1、4.5函数的应用(二) 4.5.1函数的零点与方程的解 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 课程标准核心素养 1结合学过的函数图象，了 解函数零点与方程解的关系 2结合具体连续函数及其图 象的特点，了解函数零点存在 定理. 通过对函数的零点与方程的解 的学习，提升“数学抽象”、 “逻辑推理”、“数学运算” 的核心素养. 栏目索引栏目索引 课前自主预习课前自主预习 课堂互动探究课堂互动探究 随堂本课小结随堂本课小结 课前自主预习课前自主预习 1对于函数yf(x)，把使_的实数_叫做函 数yf(x)的零点 2函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)0有实数解函数yf(x)有 _函数
2、yf(x)的图象与_有公共交点 f(x)0 知识点知识点1函数的零点函数的零点 x 零点x轴 微思考微思考 函数的零点是函数与x轴的交点吗？ 提示 不是函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标 2二次函数yax2bxc中，ac0得二次函数yax2bxc有两个零点 答案两 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 _，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点， 即存在c(a，b)，使得_. 这个c也就是方程f(x)0的解 微思考微思考 该定理具备哪些条件？ 提示 定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的 一条曲线；f(a
3、)f(b)0. 知识点知识点2函数零点存在性定理函数零点存在性定理 f(a)f(b)0 f(c)0 微体验微体验 1思考辨析 (1)在闭区间a，b上连续的曲线yf(x)，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区 间(a，b)内仅有一个零点() (2)在闭区间a，b上连续的曲线yf(x)，若f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区 间(a，b)内没有一个零点() 答案(1)(2) 2函数f(x)3x4的零点所在区间为() A(0,1)B(1,0) C(2,3)D(1,2) 解析由f(1)3410得f(x)的零点所在区间为 (1,2) 答案D 课堂互动探究课堂互动探究 探究一求函数的零点探究一求
4、函数的零点 方法总结方法总结 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)0的实数根； (2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标 即为函数的零点 探究二判断函数零点所在区间问题探究二判断函数零点所在区间问题 (2)若x0是方程exx2的解，则x0属于区间() A(2，1)B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析构造函数f(x)exx2，由f(0)1，f(1)e10，显然函数f(x) 是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以 方程exx2的解在区间(0,1)上 答案C 方法总结方法总结 1确定函数零点所在区间的方法 确定函数的
5、零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转 化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反 2判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值 (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断 (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点， 若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点 例3 判断函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数 解方法一：f(0)10210， f(x)在(0,2)上必定存在零点 又f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数， 故f(x)有且只有一个零点 探究三函数零点的个数探究三函数零点的个数 方法二：在同一坐
6、标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1) 的草图，如图所示由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x) 22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1) 2有且只有一个零点 变式探究将本例中函数解析式改为f(x)x3ln x 呢？ 方法总结方法总结 判断函数零点个数的方法 方法一：直接求出函数的零点进行判断； 方法二：结合函数图象进行判断； 方法三：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a，b上的图象是一 条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0，则函数f(x)在区 间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示 1方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x) g(x)的图象与x轴交点的横坐标 2在函数零点存在性定理中，要注意三点 (1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点 3解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种 (1)用定理；(2)解方程；(3)用图象 4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同 样，函数问题有时化为方程问题求解，这正是函数与方程思想的基础 随堂本课小结随堂本课小结 本课结束 更多精彩内容请登录：
