《高考调研》2022版一轮总复习 数学（新高考） 新课标版作业58.doc

1、题组层级快练题组层级快练(五十八五十八) 一、单项选择题 1双曲线 x2 36m2 y2 m21(0m0)的离心率为 2，则 a() A2B. 6 2 C. 5 2 D1 答案D 解析因为双曲线的方程为x 2 a2 y2 3 1，所以 e21 3 a24，因此 a 21，所以 a1.选 D. 4(2021浙江省山水联盟模拟)已知双曲线 x2y 2 b21(b0)，其虚轴长为 2，则双曲线的离心 率是() A. 2B. 5 C3D. 5 2 答案A 解析由题可知，a1，因为虚轴长为 2，所以 b1， 所以 c2a2b2112，得 c 2，所以离心率 ec a 2.故选 A. 5(2021通州区高

2、三摸底) 如图是一座等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面 5 m，水面宽度 AB30 m若水面下降 5 m， 则水面宽度是(结果精确到 0.1 m)(参考数值： 21.41， 52.24， 72.65)() A43.8 mB44.8 m C52.3 mD53.0 m 答案B 解析 如图建系拱桥为等轴双曲线形，设其方程为 y2x2a2，C(0，a) |AB|30，|CD|5，B(15，a5)将 B(15，a5)代入方程 y2x2a2得(a5)2 152a2，解得 a20.曲线方程为 y2x2400.当水面下降 5 m 时，yNa55 30，代入方程 y2x2400，得 xN10 5.|MN|2xN20

3、 544.8.故水面宽度约为 44.8 m故选 B. 6(2021深圳市高三年级第二次调研考试)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点分别 为 F1(5，0)，F2(5，0)，P 为 C 上一点，PF1PF2，tanPF1F23 4，则 C 的方程为( ) Ax2y 2 241 B.x 2 24y 21 C.x 2 9 y 2 161 D.x 2 16 y2 9 1 答案A 解析因为 PF1PF2，tanPF1F23 4，|F 1F2|10，所以可得|PF1|8，|PF2|6， 根据双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a2，即 a1，所以 b2c2a225124， 所以

4、 C 的方程为 x2y 2 241.故选 A. 7已知 F1，F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1| |PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 6 ，则双曲线的渐近线方程为() Ay2xBy1 2x Cy 2 2 xDy 2x 答案D 解析不妨设 P 为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又 |PF1|PF2|6a， 所以|PF1|4a， |PF2|2a.又因为 2c2a， 4a2a，所以PF 1F2为最小内角， 故PF1F2 6 .由余弦定理，可得（4a） 2（2c）2（2a）2 2

5、4a2c 3 2 ，化简得 c23a2，所以 b2c2a2 2a2，则b a 2，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x. 8(2018课标全国)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为() A. 2 B2 C.3 2 2 D2 2 答案D 解析方法一：由离心率 ec a 2，得 c 2a，又 b 2c2a2，得 ba，所以双曲线 C 的 渐近线方程为 yx.由点到直线的距离公式， 得点(4， 0)到 C 的渐近线的距离为 4 112 2. 故选 D. 方法二：离心率为 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 yx，由点到直

6、线的距 离公式得，点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 4 112 2.故选 D. 9(2021哈尔滨第一中学高三 6 月模拟)已知点 P 为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)右支上一点， 点 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒 有 SIPF1SIPF2 2 2 SIF1F2成立，则双曲线的离心率的取值范围是() A(1， 2)B 2，) C(1， 2D( 2，) 答案B 解析设PF1F2的内切圆半径为 r， 则 SIPF11 2|PF 1|r，SIPF21 2|PF 2|r，SIF1F21 2|F 1F2|r， 因为 SIP

7、F1SIPF2 2 2 SIF1F2，所以|PF1|PF2| 2 2 |F1F2|， 由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，所以 2a 2c，即c a 2.故选 B. 10.(2021福建福州联考)如图，双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，过 F2作直线与 C 的渐近线交于 P 点，若等腰 PF1F2的底边 PF2的长等于 C 的半焦距，则 C 的离心率为() A.2 3 3 B.2 3 C.2 6 3 D.3 2 答案C 解析依题意， 得 kOPb a c2a2 a2 e21， 在等腰PF1F2中， cosPF2F1 |

8、PF2| 2 |F1F2| c 2 2c 1 4，所以|OP| 2c2c22c2cosPF2F13 2c 2，所以|OP| 6 2 c，所以 cosF2OP |OP| 2 |OF2| 6 4 ， 所以 tanF2OP 15 3 ，所以 e21 15 3 ，解得 e2 6 3 ，故选 C. 二、多项选择题 11已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2x21 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点， 且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则() A双曲线 C 的渐近线方程为 yx B以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21 C点 P 的横坐标为1 DPF1F2的面积为 2 答案ACD 解析本

9、题考查双曲线的几何性质等轴双曲线 C：y2x21 的渐近线方程为 yx，故 A 正确由双曲线的方程可知|F1F2|2 2，所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y22，故 B 错误点 P(x0，y0)在圆 x2y22 上，不妨设点 P(x0，y0)在直线 yx 上， 所以 x02y022， y0 x0， 解得|x0|1，则点 P 的横坐标为1，故 C 正确由上述分析可得PF1F2的面积为1 22 2 1 2，故 D 正确故选 ACD. 12 已知中心在原点， 对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x2)2y21 都相切， 则双曲线 C 的离心率可能是() A2B. 3 C. 6 2

10、D.2 3 3 答案AD 解析本题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的性质设双曲线 C 的渐近线方程为 y kx，该双曲线的渐近线是圆的切线， |2k| k211，解得 k 3 3 ，则双曲线的一条渐近 线的方程为 y 3 3 x. 当双曲线的焦点在 x 轴上时，有b a 3 3 ，离心率 ec a 1 3 3 2 2 3 3 ； 当双曲线的焦点在 y 轴上时，有a b 3 3 ，离心率 ec a 1（ 3） 22. 双曲线 C 的离心率为 2 或2 3 3 .故选 AD. 13(2021山东淄博部分学校二模)已知点 P 在双曲线 C：x 2 16 y2 9 1 上，F1，F2是双曲线 C 的

11、左、右焦点若PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有() A点 P 到 x 轴的距离为20 3 B|PF1|PF2|50 3 CPF1F2为钝角三角形 DF1PF2 3 答案BC 解析因为双曲线 C： x2 16 y2 9 1， 所以 c 1695.又因为 SPF1F21 22c|y P|1 210|y P| 20，所以|yP|4，故 A 错误； 将|yP|4 代入 C：x 2 16 y2 9 1 得|xP|20 3 .由双曲线的对称性，不妨设 P 的坐标为 20 3 ，4 ，可 知|PF2| 20 3 5 2 4213 3 .由双曲线定义可知|PF1|PF2|2a13 3 837 3 ，

12、所以|PF1| |PF2|37 3 13 3 50 3 ，故 B 正确； 由双曲线的对称性，取 P 20 3 ，4 ，在PF1F2中，|PF1|37 3 2c10|PF2|13 3 ，且 cosPF2F1 |PF2| 2|F1F2|2|PF1|2 2|PF2|F1F2| 5 130，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线 的距离为 3，则双曲线 C 的焦距为_ 答案4 思路利用双曲线的性质及条件列 a，b，c 的方程组，求出 c 可得 解析因为双曲线的离心率为 2，焦点(c，0)到渐近线 bxay0 的距离为 3，所以 c a2， |bc| a2b2 3， c2a2b2， 解得 b 3，a1，c2

13、，所以双曲线的焦距为 4. 15(2021山东济宁市第一中学高三考前冲刺)已知双曲线 C 的焦点为 F1(0，2)，F2(0，2)， 实轴长为 2，则双曲线 C 的离心率是_；若点 Q 是双曲线 C 的渐近线上一点，且 F1Q F2Q，则QF1F2的面积为_ 答案22 3 解析易知 c2，2a2，所以 a1， 所以 b2c2a2413，b 3，ec a2， 所以双曲线的方程为：y2x 2 3 1，其中经过一、三象限的渐近线方程为 y 3 3 x， 故可设点 Q x， 3 3 x ，所以F1Q x， 3 3 x2 ，F2Q x， 3 3 x2 ， 因为 F1QF2Q，所以F1Q F2Q 0，即

14、x2 3 3 x2 3 3 x2 0，解得：x 3，所以点 Q 到 y 轴的距离为 3，又|F1F2|4，所以 SQF1F21 2 3|F 1F2|1 2 342 3. 16(2021山西太原五中模拟)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A，与右支交于点 B，若|AF1|2a，F1AF22 3 ，则 SAF1F2 SABF2 () A1B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案B 解析方法一： 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a. 又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因为F1AF22 3， 所以

15、SAF1F21 2|AF 1|AF2|sinF1AF21 22a4a 3 2 2 3a2. 设|BF2|m， 由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a， 所以|BF1|2a|BF2|， 又知|BF1|2a|BA|， 所以|BA|BF2|.又知BAF2 3 ，所以BAF2为等边三角形，边长为 4a，所以 SABF2 3 4 |AB|2 3 4 (4a)24 3a2，所以SAF1F2 SABF2 2 3a 2 4 3a2 1 2，故选 B. 方法二：由 |AF2|AF1|2a， |AF1|2a |AF2|4a.由 |BF1|BF2|2a， |BF1|BA|AF1|2a|BF 2|BA|. 又F1AF

16、22 3，BAF 2 3 . ABF2为等边三角形，|AB|AF2|4a， SAF1F2 SABF2 |AF1| |AB| 1 2. 17已知点 F1，F2为双曲线 C：x2y 2 b21(b0)的左、右焦点，过 F 2作垂直于 x 轴的直线， 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，MF1F230. (1)求双曲线 C 的方程； (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1，P2，求PP1 PP2 的值 答案(1)x2y 2 2 1(2)2 9 解析(1)设 F2，M 的坐标分别为( 1b2，0)，( 1b2，y0)(y00)， 因为点 M 在双曲线 C 上

17、，所以 1b2y0 2 b2 1，则 y0b2，所以|MF2|b2. 在 RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2. 由双曲线的定义可知，|MF1|MF2|b22， 故双曲线 C 的方程为 x2y 2 2 1. (2)由(1)可知，两条渐近线分别为 l1： 2xy0，l2： 2xy0. 设双曲线 C 上的点 P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为，由题意知 cos1 3.则点 P 到两条渐 近线的距离分别为|PP1| 2x0y0| 3 ，|PP2| 2x0y0| 3 . 因为 P(x0，y0)在双曲线 C：x2y 2 2 1 上，所以 2x02y022. 所以PP1

18、 PP2 | 2x0y0| 3 | 2x0y0| 3 cos|2x0 2y02| 3 1 3 2 9. 18(2021八省联考)双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 双曲线 C 上当 BFAF 时，|AF|BF|. (1)求双曲线 C 的离心率； (2)若点 B 在第一象限，证明：BFA2BAF. 答案(1)2(2)证明略 解析(1)由题意知，当 BFAF 时，|BF|为双曲线的半通径b 2 a ，|AF|ac，又|AF|BF|， 所以b 2 a acc2a2a2ace2e20， 其中 c 为双曲线的半焦距，e 为双曲线的离心率，解得

19、e2(e1 舍去) (2)证明：如图，作双曲线的右准线 l：xa 2，交 x 轴于点 H，交 BA 于点 P，连接 PF，则 H a 2，0. 由于 PHAF， 且 HAHF， 于是PAF 是等腰三角形， 于是BAFPFA， 因此欲证BFA 2BAF 即证PFAPFB，根据角平分线定理的逆定理，只需要证明|PA| |PB| |FA| |FB| d（A，l） d（B，l） |FA| |FB|.根据双曲线焦准定义， |FB| d（B，l）e2，又 |FA| d（A，l） |FA| |AH|2，所以 |FA| d（A，l） |FB| d（B，l），即 d（A，l） d（B，l） |FA| |FB|，命题得证