（ 高中数学讲义）三角函数.板块二.三角函数的图像与性质1.学生版.doc

1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：三角函数的单调性与值域 【例 1】函数 1 () tan44 yx x 的值域是（） A 1, 1B(,1)(1,) C(, 1D 1,) 【例 2】利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小： （1）tan( 138 ) 与tan125； （2） 12 tan() 5 与 16 tan() 3 。 【例 3】函数cos(sin )yx的值域为_ 【例 4】若函数cosyabx的最大值是 3 2 ，最小值是 1 2 ，求函数4 sinyabx 的最大 值与最小值及周期。 【例 5】函数12sinyx 的值域是（） 。 A 2, 1B 1, 3

2、C0, 1D 2, 2 【例 6】下列说法sin1sin2sin2cos2sin4cos4 1913 sincos() 1010 ，其中 正确的是（） ABCD 【例 7】根据正弦函数的图像得使不等式22sin0,Rxx成立的x的取值集合为 （） A 3 , 44 B 3 , 44 C 3 2,2 44 kk D 3 2,2 44 kk 【例 8】比较大小：sin510_sin142；cos750_cos( 760 ) 。 板块二.三角函数的图像 与性质 【学而思高中数学讲义】 【例 9】函数3sin(3 ), 62 2 yx x 的单调递增区间是_。 【例 10】利用图像解不等式tan()3

3、 6 x 。 【例 11】比较tan3与tan8的大小。 【例 12】已知( )sin(0) 363 f xxff ， 且( )f x在区间 6 3 ，有最小 值，无最大值，则_. 【例 13】函数sin 3 yx在区间0 t，上恰好取得最大值，则实数t的取值范围 是. 【例 14】设函数( )2sin() 25 f xx,若对任意Rx,都有 12 ()( )()f xf xf x成立, 则 12 xx的最小值() A.4B.2C.1D. 1 2 【例 15】求下列不等式x的取值范围. 2sin10 x ； 2cos(3)10 6 x . 【例 16】设 1 (0) 2 x ， 1 cos(s

4、in)ax， 23 sin(coscos ),(1)ax ax, 比 较 123 aaa，的大小. 【例 17】求使 1 cos 1 a x a 有意义的 a 的取值范围. 【例 18】求函数 2 2 sectan sectan xx y xx 的值域. 【例 19】求函数 2sin1 2sin1 x y x 的值域. 【学而思高中数学讲义】 【例 20】函数sin1yax的最大值是 3，则它的最小值_. 【例 21】设函数( )sin(2)(0)f xx，( )yf x图像的一条对称轴是直线 8 x ，（1）求；（2）求函数( )yf x的单调增区间。 题型二：三角函数的周期与对称 【例 2

5、2】求下列三角函数的周期： （1）sin() 3 yx ； （2）3sin() 25 x y 。 【例 23】函数2sin(4) 3 yx 的最小正周期是（） 。 AB2C 2 D4 【例 24】函数 5 sin(2) 2 yx 图像的一条对称轴方程是（） A 4 x B 2 x C 8 x D 5 4 x 【例 25】如果函数3cos 2yx的图象关于点 4 3 ， 0中心对称，那么的最小 值为（） A 6 B 4 C 3 D 2 【例 26】函 数( )sin()(00),f xAxA的 部 分 图 象 如 下 图 所 示 ， 则 (1)(2)(3)fff(11)f 【例 27】函数tan

6、()(0) 4 yaxa 的最小正周期为（） 。 【学而思高中数学讲义】 A 2 a B 2 |a C |a D a 【例 28】下列函数中，不是奇函数的是（） AsintanyxxBtan1yxxC sintan 1cos xx y x D tan lg 1tan x y x 【例 29】若函数2tan(2)(0) 6 yaxa 的最小正周期是 3，则a _。 【例 30】求函数tan(3) 4 yx 的周期和单调区间。 【例 31】求函数 1cos sin (1tan) sin x yxx x 的最小正周期。 【例 32】已知函数 15 ( )sin(2) 264 f xx ， （1）求(

7、 )f x的最小正周期及单调区间； （2）求( )f x的图像的对称轴和对称中心。 【例 33】已知函数( )2sin 2 6 f xx ，Rx，若有10个互不相等的正数 i x满足 ( )2 i f x，且10 i x (12310),i ，求 1210 xxx的值 【例 34】设函数( )f x的图象与直线xa，xb及x轴围成图形的面积称为函数 ( )f x在,ab上的面积，已知函数sinynx在0 , n 上的面积为 2 n (N )n ， sin3yx在 2 0 3 , 上的面积为； sin(3)1yx在 4 33 , 上的面积为 【学而思高中数学讲义】 【例 35】设( )f x是定

8、义在 R 上且最小正周期为 3 2 的函数，在某一周期内， cos2 ,0, ( ) sin ,0, 2 xx f x xx 则 15 4 f =. 【例 36】定义在R上的函数( )f x既是偶函数又是周期函数， 若( )f x的最小正周期是 ，且当0 2 ,x时，( )sinf xx，则 5 () 3 f的值为（） A. 1 2 B. 3 2 C. 3 2 D. 1 2 【例 37】函数( )cos(3)Rf xxx，的图象关于原点中心对称，则（） . 3 . 2 k ，Zk .Zkk ，.2Z 2 kk， 【例 38】已知集合M是满足下列性质的函数( )f x的全体：存在非零常数T，对任

9、意 Rx，有()( )f xTTf x成立. 函数( )f xx是否属于集合M.说明理由. 设函数( ) x f xa(0a 且1a )的图象与yx的图象有公共点，证明 ( ) x f xaM 若函数( )sinf xkxM，求实数k的取值范围. 【例 39】若函数( )2cos(2)f xx对任意实数x都有()() 66 fxfx （） 求() 6 f 的值； （） 求的最小正值； （） 当取最小正值时，求( )f x在, 66 上的最大值和最小值 【学而思高中数学讲义】 【例 40】求 20082007 ( )(sin )(cos )f xxx的最小正周期 【例 41】设( )sin(0)

10、 53 k f xxk 求当3k 时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标 求最小正整数k，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时， 函数至少取得一次最大值M和最小值m 【例 42】求函数 55 32 ( )sincos 23 f xxx的最小正周期 题型三：三角函数的平移伸缩变换 【例 43】将函数sinyx的图像上所有的点向右平行称动 10 个单位长度，再把所得 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 A sin 2 10 yx B sin 2 5 yx C 1 sin 210 yx D 1 sin 210 yx 【例 44】要得到函数2cosy

11、x的图象，只需将函数2sin(2) 4 yx 的图象上所 有的点的（） A横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 8 个单位长度 B横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 4 个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 4 个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 8 个单位长度 【例 45】已知函数 sin()f xAx（0A ，0， 2 ）的图象在 y 轴上的 截距为1，它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 0, 2 x和 0 3,2x 【学而思高中数学讲义】 （1）求 f x的解析式

12、； （2）将 yf x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 3 ， （纵坐标不变） ，然后 再将所得图象沿 x 轴正方向平移 3 个单位，得到函数 yg x的图象写出函 数 yg x的解析式并用“五点法”画出 yg x在长度为一个周期的闭区间上 的图象 【例 46】画出函数3sin(2), 3 yxxR 的简图，并说明此函数图形怎样由sinyx 的图像变化而来。 【例 47】把函数sin(2) 4 yx 的图像向左平移 8 个单位长度， 再将横坐标压缩到原 来的 1 2 ，所得函数的解析式为（） 。 Asin4yxBcos4yx Csin(4) 8 yx Dsin(4) 32 yx 【例 48

13、】要得到cos(2) 4 yx 的图像，只需将sin2yx的图像（） A 向左平移 8 个单位B 向右平移 8 个单位 C 向左平移 4 个单位D 向右平移 4 个单位 【例 49】把函数 4 cos() 3 yx 的图像向右平移个单位，所得到的图像正好关于y 轴对称，则的最小正值是_。 【例 50】已知函数 sin 4 f xx R0 x，的最小正周期为， 为了得到函 数 cosg xx的图象，只要将 yf x的图象（） A向左平移 8 个单位长度B向右平移 8 个单位长度 C向左平移 4 个单位长度D向右平移 4 个单位长度 【学而思高中数学讲义】 【例 51】设0，函数 sin2 3 y

14、x 的图像向右平移 4 3 个单位后与原图像重 合，则的最小值是 A 2 3 B 4 3 C 3 2 D3 【例 52】为了得到函数 sin 2 3 yx 的图像，只需把函数 sin 2 6 yx 的图像 A向左平移 4 个长度单位B向右平移 4 个长度单位 C向左平移 2 个长度单位D向右平移 2 个长度单位 【例 53】试述如何由 1 sin 2 33 yx 的图象得到sinyx的图象。 【例 54】已知函数( )2 sin(Z) 4 f xabxab ，当0 2 x ，时，( )f x的最大 值为2 21 求( )f x的解析式； 由( )f x的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数(

15、 )yg x的图象？若 能，请写出变换过程；若不能，请说明理由 【例 55】把曲线:2sin 2 4 C yx 向右平移(0)a a 个单位，得到的曲线G关于直 线 4 x 对称.求a的最小值. 题型四：三角函数基本定义 【例 56】函数tan() 4 yx 的定义域是（） 。 A |,R 4 x xx B |,R 4 x xx C 3 |,Z 4 x xkk D |, 4 Zx xkk 【例 57】函数5tan(6)2 3 yx 的定义域是_。 【学而思高中数学讲义】 【例 58】下列说法正确的是（） A正切函数在整个定义域内是增函数 B正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成 C若x是第一象限角，则sin x是增函数 D函数 2 2tanyx的图像关于y轴对称 【例 59】已知函数sin()(0,0)yAxA的最大值是 2， 最小正周期是 2 5 ， 初 相是 4 ，则这个函数的表达式是（） 。 A2sin(5) 4 yx B2sin(5) 4 yx C2sin(5) 20 yx D2sin(5) 20 yx