（ 高中数学讲义）空间向量与立体几何.板块一.空间向量的基本定理与分解.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】 关于空间向量的四个命题中正确的是（） A若 11 23 OPOAOB ，则P、A、B三点共线 B若2OMOAOBOC ，则M、A、B、C四点共面 CABC为直角三角形的充要条件是0AB AC D若a b c ， ，为空间的一个基底，则 ab bc ca ，构成空间的另一个基底 【例 2】 在平行六面体 1111 ABCDABC D中，下列四对向量：AB 与 11 C D ； 1 AC 与 1 BD ； 1 AD 与 1 C B ； 1 AD 与 1 BC 其中互为相反向量的有n对，则n （） A1B2C3D4 【例 3】 已知正方体 1111 AB

2、CDABC D中， 111 1 4 AEAC ，若 1 ()AExAAy ABAD ，则 x ，y 【例 4】 空间四边形OABC中，OAa OBb OCc ， 点M在OA上， 且2OMMA ，N 为BC的中点，则MN _ （用向量a b c ， ，来表示 ） 【例 5】 棱长为a的正四面体ABCD中，AB BCACBD 的值等于 【例 6】 已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OAa ，OBb ， OCc ，用a ，b ，c 表示MN ，则MN _ 【例 7】 平 行 六 面 体 1111 ABCDABC D中 ，M为AC和BD的 交 点 ， 设 11111 ABaAD

3、bA Ac ，化简： 板块一.空间向量的基本定理 与分解 【学而思高中数学讲义】 11 22 abc ； 11 22 abc ； 11 22 abc ； 11 22 abc 【例 8】 设A B CD， ， ，是空间不共面的四点，且满足0AB ACAC ADAB AD ，则 BCD（） A钝角三角形B直角三角形 C锐角三角形D三种都有可能 ? D ? C ? B ? A 【例 9】 已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC ? D ? C ? B ? A 【例 10】如图，在空间四面体ABCD中，P、Q、M、N分别为边AB、AD、BC、 CD的中点， 化简下列各表达式，并在

4、图中标出化简结果的向量： ? D ? N ? M ? Q ? P ? C ? B ? A BACACD ； 1 () 2 ABBCBD ； 【学而思高中数学讲义】 1 () 2 ADBDCD 【例 11】已知a 和b 是非零向量，且|a =|b =|ab ，求a 与ab 的夹角 【例 12】已 知 两个 非 零 向量 21 ee ，不 共 线， 如 果 21 ABee ， 21 28ACee ， 21 33ADee ，求证：A B CD， ， ，共面； 【例 13】已 知A B C， ，三 点 不 共 线 ， 对 空 间 中 一 点P， 满 足 条 件 122 555 OPOAOBOC ，试判

5、断：点P与A B C， ，是否一定共面？ 【例 14】设四面体OABC的对边OA，BC的中点分别为P，Q；OB，CA的中点分别 为R，S；OC，AB的中点分别为U，V时，试证明三线段PQ，RS，UV的中 点重合 ? U ? V ? S ? R ? Q ? P ? B ? C ? A ? O 【例 15】已知斜三棱柱ABCA B C ，设ABaACbAAc ，在面对角线 AC 和 棱BC上分别取点M和N， 使得(01)AMkACBNkBCk ， 求证：MN 与 向量a c ，共面 【例 16】如图所示，在平行六面体 1111 ABCDABC D中，P是 1 CA的中点，M是 1 CD的 中 点

6、，N是 11 C D的 中 点 ， 点Q在 1 CA上 ， 且 1 :4:1CQ QA ， 设 ABaADbACc ，用基底a b c ， ，表示以下向量： AP ；AM ；AN ；AQ 【例 17】已知空间四边形ABCD，连结ACBD，设MG，分别是BC CD，的中点，化 简下列各表达式，并标出化简结果向量： 【学而思高中数学讲义】 ABBCCD ； 1 () 2 ABBDBC ； 1 () 2 AGABAC G M D C B A 【例 18】已知三棱锥OABC，4OA ，5OB ，3OC ，60AOBBOC ， 90COA，M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线MN与AC所成角的 余弦

7、值 【例 19】已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点， 且1SASBSC，M，N分 别是AB，SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值 【例 20】已知平行六面体ABCDA B C D ，如图，在面对角线 AD ，BD上分别取点 M，N，使AMAD ，BNBD (01)，记ABa ，ADb ，AAc ， 若 1 2 ，用基底a b c ， ，表示向量 AC 、A C 、MC 、C N 求证：向量MN 与向量a ，c 共面 ? N ? M ? D ? C ? B ? A ? D ? C ? B ? A 【例 21】已 知 三 个 非 零 向 量ijk ， ，不 共 面 ，23aijk

8、，32bijk ， 789cijk ，求证：a b c ， ，这三个向量共面； 【学而思高中数学讲义】 【例 22】设点O为空间任意一点，点A B C， ，是空间不共线的三点，又点P满足等式： OPxOAyOBzOC ， 其中xyzR， ， 求证：PA B C， ， ，四点共面的充要 条件是1xyz 【例 23】如图，在空间四边形OABC中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ， 45OAC，60OAB，求OA与BC的夹角的余弦值 ? C ? B ? A ? O 【例 24】如图， 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直， 点MN，分别是对角 线BDAE，的中点求证：MN 平面CDE

9、 ? N ? M ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 25】已 知A B C， ，三 点 不 共 线 ， 对 空 间 中 一 点P， 满 足 条 件 122 555 OPOAOBOC ，试判断：点P与A B C， ，是否一定共面？ 【例 26】如图， 已知空间四边形OABC， 其对角线OBAC，MN，分别是对边OA BC， 的中点，点G在线段MN上，且2MGGN，用基底向量OA OB OC ，表示向量 OG 【学而思高中数学讲义】 ? G ? C ? B ? A ? N ? M ? O 【例 27】如图，在四面体ABCD中，P QMN， ， ，分别为边ABADBC CD，的中点， G为BCD的重心 求证： 1 () 3 AGABACAD 记ABa ，ACb ，ADc ，用基底a b c ， ，表示向量BG 、QG 、PN 【例 28】在60的二面角的棱上，有A B，两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面 内，且都垂直于AB，已知4AB ，6AC ，8BD 求CD的长度； 求CD与平面所成的角 ? E ? D ? C ? B ? A