（步步高 高中理科数学 教学资料）10.2排列与组合.docx

1、10.2排列与组合排列与组合 最新考纲考情考向分析 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用 公式解决一些简单的实际问题 2.理解组合的概念及组合数公式， 并能利用公 式解决一些简单的实际问题. 以理解和应用排列、组合的概念为主，常常 以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考 查分析、解决问题的能力，题型以选择、填 空为主，难度为中档. 1排列与组合的概念 名称定义 排列从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素 按照一定的顺序排成一列 组合合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素

2、的排列数，用 A m n表示 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C m n表示 3排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Amnn(n1)(n2)(nm1) n！ nm！ (2)CmnA m n Amm nn1n2nm1 m！ n！ m！nm！ 性质 (3)0！1；Annn！ (4)CmnCn m n；Cmn1CmnCm 1 n_ 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列() (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()

3、 (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同() (4)(n1)！n！nn！.() (5)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立() (6)kCknnCk 1 n1.() 题组二教材改编 2P27A 组 T76 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A144B120C72D24 答案D 解析“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为 A3443224. 3P19 例 4用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为() A8B24C48D120 答案C 解析末位数字排法有 A 1 2种

4、，其他位置排法有 A 3 4种， 共有 A12A3448(种)排法，所以偶数的个数为 48. 题组三易错自纠 4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 () A192 种B216 种 C240 种D288 种 答案B 解析第一类：甲在左端，有 A5554321120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A444432196(种)排法 所以共有 12096216(种)排法 5为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每 个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为() A180B240 C540D630 答案

5、C 解析依题意，选派方案分为三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有C 4 6C12C11 A22 A33 90(种)；一个国家派 3 名，一个国家派 2 名，一个国家派 1 名，有 C36C23C11A33360(种)； 每个国家各派 2 名，有C 2 6C24C22 A33 A3390(种)， 故不同的选派方案种数为 9036090540. 6寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 A，B，C，D， E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己 车票相符座位的坐法有_种(用数字作答) 答案45 解析设 5

6、名同学也用 A，B，C，D，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法， 设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC，BDAC，BCDA， CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票 相符座位的坐法有 9545(种). 题型一题型一排列问题排列问题 1某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 _条毕业留言(用数字作答) 答案1 560 解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数， 所以全 班共写了 A24040391 560(条)留

7、言 2用 1,2,3,4,5,6 组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数 1,3,5 有且只有两个相邻，则 不同的排法种数为() A18B108 C216D432 答案D 解析根据题意，分三步进行：第一步，先将 1,3,5 分成两组，共 C23A 2 2种排法；第二步，将 2,4,6 排成一排，共 A 3 3种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A 2 4种 排法综上，共有 C23A22A33A2432612432(种)排法，故选 D. 3将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、 丁两人必须相邻，则不同的排法共有() A1

8、 108 种B1 008 种 C960 种D504 种 答案B 解析将丙、丁两人进行捆绑，看成一人将 6 人全排列有 A22A 6 6种排法；将甲排在排头， 有 A22A 5 5种排法； 乙排在排尾， 有 A22A 5 5种排法； 甲排在排头， 乙排在排尾， 有 A22A 4 4种排法 则 甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有 A22A66A22A55A22A55 A22A441 008(种) 思维升华 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限

9、制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法. 题型二题型二组合问题组合问题 典例 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解(1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种

10、有 C234561(种)取法， 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 3 34种或者 C335C234C3345 984(种)取法 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C2152 100(种)取法 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C 2 15种，选取 3 种假货有 C 3 15种，共有选取方式 C120C215C3152 100 4552 555(种) 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2

11、 555 种 (5)方法一(间接法) 选取 3 种的总数为 C335，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 方法二(直接法) 共有选取方式 C320C220C115C120C2156 090(种) 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元 素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少

12、”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法 分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 跟踪训练 (1)在某校 2017 年举办的第 32 届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运 动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有 1 个不相同的选法种数 为() A30B36 C60D72 答案A 解析因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有 C24C 2 4种 其中甲、乙所选的项目完全相同的选法有 C 2 4种， 所以甲、乙所选的项目中至少有 1 个不相同的选法共有 C24C24C2430(种)故选 A. (2)(20

13、17武汉二模)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不 同的取法共有() A60 种B63 种 C65 种D66 种 答案D 解析共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为 偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不同的取法有 C45C44C25C2466(种) 题型三题型三排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用 命题点 1相邻、相间及特殊元素(位置)问题 典例 (1)(2018青岛模拟)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生， 2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生

14、甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种 数为_ 答案60 解析2 位男生不能连续出场的排法共有 N1A33A2472(种)，女生甲排第一个且 2 位男生 不连续出场的排法共有 N2A22A2312(种)，所以出场顺序的排法种数为 NN1N260. (2)(2017上饶一模)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子 的现象普遍存在某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备 使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不 考虑位置)， 其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车， 则乘坐甲车的 4 个孩子

15、恰有 2 个来自于同 一个家庭的乘坐方式共有() A18 种B24 种 C36 种D48 种 答案B 解析根据题意，分两种情况讨论： A 家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三 个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车， 有 C23C12C1212(种)乘坐方式； A 家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲 车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C13C12C12 12(种)乘坐方式， 故共有 121224(种)乘坐方式，故选 B. 命题点 2分

16、组与分配问题 典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生， 毕业后要分到相应的地区任教现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学 校去任教，有_种不同的分派方法 答案90 解析先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C 2 6C24C22 A33 15(种)方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学 校，有 A336(种)方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有C 2 6C24C22 A33 A3390(种)分派方法 (2)(2017广州调研)有 4 名优秀学生 A，B，C，D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校，每所学 校至少去一

17、名，则不同的保送方案共有_种 答案36 解析先把 4 名学生分为 2,1,1 共 3 组，有C 2 4C12C11 A22 6(种)分法，再将 3 组对应 3 个学校，有 A336(种)情况，则共有 6636(种)不同的保送方案 思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先 满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置) (2)分组、分配问题的求解策略 对不同元素的分配问题 a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后 一定要除以 Ann(n 为

18、均分的组数)，避免重复计数 b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等， 则分组时应除以 m！ ，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数 c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不 需要除以全排列数 对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法” 跟踪训练 (1)(2017全国)安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有() A12 种B18 种C24 种D36 种 答案D 解析由题意可知，其中 1 人必须完成 2 项工作，其他

19、 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式 为 C13C24A2236(种)，或列式为 C13C24C12343 2 236(种)故选 D. (2)(2017浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人 服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法(用数字作答) 答案660 解析方法一只有 1 名女生时，先选 1 名女生，有 C 1 2种方法；再选 3 名男生，有 C 3 6种方 法；然后排队长、副队长位置，有 A 2 4种方法由分步乘法计数原理知，共有 C12C36A24480(种) 选法 有 2 名女生时，再选 2 名

20、男生，有 C 2 6种方法；然后排队长、副队长位置，有 A 2 4种方法由 分步乘法计数原理知，共有 C26A24180(种)选法所以依据分类加法计数原理知，共有 480 180660(种)不同的选法 方法二不考虑限制条件，共有 A28C 2 6种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C 2 4种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660(种) (3)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不 同的摆法有_种 答案36 解析将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A22A 4

21、4种方法，将 产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A22A 3 3种方 法于是符合题意的摆法共有 A22A44A22A3336(种) 1从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lg alg b 的不 同值的个数是() A9B10 C18D20 答案C 解析由于 lg alg blg a b(a0，b0)， lg a b有多少个不同的值，只需看 a b不同值的个数 从 1,3,5,7,9 中任取两个作为a b，有 A 2 5种取法，又1 3与 3 9相同， 3 1与 9 3相同，lg alg b 的不同值

22、的个数为 A25218. 2(2017济南调研)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数 为() A33!B3(3！)3C(3！)4D9! 答案C 解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以有(3！)4种坐法 3某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车 位连在一起，那么不同的停放方法的种数为() A16B18C24D32 答案C 解析将 4 个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排 3 辆不同型号的车，在 3 个车位上任意 排列，有 A336(种)排法，再将捆绑在一起的 4 个车位插入 4 个空档中，有

23、4 种方法，故共有 4624(种)方法 4(2018昆明质检)互不相同的 5 盆菊花，其中 2 盆为白色，2 盆为黄色，1 盆为红色，先要 摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方 法() AA 5 5种BA 2 2种 CA24A 2 2种DC12C12A22A 2 2种 答案D 解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一 盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有 C12C12A22A 2 2种摆放方法 5有 A，B，C，D，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A，B 两位 学生去问成绩， 老师对 A 说： 你的

24、名次不知道， 但肯定没得第一名； 又对 B 说： 你是第三名 请 你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() A6B18 C20D24 答案B 解析由题意知，名次排列的种数为 C13A3318. 6(2016四川)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A24B48 C60D72 答案D 解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5.分为两步：先从 1,3,5 三个数中选 一个作为个位数有 C 1 3种选法，再将剩下的 4 个数字排列有 A 4 4种排法，则满足条件的五位数 有 C13A4472(个)故选 D. 7若把英语单词“good”的字母

25、顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种(用 数字作答) 答案11 解析把 g，o，o，d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A 2 4种排法； 第二步：排两个 o，共 1 种排法，所以总的排法种数为 A2412.其中正确的有一种，所以错误 的共有 A24112111(种) 8(2017福州质检)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分 配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答) 答案60 解析分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A 3 4种分法； 第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人相当于把

26、 3 张中奖奖券分两组再分给 4 人中的 2 人，共有 C23A 2 4种分法 总获奖情况共有 A34C23A2460(种) 9(2017豫南九校联考)某医院拟派 2 名内科医生，3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个 医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医 生和护士，则不同的分配方案有_种 答案36 解析2名内科医生的分法为A22， 3名外科医生与3名护士的分法为C23C13C13C23， 共有A22(C23C13 C13C23)36(种)不同的分法 10用数字 0,1,2,3,4 组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共

27、有 _个 答案240 解析由题意知本题是一个分步计数问题，从 1,2,3,4 四个数中选取一个有四种选法，接着从 这五个数中选取 3 个在中间三个位置排列，共有 A3560(个)，根据分步乘法计数原理知，有 604240(个) 11(2018郑州模拟)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目 的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_ 答案120 解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺 序有三种： “小品 1， 小品 2， 相声”， “小品 1， 相声， 小品 2”和“相声， 小品 1， 小品 2” 对 于第一种情况，形式为

28、“小品 1 歌舞 1 小品 2相声”，有 A22C13A2336(种)安排方法； 同理， 第三种情况也有 36 种安排方法， 对于第二种情况， 三个节目形成 4 个空， 其形式为“ 小品 1相声小品 2”，有 A22A3448(种)安排方法由分类加法计数原理知，共有 36 3648120(种)安排方法 12(2017衡水模拟)某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人， 且 A，B 不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法(用数字作答) 答案114 解析5 个人住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时

29、， 有 C35A3360(种)，A，B 住同一房间有 C13A3318(种)，故有 601842(种)，当为(2,2,1)时， 有C 2 5C23 A22 A3390(种)，A，B 住同一房间有 C23A3318(种)， 故有 901872(种)， 根据分类加法计数原理可知，共有 4272114(种) 13(2018合肥质检)7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队 列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为() A120B240 C360D480 答案C 解析前排 3 人有 4 个空，从甲、乙、丙 3 人中选 1 人插入，有

30、C14C 1 3种方法，对于后排，若 插入的 2 人不相邻，有 A 2 5种方法；若相邻，有 C15A 2 2种，故共有 C14C13(A25C15A22)360(种)， 故选 C. 14将标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有 _种放法 答案150 解析标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成 (3,1,1)和(2,2,1)两组，共有 C35C 2 5C23 A22 25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有 25A33 150(种)放法 15在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的

31、级别同时又为了方便接待，现为其中的五 个参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在 a，b，c 三家酒店中任选一家，且这三 家都至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有() A96 种B124 种 C130 种D150 种 答案D 解析这三家酒店入住的参会国数目有以下两种可能： 第一种，“2,2,1”，其安排方法有C 2 5C23C11A33 A22 90(种)； 第二种，“3,1,1”，其安排方法有C 3 5C12C11A33 A22 60(种)， 满足题意的安排方法共有 9060150(种)故选 D. 16(2017洛阳预测)设三位数 n abc ，若以 a，b，c 为三条边的长

32、可以构成一个等腰(含等 边)三角形，则这样的三位数 n 有多少个？ 解a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0，即 a，b，c1,2,3，9若构 成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n1，由于三位数中三个数字都相同，所以 n1C19 9；若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为 n2，由于三位数中只有 2 个不同 数字，设为 a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有 2C 2 9组，但当 大数为底时，设 ab，必须满足 ba2b，此时，不能构成三角形的数字是 a98765432 b4,3,2,14,3,2,13,2,13,2,11,21,211 共 20 种情况 同时， 每个数组(a， b)中的两个数字填上三个数位， 有 C 2 3种情况， 故 n2C23(2C29 20)156. 综上，nn1n2165.