讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第二章 §2.1 2.1.1　倾斜角与斜率.pptx

1、2.1.1倾斜角与斜率 第二章2.1直线的倾斜角与斜率 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 学 习 目 标 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度， 如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离 为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)， 则坡度k 若k0，则表示上坡，若k0，则表示下坡， 为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度” 是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、直线

2、的倾斜角 二、直线的斜率 三、倾斜角和斜率的应用 内容索引 一、直线的倾斜角 问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上 的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之 间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的 倾斜角为 . 注意点：注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴 绕直线l与x轴的

3、交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)直线的倾斜角的取值范围为0180. 正向 0 知识梳理 例1(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为30 C.倾斜角为0的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为，则sin (0,1) 解析任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为 0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当0时，sin 0；当90时，sin 1，故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，

4、如果将l绕坐标原点按逆 时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.45 B.135 C.135 D.45 解析根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0135，l1的倾斜角为45； 当135180时，l1的倾斜角为45180135. 反思感悟直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形， 找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 跟踪训练1(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l 的倾斜角为 . 解析有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为 60，即直线l的倾斜角为6

5、0. 60或120 如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l的倾斜角 为120. (2)已知直线l1的倾斜角115，直线l1与l2的交点为A， 直线l1和l2向上的方向所成的角为120，如图，则直 线l2的倾斜角为 . 解析设直线l2的倾斜角为2，l1和l2向上的方向所成的角为120， 所以BAC120， 所以21201135. 135 二、直线的斜率 问题3在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1x2，那么与 P1，P2的坐标有什么关系？ 1.把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，斜率常用

6、小写字 母k表示，即k . 2.直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量 的坐标为(x，y)，则k . 正切值 tan 知识梳理 注意点：注意点： (1)当x1x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. (4)若直线与x轴平行或重合，则k0. 例2(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率， 并确定直线的倾斜角. A(2,3)，B(4,5)； 则直线AB的倾斜角满足tan 1， 又0180， 所以倾斜角45. C(2,3)，D(2，

7、1)； 则直线CD的倾斜角满足tan 1， 又0180， 所以倾斜角135. P(3,1)，Q(3,10). 解不存在.因为xPxQ3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角90. (2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率. 解当a3时，斜率不存在； 反思感悟求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为，且90，则ktan . 跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为 . (2)若过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 . 1 解析设直线l的斜率为k， 三、倾斜角和斜率的应用 问题4当直线的倾斜角由0逐渐增大到180，其斜率如何变化？为

8、 什么？ 提示当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而 增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而 增大. 的大小009090900k0 知识梳理 增大增大 例3已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11， ). (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 解由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的 倾斜角是45，PA的倾斜角是135， 所以的取值范围是45135. 反思感悟倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜

9、率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 跟踪训练3已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合思想. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 1.(多选)下列说法正确的是 A.若是直线l的倾斜角，则0180 B.若k是直线的斜率

10、，则kR C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 1234 2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于 A.2 B.1 C.1 D.2 1234 3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，2)的直线的斜率为2，则m的值为 1234 4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是 . (其中m1) 090 1234 解析当m1时，倾斜角90； 090.故090. 课时对点练 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，1)与(2，1) D

11、.(2,2)与(2,5) 解析D项，因为x1x22， 所以直线垂直于x轴，倾斜角为90，斜率不存在. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 则直线的倾斜角可以为 A.30 B.60 C.120 D.150 12345678910 11 12 13 14 15 16 故直线的倾斜角为60或120. A.60 B.30 C.120 D.150 12345678910 11 12 13 14 15 16 30. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，

12、则 A.k1k3k2 B.k3k1k2 C.k1k2k3 D.k3k2k1 解析设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3， 则由图知032901180， 所以tan 10，tan 2tan 30， 即k10，k2k30. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 解析如图所示，当直线l在l1的位置时，ktan 00； 12345678910 11 12 13 14 15 16 故直线l的斜率的取值范围是0,2. 7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135， 则点P的坐

13、标为 . (3,0)或(0,3) 解析由题意知，kP A1， 若点P在x轴上，设点P的坐标为P(m,0)(m1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得m3，即P(3,0). 若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)， 解得n3，即P(0,3).综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3). 8.若经过点A(1t,1t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取 值范围是 . (2,1) 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为直线的倾斜角为钝角， 解得2t0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得1m1.

14、 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴 上，已知BOD60，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾 斜角和斜率. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解在菱形OBCD中，ODBC，BOD60， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为CDOB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0， 所以kOBkCD0， 由菱形的性质，知COB30，OBD60， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30，120， 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿

15、y轴正方向平移2个单 位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.2 B.1 C.1 D.2 解析设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A (a2，b2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.已知点A(2,3)，B(3，2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有 交点，则直线l的斜率k的取值范围是 12345678910 11 12 13 14 15 16 直线l与线段AB始终没有交点， (，11，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一 象限，AOy15，则斜边AB所在直线的斜率为 . 解析设直线AB与x轴的交点为C，(图略) 则ACO180AAOC1804510530， 或ACO180AAOC180457560. 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.直线l的方向向量为(1,2)，直线l的倾斜角为，则tan 2的值是 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析直线l的方向向量为m(1,2)， 直线l的斜率等于2， 因为点M在函数x2y6的图象上，且1x3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：