§5.3　第2课时　诱导公式(二).docx

1、第第 2 课时课时诱导公式诱导公式(二二) 学习目标1.理解公式五、六的推导过程并识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵及结构特 征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简 导语 回顾前面的学习，我们利用单位圆定义了三角函数，利用单位圆推出了一组神奇的公式，利 用它可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它 就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里 航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘 一、公式五、六 问题 1回顾上节课我们推导公式二的过程 提示利用了单位圆的对称性，作了点 P1关于

2、原点对称的点 问题 2观察下图，我们作了点 P1关于直线 yx 的对称点 P5，你能发现这两点有什么关系 吗？ 提示如图，过点 P1向 x 轴作垂线，垂足为 A，过点 P5向 y 轴作垂线，垂足为 B，由图象的 对称性可知，AOP1BOP5，故 OP5为 2的终边，以 OP 5为终边的角可以表示为 2k 2(kZ)，在 RtAOP1和 RtBOP5中，OP1OP5，故AOP1BOP5，即 P1的横坐标与 P5的纵坐标相同，P1的纵坐标与 P5的横坐标相同，若点 P1的坐标为(x，y)， 则点 P5的坐标为(y，x)，(同学们还记得我们当初学习对数函数时，提到过反函数是关于 yx 对称的，定义域

3、和值域相反，是不是和此处有相似之处)现在我们知道了两角的终边与单位圆 的交点， 根据三角函数的定义， 于是我们可以得到 sin y， cos x； cos 2y， sin 2 x.大家自己动手， 如果我们作 P5关于 y 轴的对称点 P6， 此时它和 P1， P5这两点有什么关系？ 知识梳理 1公式五 sin 2cos ， cos 2sin . 2公式六 sin 2cos ， cos 2sin . 注意点： (1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化；(2)运用公式时，把“看成锐角”；(3) 符号的变化要看把看成锐角时所在的象限 二、化简求值 例 1(教材 193 页例 4 改编)已知

4、f()sin 2 cos 3 2 tancos 2 sin2tansin ，化简 f() 解由题意得 f()sin 2sin tan sin sintan sin cos sin tan sin sin tan sin cos ， 故 f()cos . 反思感悟利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求 解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用 (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转 化，特别要注意角的范围 (3)常见的互余的角： 3与 6， 4与 4等，常见的互补

5、的角： 6与 5 6 ， 3与 2 3 ， 4与 3 4 等 跟踪训练 1化简： sin5cos 2cos8 sin 3 2 sin4 等于() Asin Bsin Ccos Dcos 答案A 解析原式sincos 2cos cos sin sin sin cos cos sin sin . 三、诱导公式的综合应用 例 2(1)已知 cos 31m，则 sin 239tan 149的值是() A.1m 2 m B. 1m2 C1m 2 m D 1m2 答案B 解析sin 239tan 149sin(18059)tan(18031) sin 59(tan 31) sin(9031)(tan 31

6、) cos 31(tan 31)sin 31 1cos231 1m2. (2)(教材 193 页例 5 改编)已知 sin 31 2，则 cos 6的值为_ 答案 1 2 解析cos 6cos 2 3 sin 31 2. 延伸探究 1将本例(2)的条件改为 sin 31 2，求 cos 5 6 的值 解cos 5 6 cos 2 3 sin 31 2. 2将本例(2)增加条件“是第三象限角”，求 sin 7 6 的值 解因为是第三象限角，所以是第二象限角， 又 sin 31 2， 所以 3是第二象限角， 所以 cos 3 3 2 ， 所以 sin 7 6 sin 6 sin 6cos 3 3

7、2 . 反思感悟诱导公式综合应用要“三看” 一看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系 二看函数名称：一般是弦切互化 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形， 平方和差、立方和差公式 跟踪训练 2(1)已知 cos 6 3 5，求 sin 2 3 的值 解2 3 6 2， sin 2 3 sin 6 2cos 6 3 5. (2)已知 cos 62 3，求下列各式的值： sin 3；sin 2 3 . 解sin 3sin 2 6 cos 62 3. sin 2 3 sin 2 6 sin 2 6 cos 62 3. 1知识清单：利

8、用诱导公式进行化简、求值与证明 2方法归纳：公式法、角的构造 3常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造 1已知 sin 5 13，则 cos 2等于() A. 5 13 B.12 13 C 5 13 D12 13 答案C 解析cos 2sin 5 13. 2已知 sin 5 2 1 3，则 cos 2 等于() A1 3 B2 2 3 C.2 2 3 D2 2 3 答案D 解析sin 5 2 cos 1 3，而 cos 2 sin 2 2 3 . 3已知 sin 3 4 1 3，则 cos 4的值等于() A.2 2 3 B2 2 3 C.1 3 D1 3 答案D 解析sin 3 4

9、 sin 3 4 sin 2 4 cos 4 1 3， cos 41 3. 4化简： cos6sin2tan2 cos 3 2 sin 3 2 _. 答案tan 解析原式 cos sintan cos 2sin 2 cos sin tan cos 2 sin 2 cos sin tan sin cos tan . 课时对点练课时对点练 1已知 sin 25.3a，则 cos 64.7等于() AaBaCa2D. 1a2 答案A 解析cos 64.7cos(9025.3)sin 25.3a. 2已知 sin()1 3，则 cos 3 2 等于() A1 3 B.1 3 C 3 3 D. 3 3

10、答案B 解析sin()sin 1 3， cos 3 2 sin 1 3. 3若 sin 83 4，则 cos 3 8 等于() A3 4 B.3 4 C 7 4 D. 7 4 答案B 解析因为 8 3 8 2， 所以 3 8 2 8， 所以 cos 3 8 cos 2 8 sin 83 4. 4若 sin 20，则是() A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 答案C 解析sin 2cos 0， sin 0， 角是第三象限角 5已知 cos 2 3 2 ，且| 2，则 tan 等于( ) A 3 3 B 3C. 3 3 D. 3 答案B 解析cos 2sin 3 2 ， sin 3

11、 2 0， | 2， 20 且 a1)的图象恒过定点 A，且点 A 在角的终边上，则 cos 7 2 等于() A3 5 B.3 5 C4 5 D.4 5 答案C 解析令 x41，所以 x3，所以函数 yloga(x4)4 的图象过定点(3,4)因为点 A 在角的终边上，所以 sin 4 3242 4 5，即 cos 7 2 sin 4 5. 13已知 sin(x)sin(x)，则可能是() A0B. 2 CD2 答案B 解析对于 A，当0 时，左边sin x，右边sin(x)sin x，不满足条件； 对于 B，当 2时，左边sin x 2 cos x，右边sin x 2 cos x，满足条件

12、； 对于 C，当时，左边sin(x)sin x，右边sin(x)sin x，不满足条件； 对于 D，当2时，左边sin(x2)sin x，右边sin(x2)sin x，不满足条件 14已知 sin 6 3 3 ，则 cos 10 3 的值是_ 答案 3 3 解析10 3 3 3， cos 10 3 cos 3 3 cos 3. 又 6 3 2， cos 10 3 cos 2 6 sin 6 3 3 . 15(多选)定义：角与都是任意角，若满足 2，则称与“广义互余”已知 sin( )1 4，下列角中，可能与角“广义互余”的是( ) Asin 15 4 Bcos()1 4 Ctan 15Dtan

13、 15 5 答案AC 解析sin()sin 1 4， sin 1 4，cos 15 4 ， 若 2，则 2. 对于 A，sin sin 2cos 可能成立，角可能与角“广义互余”，故 A 符合条件； 对于 B，cos()cos 2sin 1 4，故 B 不符合条件； 对于 C，tan 15，即 sin 15cos ，又 sin2cos21，故 sin 15 4 ，故 C 符合条 件； 对于 D，tan 15 5 ，即 sin 15 5 cos ，又 sin2cos21，故 sin 6 4 ，故 D 不符合条 件 16已知 sin 是方程 5x27x60 的根，且为第三象限角，求： sin 3 2 sin 3 2 tan22tan cos 2cos 2 的值 解因为 5x27x60 的两根为 x2(舍)或 x3 5， 所以 sin 3 5， 又因为为第三象限角， 所以 cos 1sin24 5. 所以 tan 3 4. 故原式cos cos tan 2tan sin sin tan 3 4.