课时作业(七十一)　离散型随机变量的均值与方差.DOC

1、课时作业(七十一)离散型随机变量的均值与方差 基础过关组 一、单项选择题 1已知离散型随机变量 X 的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的数学期望 E(X)() A3 2 B2 C5 2 D3 解析由数学期望公式可得 E(X)13 52 3 103 1 10 3 2。故选 A。 答案A 2某导弹发射一次的事故率为 0.001，若独立发射 10 次，记出事故的次数为，则 D()() A0.099 9B0.001 C0.01D0.009 99 解析由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了 10 次，所以可以认为是 10 次独立重复试验， 故B(10,0.001)，D()np

2、(1p)100.0010.9990.009 99。故选 D。 答案D 3随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)2，则 D(2X3)() X02a P 1 6 p 1 3 A2B3 C4D5 解析因为 p11 6 1 3 1 2，所以 E(X)0 1 62 1 2a 1 32，解得 a3，所以 D(X)(0 2)21 6(22) 21 2(32) 21 31，所以 D(2X3)2 2D(X)4。故选 C。 答案C 4同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X 的数学期望是 () A1B3 2 C2D5 2 解析因为一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币，

3、恰好出现 2 枚正面向上的概率为1 2 1 2 1 4，所以 XB 4，1 4 ，所以 E(X)41 41。故选 A。 答案A 5(2021宿州模拟)设 0p1，随机变量 X，Y 的分布列为 X123 Pp21ppp2 Y123 Pp31p2p2p3 当 X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为() A2B33 16 C55 27 D65 32 解析因为 E(X)p22(1p)3(pp2)2p2p22 p1 4 217 8 ，所以当 p1 4时，E(X) 取得最大值。此时 E(Y)2p3p2265 32。故选 D。 答案D 6一次试验田中某种作物一株生长果实的个数 x 服从正态分布 N(9

4、0，2)，且 P(x70)0.2，从 试验田中随机抽取 10 株，果实个数在90,110内的株数记作 X，且 X 服从二项分布，则 X 的方差为 () A3B2.1 C0.3D0.21 解析因为 xN(90，2)，且 P(x110)0.2，所以 P(90 x110)0.50.2 0.3，所以 XB(10,0.3)，X 的方差为 100.3(10.3)2.1。故选 B。 答案B 二、多项选择题 7(2021山东肥城模拟)已知离散型随机变量 X 的分布列为 X01234 Pq0.40.10.20.2 若离散型随机变量 Y 满足 Y2X1，则下列结果正确的是() Aq0.1 BE(X)2，D(X)1

5、.4 CE(X)2，D(X)1.8 DE(Y)5，D(Y)7.2 解析由离散型随机变量 X 的分布列的性质得 q10.40.10.20.20.1，E(X)00.1 10.420.130.240.22。D(X)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2 (42)20.21.8。因为离散型随机变量 Y 满足 Y2X1，所以 E(Y)2E(X)15，D(Y)4D(X) 7.2。故选 ACD。 答案ACD 8下列说法正确的是() A设随机变量 XB 6，1 2 ，则 P(X3) 5 16 B已知随机变量 XN(2，2)且 P(X4)0.9，则 P(0X2)0.4 C小赵、小钱、小

6、孙、小李到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A“4 个人去的景 点互不相同”，事件 B“小赵独自去一个景点”，则 P(A|B)2 9 DE(2X3)2E(X)3，D(2X3)2D(X)3 解析设随机变量 XB 6，1 2 ， 则 P(X3)C36 1 2 3 11 2 3 5 16， 故 A 正确； 因为 XN(2， 2)， 所以正态曲线的对称轴是直线 x2，因为 P(X4)P(X0)0.1，所以 P(0X4 000，所以该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准。 所以预测该农户在 2020 年底可以脱贫。 素养提升组 14 (多选)(2020全国新高考卷)信息熵是信息论中的一个重要概念。

7、设随机变量 X 所有可能的 取值为 1,2，n，且 P(Xi)pi0(i1,2，n)，错误错误!i1，定义 X 的信息熵 H(X)错误错误!ilog2pi。 () A若 n1，则 H(X)0 B若 n2，则 H(X)随着 p1的增大而增大 C若 pi1 n(i1,2，n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大 D若 n2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2，m，且 P(Yj)pjp2m1j(j1,2， m)，则 H(X)H(Y) 解析H(X)错误错误!ilog2pi，当 n1 时，p11，H(X)p1log2p10，故 A 正确。当 n2 时， 0pi1，log2pi0，p1p21，则 H

8、(X)p1log2p1(1p1)log2(1p1)。 解法一：令 f(p)plog2p(1p)log2(1p)，由 f(p)f(1p)知 f(p)的图象关于直线 p1 2对称， 则在(0,1)上总能找到两个不同的值，使得对应的 H(X)相等，故 B 错误。 解 法 二 ： 设f(p) plog2p (1 p)log2(1 p) ， 则f(p) log2pp 1 pln 2log 21p1p 1 1pln 2 log21p p ， 当 0p0； 当 p 1 2时， f(p)0，pj0，则 H(X) (p1log2p1p2log2p2p2mlog2p2m)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2

9、m)(p2p2m1)log2(p2p2m1) (pmpm1)log2(pmpm1)p1log2(p1p2m)p2log2(p2p2m1)p2mlog2(p2mp1)，则 H(X)H(Y)p1log2p1p2m p1 p2log2p2p2m1 p2 p2mlog2p2mp1 p2m p1log2 1p2m p1p2log2 1p2m 1 p2 p2mlog2 1 p1 p2m0，所以 H(X)H(Y)，故 D 错误。故选 AC。 答案AC 15(2021河南南阳一中等四校联考)湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湘楚文化发源地， 是国家首批历史文化名城。城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓

10、书院、马王堆汉墓等名 胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游。为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区 游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中1 3的人计划只游览岳麓山，另外 2 3的人计划既游览岳麓山 又参观马王堆。每位游客若只游览岳麓山，则记 1 分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记 2 分。 假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率。 (1)从游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的合计得分为 X，求 X 的分布列和数学期望。 (2)从游客中随机抽取 n 人(nN*)， 记这 n 人的合计得分恰为(n1)分的概率为 Pn， 求 P1P2 Pn。 (3

11、)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 n 分的概率为 an，随着抽取人数的无限 增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由。 解(1)依题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为1 3，记 1 分；计划参观马王堆的概率为 2 3， 记 2 分，则 X 的可能取值为 3,4,5,6。 P(X3) 1 3 3 1 27， P(X4)C132 3 1 3 22 9， P(X5)C23 2 3 21 3 4 9， P(X6) 2 3 3 8 27。 所以 X 的分布列为 X3456 P 1 27 2 9 4 9 8 27 E(X)3 1 274 2 95 4 96 8

12、275。 (2)因为这 n 人的合计得分为(n1)分，所以其中有且只有 1 人计划参观马王堆， 所以 PnC1n2 3 1 3 n12n 3n。 记 SnP1P2P3Pn2 3 4 32 6 33 2n 3n ， 则 1 3S n 2 32 4 33 2n1 3n 2n 3n 1。 两式相减，得 2 3S n2 3 2 32 2 33 2 3n 2n 3n 12 1 3 1 1 3n 11 3 2n 3n 112n3 3n 1 ， 所以 P1P2PnSn3 2 12n3 3n 1 。 (3)在随机抽取若干人的合计得分为(n1)分的基础上再抽取 1 人， 则这些人的合计得分可能为 n 分或(n1)分，记“合计得 n 分”为事件 A，“合计得(n1)分”为事件 B，则 A 与 B 互为对立事件。 因为 P(A)an，P(B)2 3a n1， 所以 an2 3a n11(n2)， 即 an3 5 2 3 an13 5 (n2)。 因为 a11 3，所以数列 an3 5 是首项为 4 15， 公比为2 3的等比数列，则 an3 5 4 15 2 3 n1，n1， 即 an3 5 4 15 2 3 n13 5 2 5 2 3 n。 因为 0| 2 3|1，则当 n时， 2 3 n0， 从而 an3 5， 所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数3 5。