（步步高 高中理科数学 教学资料）4.1.docx

1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制 的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、 余弦、正切)的定义. 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧 度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算 为主，常与向量、三角恒等变换相结合， 考查三角函数定义的应用及三角函数的化 简与求值，考查分类讨论思想和数形结合 思想的应用意识题型以选择题为主，低 档难度. 1角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 (

2、2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是 S|k360，kZ (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一 个象限 2弧度制 (1)定义： 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示， 读作弧度 正 角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 rad，1 rad 180 . (3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：S1 2lr 1 2|r

3、2. 3任意角的三角函数 任意角的终边与单位圆交于点 P(x，y)时， 则 sin y，cos x，tan y x(x0) 三个三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号 sin R cos R tan |k 2， kZ 4.三角函数线 如下图，设角的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆 的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向 线段 AT 为正切线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正

4、弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin y r，cos x r， tan y x(x0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角() (2)角的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关() (3)不相等的角终边一定不相同() (4)若为第一象限角，则 sin cos 1.() 题组二教材改编 2P10A 组 T7角225_弧度，这个角在第_象限 答案5 4 二 3P15T2设角的终边经过点 P(4，3)，那么 2cos si

5、n _. 答案 11 5 解析由已知并结合三角函数的定义，得 sin 3 5，cos 4 5，所以 2cos sin 2 4 5 3 5 11 5 . 4P10A 组 T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度 答案 3 题组三易错自纠 5(2018秦皇岛模拟)下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是 () A2k45(kZ)Bk3609 4 (kZ) Ck360315(kZ)Dk5 4 (kZ) 答案C 解析与9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)， 但是角度制与弧度制不能混用， 所以只 有答案 C 正确 6集合 |k 4k 2，kZ中的角所表示的范围(阴影部

6、分)是() 答案C 解析当 k2n(nZ)时， 2n 42n 2， 此时表示的范围与 4 2表示的范围一样； 当 k2n1 (nZ)时，2n 42n 2，此时表示的范围与 4 2表示 的范围一样，故选 C. 7已知角(0)的终边与单位圆交点的横坐标是1 3，则 sin _. 答案2 3 2 解析由题意得，角的终边与单位圆交点的坐标是 1 3， 2 3 2 ，sin 2 3 2. 8(2018济宁模拟)函数 y 2cos x1的定义域为_ 答案 2k 3，2k 3 (kZ) 解析2cos x10， cos x1 2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， x 2k 3，

7、2k 3 (kZ) 题型一题型一角及其表示角及其表示 1设集合 M x|x k 218045，kZ，N x|x k 418045，kZ，那么() AMNBMN CNMDMN 答案B 解析由于M中， xk 218045k9045(2k1)45， 2k1是奇数； 而N中， x k 4180 45k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B. 2若角是第二象限角，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第一或第三象限角D第二或第四象限角 答案C 解析是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 20， 4m2 64m29 1 25，即 m 1 2. (2)设是第三象限角，且|cos

8、 2|cos 2，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案B 解析由是第三象限角知， 2为第二或第四象限角， |cos 2|cos 2，cos 20， 12cos x0， 即 sin x1 2， cos x1 2， 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 2k 3，2k 5 6(kZ) 思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点 P 的坐标可求的三角函数值；已知 角的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标 (2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围 跟踪训练(1)(2017济南模拟)已知点

9、P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案B 解析tan 0，cos 0， 在第二象限 (2)(2017石家庄模拟)若3 4 2，从单位圆中的三角函数线观察 sin ，cos ，tan 的大 小是() Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 答案C 解析如图，作出角的正弦线 MP，余弦线 OM，正切线 AT， 观察可知 sin cos 0，解得 m3. 4(2018广州质检)点 P 的坐标为(2,0)，射线 OP 顺时针旋转 2 010后与圆 x2y24 相交于 点 Q，

10、则点 Q 的坐标为() A( 2， 2)B( 3，1) C(1， 3)D(1， 3) 答案B 解析由题意得 Q(2cos(2 010)，2sin(2 010)， 即 Q( 3，1) 5已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为() A2B4C6D8 答案C 解析设扇形的半径为 R，则1 24R 22， R1，弧长 l4，扇形的周长为 l2R6. 6已知是第二象限的角，其终边上一点为 P(x， 5)，且 cos 2 4 x，则 tan 等于() A. 15 5 B. 15 3 C 15 5 D 15 3 答案D 解析 x x25 2 4 x 且在第二象限， x 3，tan 5

11、 3 15 3 . 7(2017怀化模拟)sin 2cos 3tan 4 的值() A小于 0B大于 0 C等于 0D不存在 答案A 解析sin 20，cos 30， sin 2cos 3tan 40. 8给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin sin ，则与的终边相同； 若 cos 0) 是角终边上的一点，则 2sin cos _. 答案 2 5 解析|OP| 4m23m25|m|5m(m0)， sin 3m 5m 3 5，cos 4m 5m 4 5， 2sin cos

12、 23 5 4 5 2 5. 10已知扇形的圆心角为 6，面积为 3，则扇形的弧长等于_ 答案 3 解析设扇形半径为 r，弧长为 l， 则 l r 6， 1 2lr 3， 解得 l 3， r2. 11函数 ysin x 3 2 的定义域为_ 答案 2k 3，2k 2 3，kZ 解析利用三角函数线(如图)， 由 sin x 3 2 ，可知 2k 3x2k 2 3，kZ. 12满足 cos 1 2的角的集合为_ 答案|2k 2 32k 4 3，kZ 解析作直线 x1 2交单位圆于 C，D 两点，连接 OC，OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中 阴影部分)即为角终边的范围， 故满足条件的角的集

13、合为 |2k 2 32k 4 3，kZ. 13已知 sin sin ，那么下列命题成立的是() A若，是第一象限的角，则 cos cos B若，是第二象限的角，则 tan tan C若，是第三象限的角，则 cos cos D若，是第四象限的角，则 tan tan 答案D 解析如图，当在第四象限时，作出，的正弦线 M1P1，M2P2和正切线 AT1，AT2，观察知 当 sin sin 时，tan tan . 14已知点 P(sin cos ，tan )在第四象限，则在0,2内的取值范围是_ 答案 2， 3 4 7 4，2 解析由 sin cos 0， tan 0， 得1tan 0 或 tan 1

14、. 又 02， 2 3 4或 7 42. 15(2017烟台模拟)若角的终边与直线 y3x 重合，且 sin 0，又 P(m，n)是角终边上一 点，且|OP| 10，则 mn_. 答案2 解析由已知 tan 3，n3m， 又 m2n210，m21. 又 sin 0，m1，n3.故 mn2. 16(2018石家庄质检)已知 sin 0. (1)求角的集合； (2)求 2的终边所在的象限； (3)试判断 tan 2sin 2cos 2的符号 解(1)由 sin 0，知在第一、三象限，故角在第三象限， 其集合为 |2k2k 3 2 ，kZ . (2)由 2k2k3 2 ，kZ， 得 k 2 2k 3 4 ，kZ， 故 2的终边在第二、四象限 (3)当 2在第二象限时，tan 20，cos 20， 所以 tan 2sin 2cos 2取正号； 当 2在第四象限时，tan 20， sin 20， 所以 tan 2sin 2cos 2也取正号 因此，tan 2sin 2cos 2取正号