（步步高 高中理科数学 教学资料）9.6双曲线.docx

1、9.6双曲线双曲线 最新考纲考情考向分析 了解双曲线的定义、几何图 形和标准方程，知道其简单 的几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线). 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参 数 a，b，c 及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线 是重点以选择、填空题为主，难度为中低档一般不再 考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容 及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质. 1双曲线定义 平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 这 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF1

2、|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围xa 或 xa，yRxR，ya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线yb ax ya bx 离心率ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段 B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|2b；

3、a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半 轴长 a，b，c 的关系c2a2b2(ca0，cb0) 知识拓展 巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线() (3)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)与 x2

4、 b2 y2 a21(a0， b0)的离心率分别是 e 1， e2， 则 1 e21 1 e221(此 条件中两条双曲线称为共轭双曲线)() 题组二教材改编 2P61T1若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线 的离心率为() A. 5B5 C. 2D2 答案A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近线方程为x a y b0， 即 bxay 0， 2a bc a2b2b.又 a 2b2c2，5a2c2. e2c 2 a25，e 5. 3P62A 组 T6经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案

5、x2 8 y 2 8 1 解析设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a21(a0)， 把点 A(3，1)代入，得 a28(舍负)， 故所求方程为x 2 8 y 2 8 1. 题组三易错自纠 4(2016全国)已知方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4， 则 n 的取值范围是() A(1,3)B(1， 3) C(0,3)D(0， 3) 答案A 解析方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线， (m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知 c2(m2n)(3m2n)4m2(其中 c 是半焦距)，焦距 2c22|m|4， 解得|m|1，

6、 1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( ) A. 7 3 B.5 4 C.4 3 D.5 3 答案D 解析由条件知 yb ax 过点(3，4)， 3b a 4， 即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2， 25a29c2，e5 3.故选 D. 6已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y1 2x，则该双曲线的标准方程为_ 答案 x2 4 y21 解析由双曲线的渐近线方程为 y1 2x，可设该双曲线的标准方程为 x2 4 y2(0)，已知 该双曲线过点(4， 3)，所以4 2 4 ( 3)2，即1，故所求双曲线的标准方程为x 2 4 y21. 题型一题

7、型一双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程 命题点 1利用定义求轨迹方程 典例 (2018大连调研)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_ 答案x2y 2 8 1(x1) 解析如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6

8、. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离 小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 命题点 2利用待定系数法求双曲线方程 典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4； (2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7) 解(1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0) 由题意知，2b12，ec a 5 4， b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为x 2

9、 64 y2 361 或 y2 64 x2 361. (2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12. 又 2c26，c13，b2c2a225. 双曲线的标准方程为 y2 144 x2 251. (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25. 双曲线的标准方程为y 2 25 x2 751. 命题点 3利用定义解决焦点三角形问题 典例 已知F1， F2为双曲线C： x2y22的左、 右焦点， 点P在C上， |PF1|2|PF2|， 则cosF1PF2 _. 答案 3 4

10、解析由双曲线的定义有 |PF1|PF2|PF2|2a2 2， |PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 4 2 22 2242 24 22 2 3 4. 引申探究 1本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？ 解不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， 在F1PF2中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 1 2， |PF1|PF2|8， 12 F PF S1 2|PF 1|PF2|sin

11、 602 3. 2本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“PF1 PF2 0”，则F1PF2的面积是多少？ 解不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， PF1 PF2 0，PF1 PF2 ， 在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1|PF2|4， 12 F PF S1 2|PF 1|PF2|2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要 求可求出双曲线方程 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方 的方法，

12、建立与|PF1|PF2|的联系 (3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有 公共渐近线的双曲线方程为x 2 a2 y2 b2(0)，再由条件求出的值即可 跟踪训练 (1)(2018沈阳调研)设椭圆 C1的离心率为 5 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 _ 答案 x2 16 y2 9 1 解析由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线 C2上的一点 P，则|PF1| |PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3. 故曲线 C2的

13、标准方程为x 2 42 y2 321. 即x 2 16 y2 9 1. (2)(2016天津)已知双曲线x 2 4 y 2 b21(b0)， 以原点为圆心， 双曲线的实半轴长为半径长的圆与 双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程 为() A.x 2 4 3y 2 4 1B.x 2 4 4y 2 3 1 C.x 2 4 y 2 4 1D.x 2 4 y 2 121 答案D 解析由题意知双曲线的渐近线方程为 yb 2x，圆的方程为 x 2y24， 联立 x2y24， yb 2x， 解得 x 4 4b2， y 2b 4b2 或 x 4 4b2

14、， y 2b 4b2， 即第一象限的交点为 4 4b2， 2b 4b2. 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 8 4b2， 4b 4b2，故 84b 4b2 2b，得 b212. 故双曲线的方程为x 2 4 y 2 121.故选 D. 题型二题型二双曲线的几何性质双曲线的几何性质 典例 (1)已知 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF 1| |PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是() A. 2xy0Bx 2y0 Cx2y0D2xy0 答案A 解析由题意，不妨

15、设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2| 6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而 ca，所以有|PF2|0，b0) 中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kb a满足关系式 e 21k2. 跟踪训练 (2016全国)已知 F1，F2是双曲线 E：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 M 在 E 上， MF1与 x 轴垂直，sinMF2F11 3，则 E 的离心率为( ) A. 2B.3 2 C. 3D2 答案A 解析离心率 e |F1F2| |MF2|MF1|， 由正弦定理得 e |F1F2| |

16、MF2|MF1| sin F1MF2 sinMF1F2sinMF2F1 2 2 3 11 3 2. 故选 A. 题型三题型三直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的综合问题 典例 (2018福州模拟)已知直线 ykx1 和双曲线 x2y21 的右支交于不同两点， 则 k 的取 值范围是_ 答案(1， 2) 解析由直线 ykx1 和双曲线 x2y21 联立方程组，消 y 得(1k2)x22kx20， 因为该方程有两个不等且都大于 1 的根， 所以 1k20， 4k281k20， k 1k21， 1k22k21k20， 解得 1k0， 10 1k20， 16k2401k20， 解得 k 15 3 ，1

17、 . 故选 D. 答案D 纠错心得(1)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解 1(2018新余摸底)双曲线x 2 a2 y2 4a21(a0)的渐近线方程为( ) Ay2xBy1 2x Cy4xDy 2x 答案A 解析根据双曲线的渐近线方程知， y2a a x2x，故选 A. 2(2017山西省四校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，右焦点 F 到渐近线的距离为 2，点 F 到原点的距离为 3，则双曲线 C 的离心率 e 为() A. 5 3 B.3 5 5 C. 6 3 D

18、. 6 2 答案B 解析右焦点 F 到渐近线的距离为 2， F(c,0)到 yb ax 的距离为 2， 即 |bc| a2b22， 又 b0， c0，a2b2c2，bc c b2.点 F 到原点的距离为 3，c3， a c2b2 5，离心率 ec a 3 5 3 5 5 . 3(2017河南新乡二模)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴的一 个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若BA 2AF，且|BF|4，则双曲线 C 的方程 为() A.x 2 6 y 2 5 1B.x 2 8 y 2 121 C.x 2 8 y 2 4 1D

19、.x 2 4 y 2 6 1 答案D 解析不妨设 B(0，b)，由BA 2AF，F(c,0)， 可得 A 2c 3 ，b 3 ，代入双曲线 C 的方程可得4 9 c2 a2 1 91，即 4 9 a2b2 a2 10 9 ， b 2 a2 3 2. 又|BF | b2c24，c2a2b2， a22b216， 由可得，a24，b26， 双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 6 1，故选 D. 4(2017福建龙岩二模)已知离心率为 5 2 的双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别 为 F1，F2，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF2，O 为坐标原点

20、，若 2 OMF S 16，则双曲线的实轴长是() A32B16 C84D4 答案B 解析由题意知 F2(c,0)，不妨令点 M 在渐近线 yb ax 上，由题意可知|F 2M| bc a2b2b，所 以|OM| c2b2a.由 SOMF216，可得 1 2ab16，即 ab32，又 a 2b2c2，c a 5 2 ， 所以 a8，b4，c4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 5(2018开封模拟)已知 l 是双曲线 C：x 2 2 y 2 4 1 的一条渐近线，P 是 l 上的一点，F1，F2是 C 的两个焦点，若PF1 PF2 0，则 P 到 x 轴的距离为() A.2 3

21、 3 B. 2 C2D.2 6 3 答案C 解析由题意知 F1( 6，0)，F2( 6，0)，不妨设 l 的方程为 y 2x，则可设 P(x0， 2x0)由 PF1 PF2 ( 6x0， 2x0)( 6x0， 2x0)3x2060， 得 x0 2，故 P 到 x 轴的距离为 2|x0|2，故选 C. 6 (2018武汉调研)过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于 A，B 两点，若OAB 的面积为 13bc 3 ，则双曲线的离心率为() A. 5 2 B. 5 3 C. 13 2 D. 13 3 答案D 解析由题意可求得|AB|2bc a ，所以

22、 SOAB1 2 2bc a c 13bc 3 ，整理得c a 13 3 ，即 e 13 3 ， 故选 D. 7过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A. 若以 C 的右焦点为圆心、4 为半径的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的方程 为() A.x 2 4 y 2 121 B.x 2 7 y 2 9 1 C.x 2 8 y 2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 答案A 解析由 xa， yb ax， 得 xa， yb， A(a，b) 由题意知右焦点到原点的距离为 c4， a42b24，即(a4)2b

23、216. 而 a2b216，a2，b2 3. 双曲线 C 的方程为x 2 4 y 2 121. 8若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上存在一点 P 满足以|OP|为边长的正方形的面积等于 2ab(其 中 O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是() A. 1， 5 2B. 1， 7 2 C. 5 2 ， D. 7 2 ， 答案C 解析由条件，得|OP|22ab，又 P 为双曲线上一点，从而|OP|a，2aba2，2ba， 又c2a2b2a2a 2 4 5 4a 2，ec a 5 2 . 9(2016北京)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线为 2x

24、y0，一个焦点为( 5， 0)，则 a_；b_. 答案12 解析由 2xy0，得 y2x，所以b a2. 又 c 5，a2b2c2，解得 a1，b2. 10设动圆 C 与两圆 C1：(x 5)2y24，C2：(x 5)2y24 中的一个内切，另一个外切， 则动圆圆心 C 的轨迹方程为_ 答案 x2 4 y21 解析设圆 C 的圆心 C 的坐标为(x，y)，半径为 r，由题设知 r2， 于是有 |CC1|r2， |CC2|r2 或 |CC1|r2， |CC2|r2， |CC1|CC2|40，b0)的两条渐近线 分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_ 答案

25、 5 2 解析双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax. 由 yb ax， x3ym0， 得 A am 3ba， bm 3ba ， 由 yb ax， x3ym0 得 B am a3b， bm a3b ， 所以 AB 的中点 C 的坐标为 a2m 9b2a2， 3b2m 9b2a2. 设直线 l：x3ym0(m0)， 因为|PA|PB|，所以 PCl， 所以 kPC3，化简得 a24b2. 在双曲线中，c2a2b25 4a 2， 所以 ec a 5 2 . 12设双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角 三角形，则

26、|PF1|PF2|的取值范围是_ 答案(2 7，8) 解析如图， 由已知可得 a1，b 3，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设 P 在右支上， 设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形， 结合实际意义可知 m 需满足 m22m242， 42m22m2， 解得1 7m3，又|PF1|PF2|2m2， 2 72m28. 13(2017湖北黄冈二模)已知双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，双曲线的离心 率为 e，若双曲线上存在一点 P 使sinPF2F1 sinPF1F2e，则F 2P F2F1 - - - - - - - - 的值为( )

27、 A3B2 C3D2 答案B 解析由题意及正弦定理得sinPF2F1 sinPF1F2 |PF1| |PF2|e2， |PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，由余 弦定理可知 cosPF2F1|PF2| 2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| 41616 224 1 4， F2P F2F1 - - - - - - - - |F 2P | F2F1 - - - - - - - - |cosPF 2F1241 42.故选 B. 14(2017安徽安庆二模)已知 F1，F2为双曲线的焦点，过 F2作垂直于实轴的直线交双

28、曲线 于 A，B 两点，BF1交 y 轴于点 C，若 ACBF1，则双曲线的离心率为() A. 2B. 3 C2 2D2 3 答案B 解析不妨设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，由已知，取 A 点坐标为 c，b 2 a ，取 B 点坐 标为 c，b 2 a ，则 C 点坐标为 0，b 2 2a 且 F1(c,0)由 ACBF1知AC BF1 0，又AC c，3b 2 2a ，BF1 2c，b 2 a ，可得 2c23b 4 2a20，又 b 2c2a2，可得 3c410c2a23a4 0，则有 3e410e230，可得 e23 或1 3，又 e1，所以 e 3.故选 B.

29、15(2017福州质检)已知双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，|F1F2| 6， P 是 E 右支上的一点， PF1与 y 轴交于点 A， PAF2的内切圆与边 AF2的切点为 Q.若|AQ| 3，则 E 的离心率是() A2 3B. 5 C. 3D. 2 答案C 解析如图所示，设 PF1，PF2分别与PAF2的内切圆切于 M，N，依题意，有|MA|AQ|， |NP|MP|， |NF2|QF2|， |AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2 3， 故 a 3，从而 ec

30、a 3 3 3，故选 C. 16已知双曲线x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 P 在双曲线的右支上， 且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_ 答案 5 3 解析由定义，知|PF1|PF2|2a. 又|PF1|4|PF2|，|PF1|8 3a，|PF 2|2 3a. 当 P，F1，F2三点不共线时， 在PF1F2中，由余弦定理， 得 cosF1PF2|PF1| 2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 64 9 a24 9a 24c2 28 3a 2 3a 17 8 9 8e 2， 即 e217 9 8 9cosF 1PF2. cosF1PF2(1,1)，e 1，5 3 . 当 P，F1，F2三点共线时， |PF1|4|PF2|，ec a 5 3， 综上，e 的最大值为5 3.