（ 高中数学讲义）三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【例 1】cos79 cos34sin79 sin34 （）。 A 1 2 B1C 2 2 D 3 2 【例 2】已知 4 cos 5 ，(,) 2 ，则cos() 4 （）。 A 2 10 B 2 10 C 7 2 10 D 7 2 10 【例 3】在平面直角坐标系中，已知两点(cos80, sin80 )A ，(cos20 , sin20 )B ，则 |AB的值是（） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 【例 4】若 3 sinsin1 2 ， 1 coscos 2 ，则cos()（） A 1 2 B 1 2

2、 C 3 2 D 3 2 【例 5】已知 3 sin(30) 5 ，60150 ，则cos（） A 34 3 10 B 34 3 10 C 43 3 10 D 43 3 10 【例 6】sin15cos15 （）。 A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 6 2 板块三.三角恒等变换 【学而思高中数学讲义】 【例 7】若，为锐角，且满足 4 cos 5 ， 3 cos() 5 ，则sin的值是（）。 A 17 25 B 3 5 C 7 25 D 1 5 【例 8】已知 1 sin 4 ， 3 (,) 2 ， 3 (, 2 ) 2 ，则是（） A 第一象限角B 第二象限角 C 第三象限角D 第四

3、象限角 【例 9】已知向量(cos75 , sin75 )a ，(cos15 , sin15 )b ，那么|ab 的值为（） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 【例 10】已知 3 4 ，则(1tan)(1tan)（） A2B2C1D1 【例 11】sin163 sin223sin253 sin313 （）。 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 【例 12】已知 1tan 45 1tan ，则tan() 4 （）。 A45B45C45 D45 【例 13】已知 2 tan() 5 ， 1 tan() 44 ，那么tan() 4 （） A 13 18 B 13 22 C 3

4、22 D 1 6 【学而思高中数学讲义】 【例 14】已知 3 sincos 3 ，(0) 2 ，则sincos（） A 15 3 B 2 3 C 1 3 D1 【例 15】在ABC中，sincosAA的取值范围是（） A( 1,2B 22 (, 22 C 2 (, 2 2 D( 1, 1 【例 16】sin70 sin30cos70 cos30a ，cos71 cos30sin71 sin30b ，则,ab的 大小关系是。 【例 17】若coscoscos0，sinsinsin0，则cos()。 【例 18】 3tan15 13tan15 。 【例 19】3cos4sin5cos()xxx，

5、则sin；cos。 【例 20】 sin7cos15 sin8 cos7sin15 sin8 的值为。 【例 21】函数coscos() 3 yxx 的最大值是。 【例 22】已知(0,) 2 ，且 3 sin 5 ，求2cos() 4 的值。 【例 23】证明： 3 cos()sin 2 【学而思高中数学讲义】 【例 24】若,为锐角，且满足 4 cos 5 ， 3 cos() 5 ，求cos的值。 【例 25】设 1 coscos 2 ， 1 sinsin 3 ，求cos()的值。 【例 26】已知, 都是锐角， 1 cos 7 ， 11 cos() 14 ，求cos的值。 【例 27】若

6、 3 sinsin 5 xy， 4 coscos 5 xy，求cos()xy的值。 【例 28】定义 10200 cos()cos()cos() n n 为集合 12 , n 相对 于常数 0 的“余弦平均数”，求集合 22 , 0, 33 相对于于常数 0 的“余弦平均 数”。 【例 29】已知 4 cos 5 ，(,) 2 ，求sin() 3 的值。 【例 30】已知tan()3 4 ，求tan的值。 【例 31】已知 3 24 ， 12 cos() 13 ， 3 sin() 5 ，求sin2的值。 【例 32】已知,(0,)且 1 tan() 2 ， 1 tan 7 ，求2的值。 【例

7、33】已知 2 sin() 3 ， 3 sin() 4 ，求 tan tan 的值。 【例 34】已知函数3sincosyxx，Rx（1）当函数y取得最大值时，求自变量 【学而思高中数学讲义】 x的集合；（2）该函数的图像可由sin ()Ryx x的图像经过怎样的平移和伸 缩变换得到？ 【例 35】函数 2 ( )2 cos sin()2 sinsin2 sin cos cosf xaxxaxaxx的定义域是 R， 值域是 2, 2， 在区间 5 , 1212 上是单调递减函数， 且0a ，0, 2 。 （1）求( )f x的周期；（2）求常数a和角的值。 【例 36】已知,都是锐角，且 5

8、sin 5 ， 10 sin 10 ，求。 【例 37】求tan()tan()3tan()tan() 6666 的值。 【例 38】已知 5 sin() 413 x ，0 4 x ，求 cos2 cos() 4 x x 的值。 【例 39】求证：tan()tan()tan()tan()tan()tan()xyyzzxxyyzzx。 【例 40】已知 3 sin()sin 35 ，0 2 ，求cos的值。 【例 41】已知tan与tan是方程 2 330 xx的两根， 求 22 sin ()3sin()cos()3cos ()的值。 【例 42】已知向量(cos,3)am ，(1,sin )bn

9、 ，且ab （1）若1mn， 【学而思高中数学讲义】 求sin() 6 的值；（2）若3m ，且(0,) 2 ，求实数n的取值范围。 题型二：二倍角的正弦、余弦、正切公式 【例 43】下列各式中，值为 1 2 的是（）。 Asin15 cos15 B 2 2cos 151 C 1cos30 2 D 2 tan22.5 1tan 22.5 【例 44】已知(, 0) 2 x ， 4 cos 5 x ，则tan2x （）。 A 7 24 B 7 24 C 24 7 D 24 7 【例 45】 22 cos 75sin 75cos75 cos15 的值为（） A 6 2 B 3 2 C 5 4 D

10、3 1 4 【例 46】函数2sin (sincos )yxxx的最大值为（） A12B21C2D2 【例 47】若 3 3 是二次方程 2 1 (tan)10 tan xx 的一个根，tan1，则tan2 （） A3B3C 3 3 D 3 3 【例 48】函数( )sin23cos2f xxx的最小正周期是（）。 AB 2 C 4 D 8 【例 49】已知 3 sin() 45 x ，则cos(2 ) 2 x 的值为（）。 A 19 25 B 16 25 C 14 25 D 7 25 【学而思高中数学讲义】 【例 50】若tan2，则 1 sin2 2 （） A 1 2 B 2 3 C 2

11、5 D1 【例 51】如果 1 sin2 4 且(,) 42 ，那么cossin（） A 3 2 B 3 4 C 3 4 D 3 2 【例 52】若 2 2sin1 2 ( )2tan sincos 22 f ，则() 8 f （） A0B2C2D4 【例 53】已知 1 cos()cos() 444 ，则 44 sincos的值等于_。 【例 54】 sincos1 2cossin3 ，则tan2_。 【例 55】化简 2 cos 75的值是_。 【例 56】已知 3 tan() 35 ， 则tan_； 22 sincos 3cos2sin _。 【例 57】已知 3 sin cos 10

12、xx ，求4sin()sin() 44 xx 的值 【例 58】求证： （1） 2 2tan sin2 1tan x x x ； （2） 2 2 1tan cos2 1tan x x x 。 【例 59】已知 3 cos 5 ， 2 cos 2 且,(0,) 2 ，求tan2()的值。 【例 60】求 22 sin 20cos 50sin20 cos50 的值。 【学而思高中数学讲义】 【例 61】已知sincossincos，求sin2的值。 【例 62】已知 44 ( )cos2sin cossinf xxxxx。（1） 求( )f x的最小正周期； (2)求( )f x 在区间0, 2

13、上的最大值和最小值。 【例 63】设 2 sin 2sin2 coscos21,(0,) 2 。求sin, tan的值。 【例 64】已知 33 cos()() 45 22 ，求cos(2) 4 的值。 【例 65】已知 2 sincos(0) 2 ，求cos2的值。 【例 66】求函数 66 sincosyxx的最小正周期。 【例 67】求 22 7 ( )5 3cos3sin4sin cos () 424 f xxxxxx 的最小值， 并求出取 得最小值时x的值。 【例 68】化简 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx 。 【例 69】若 4 co

14、s(45)(225315 ) 5 xx ，求 2 sin2sin 1tan xx x 的值。 【例 70】已知矩形ABCD的长ABa，宽ADb，试求其外接矩形EFGH面积的最 大值与对角线长的最大值. 【学而思高中数学讲义】 题型三：简单的三角恒等变换 【例 71】化简 2 2cos2sin 1的结果是（）。 Acos1Bcos1C3cos1D3cos1 【例 72】tancot 88 的值是（） A1B2C1D2 【例 73】若 24 sin2 25 ，则2cos() 4 的值为（） A 1 5 B 7 5 C 1 5 D 7 5 【例 74】设在第二象限，且 31 sin() 222 ，则

15、 1sin cossin 22 的值为（） A1B1C1或1D 不能确定 【例 75】若 2 2sin1 ( ) sin4 f ，则() 12 f _。 【例 76】等腰三角形的顶角的正弦值为 5 13 ，则它的底角的余弦值为_。 【例 77】已知A是ABC的内角，且 1 sincos 5 AA，求tan A的值。 【例 78】求证 (sincos1)(sincos1) tan sin22 。 【例 79】已知函数3sin23cos2yxx。 【学而思高中数学讲义】 （1）求函数的增区间； （2）说出此函数与sinyx之间的关系。 【例 80】2002 年 8 月，在北京召开了国际数学大会，大

16、会会标如图所示，它是由四 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中 较小的锐角为， 大正方形的面积是 1， 小正方形的面积是 1 25 ， 求 22 sincos 的值. 【例 81】求证： 22 12sincos tan() cossin4 。 【例 82】已知函数 2 ( )3sinsin cosf xxxx 。 （1）求 25 () 6 f 的值；（2）设(0,)， 13 () 242 f ，求sin。 【例 83】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接 矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点,B C落在半圆的 圆周

17、上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点,A D的位置，可 以使矩形ABCD的面积最大？ 【学而思高中数学讲义】 【例 84】已知 1 tan 2 ， 1 tan 3 ，0 2 ， 3 2 ，求的值。 【例 85】已知 2 2sin1 2 ( )2tan sincos 22 f ，求() 12 f 【例 86】已知函数 2 ( )2 sin2 3 sin cos(0)f xaxaxxab a的定义域为0, 2 ， 值域为 5,1，求常数,ab的值。 【例 87】已知半径为 1，圆心角为 3 的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的 最大面积. 【例 88】已知为锐角，且 tan2 4 求tan的值； 求 sin2 cossin cos2 的值