§5.3　第1课时　诱导公式(一).docx

1、5.3诱导公式诱导公式 第第 1 课时课时诱导公式诱导公式(一一) 学习目标1.理解诱导公式二四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结 构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简 导语 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一 可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求 0360角的三角函数值，对于 90360角的三 角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要解决的内容 一、诱导公式二四 问题 1请同学们写出公式一 提示sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan

2、，其中 kZ. 问题 2观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？ 提示三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值 相等由图象可知，点 P1与 P2关于原点对称，点 P1与 P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相 反数，以 OP2为终边的角可以表示成：()2k，kZ. 问题 3知道了终边与单位圆的交点坐标， 你能根据三角函数的定义探究角与角的三角 函数值之间的关系吗？ 提示设 P1(x，y)，则 P2(x，y)，根据三角函数的定义可知，ysin ，xcos ，y xtan (x0)，sin()y，cos()x，tan()y x.显然，我们可以根据相同的方法找 出点 P

3、1关于 x 轴和 y 轴的对称点，大家试一试吧 知识梳理 1公式二 sin()sin ， cos()cos ， tan()tan . 2公式三 sin()sin ， cos()cos ， tan()tan . 3公式四 sin()sin ， cos()cos ， tan()tan . 注意点：(1)函数名称不变；(2)运用公式时把“看成”锐角；(3)诱导公式中角可以是任意 角，要注意正切函数中要求k 2，kZ. 二、给角求值 例 1利用公式求下列三角函数值： (1)cos(480)sin 210； (2)sin 8 3 cos 23 6 tan 37 6 . 解(1)原式cos 480sin(

4、18030) cos(360120)sin 30 cos 1201 2 cos(18060)1 2 cos 601 2 1 2 1 21. (2)原式sin 44 3 cos 4 6 tan 6 6 sin 4 3 cos 6 tan 6 sin 3 cos 6tan 6 sin 3cos 6tan 6 3 2 3 2 3 3 3 4 . 反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”用公式一或三来转化 (2)“大化小”用公式一将角化为 0到 360间的角 (3)“小化锐”用公式二或四将大于 90的角转化为锐角 (4)“锐求值”得到锐角三角函数后求值 跟踪训练 1sin 5 6

5、 tan 7 4 cos 2 3 . 答案0 解析原式sin 6 tan 2 4 cos 2 3 sin 6tan 4 cos 3 sin 6tan 4cos 3 1 21 1 20. 三、给值(式)求值 例 2已知 cos 6 3 3 ，则 cos 5 6 . 答案 3 3 解析cos 5 6 cos 6 cos 6 3 3 . 延伸探究 1若本例中的条件不变，如何求 cos 13 6？ 解cos 13 6cos 13 6 cos 2 6 cos 6 3 3 . 2若本例中的条件不变，求 cos 5 6 sin2 6 的值 解因为 cos 5 6 cos 6 cos 6 3 3 ， sin2

6、 6 sin2 6 1cos2 6 1 3 3 22 3， 所以 cos 5 6 sin2 6 3 3 2 3 2 3 3 . 反思感悟解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的 差异及联系 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化 跟踪训练 2(1)已知 sin()4 5，且是第四象限角，则 cos(2)的值是( ) A3 5 B.3 5 C3 5 D.4 5 答案B 解析由 sin()4 5，得 sin 4 5， 因为 cos(2)cos ，且是第四象限角， 所以 cos 1sin23 5. (

7、2)已知 sin 3 1 3，且 0， 2 ，则 cos 2 3 . 答案2 2 3 解析cos 2 3 cos 3 cos 3 ， 0， 2 ， 3 3， 6 ， cos 3 0， 即 cos 3 1sin2 3 2 2 3 ， cos 2 3 2 2 3 . 四、利用公式进行化简 例 3化简：(1)costan7 sin ； (2) sin1 440cos1 080 cos180sin180. 解(1)原式cos tan sin cos tan sin sin sin 1. (2)原式sin4360cos3360 cos180sin180 sin cos cos sin cos cos 1

8、. 反思感悟三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数 (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数 (3)注意“1”的代换：1sin2cos2tan 4. 跟踪训练 3tan(5)m，则sin3cos sincos 的值为() A.m1 m1 B.m1 m1 C1D1 答案A 解析因为 tan(5)tan m， 所以原式sincos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan 1 tan 1 m1 m1. 1知识清单： (1)特殊关系角的终边对称性 (2)诱导公式二四 2方法归纳：数形结合、公

9、式法 3常见误区：符号的确定 1sin 2 022等于() Asin 42Bsin 42 Csin 48Dsin 48 答案B 2log2 cos 7 4 的值为() A1B1 2 C.1 2 D. 2 2 答案B 3已知 sin()3 5，且是第四象限角，那么 cos()的值是( ) A.4 5 B4 5 C4 5 D.3 5 答案B 解析因为 sin()sin 3 5， 所以 sin 3 5. 又是第四象限角， 所以 cos 4 5， 所以 cos()cos()cos 4 5. 4化简： cos5 sin3tan() . 答案1 解析原式 cos sintan cos sin tan 1.

10、 课时对点练课时对点练 1sin 1 290等于() A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 答案B 解析sin 1 290sin(3360210)sin 210sin(18030)sin 301 2. 2tan 240等于() A. 3 3 B 3 3 C. 3D 3 答案C 解析tan 240tan(18060)tan 60 3. 3cos 20 3的值是() A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 答案B 解析cos 20 3cos 62 3 cos 2 3 cos 2 3 cos 3 cos 3 1 2. 4若 cos()1 2，则 cos(2)的值为( ) A.1 2

11、 B 3 2 C1 2 D1 2 答案A 解析cos()cos 1 2， cos 1 2，cos(2)cos()cos 1 2. 5化简 sin2()cos()cos()1 的结果为() A1B2sin2C0D2 答案D 解析原式sin2cos212. 6(多选)已知 sin()1 3，则 cos(2 022)的值为( ) A.2 2 3 B2 2 3 C.1 3 D1 3 答案AB 解析sin()1 3，sin 1 3， cos(2 022)cos 1sin22 2 3 . 7化简：cos3 sin tan(2). 答案1 解析原式cos sintan() cos sin (tan ) co

12、s sin tan 1. 8已知 sin(45) 5 13，则 sin(135) . 答案 5 13 解析sin(135)sin 180(45) sin(45) 5 13. 9求值：tan 150cos210sin420 sin 1 050cos600 . 解原式tan18030cos 210sin 420 sin336030cos 600 tan 30cos18030sin 60 sin 30cos318060 tan 30cos 30sin 60 sin 30cos 60 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 3. 10化简：(1)sin540cos tan180 ； (2)sin2co

13、s costan . 解(1)sin540cos tan180 sin180cos tan sin cos tan cos2. (2)sin2cos costan sin cos cos tan cos . 11已知 cos 3 5，则 sin(3)cos(2)tan()等于( ) A3 5 B4 5 C. 9 25 D.16 25 答案D 解析原式sin()cos()tan() (sin )cos (tan )sin2， 由 cos 3 5，得 sin 21cos216 25. 12已知 tan 31 3，则 tan 2 3 等于() A.1 3 B1 3 C.2 3 3 D2 3 3 答案

14、B 解析因为 tan 2 3 tan 3 tan 3，又 tan 31 3， 所以 tan 2 3 1 3. 13若 sin(110)a，则 tan 70等于() A. a 1a2 B a 1a2 C. a 1a2 D a 1a2 答案B 解析sin(110)sin 110sin(18070) sin 70a， sin 70a， cos 70 1a2 1a2， tan 70sin 70 cos 70 a 1a2. 14化简： 12sin6cos6. 答案cos 6sin 6 解析原式 12sin 6cos 6 cos 6sin 62|cos 6sin 6|. 因为3 2 60，sin 60，

15、所以原式cos 6sin 6. 15已知为第四象限角，化简 1sin 1sin 1sin2 1sin . 答案 2 cos 解析依题意知为第四象限角，所以 1sin 1sin 1sin2 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 2 1sin 1sin 1sin 2 1sin 1sin |1sin | |cos | |1sin | |cos | 1sin 1sin cos 2 cos . 16已知 f()sincos2tan tansin . (1)化简 f()； (2)若是第三象限角，且 sin()1 5，求 f()的值； (3)若31 3 ，求 f()的值 解(1)f()sin cos tan tan sin cos . (2)sin()sin 1 5， sin 1 5.又是第三象限角， cos 2 6 5 .f()2 6 5 . (3)31 3 625 3 ， f 31 3cos 625 3 cos 5 3 cos 3 1 2.