 5 2 ， GM2DG， .当 DG 取得最小值时，四边形 MGFN 的周长最小；同理，当 DG 取得最大值时，四边形 MGFN 周长最 大. 如图 1 和图 2 所示，当 DGBC 时，DG 取得最小值；若点 G 与点 B 重合，则 DG 取得最大值. 图 1图 2 当 DGBC 时， B 是公共角， BDGBCA， BDBCDGAC， DG 6 5 ， 6 5