讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 习题课　弦长问题.docx

1、习题课习题课弦长问题弦长问题 学习目标1.会求直线被椭圆所截的弦长.2.掌握有关椭圆的最值问题 导语 我们知道，当直线被圆所截时，求弦长有两种方法：一是代数法求弦长，二是几何法求弦长， 当直线被椭圆所截时，弦长如何求呢？ 一、弦长问题 问题 1当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 提示当直线斜率存在时，设直线方程为 ykxm(k0)，椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)或 y2 a2 x 2 b21(ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x 1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB| x1x22y1y22， 所以|AB| x1x22kx1kx22 1k2x1x22 1k2x1x22

2、4x1x2， 或|AB| 1 ky 11 ky 2 2y1y22 11 k2 y1y22 11 k2 y1y224y1y2. 其中，x1x2，x1x2或 y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去 y(或 x)后得 到关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 当直线斜率不存在时，可代入直接求得 知识梳理 弦长公式：当直线 ykxb(k0)与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两交点为 A(x 1，y1)，B(x2，y2)时， |AB| x1x22y1y22 1k2x1x224x1x2或|AB| 11 k2 y1y224y1y2. 注意点： (1)利用公式计

3、算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 (2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论 例 1(教材 P114 练习 2 改编)已知斜率为 2 的直线 l 经过椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点 F1，与椭圆 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 解因为直线 l 过椭圆x 2 5 y 2 4 1 的右焦点 F1(1,0)， 又直线斜率为 2，所以直线 l 的方程为 y2(x1)，即 2xy20. 方法一解方程组 x2 5 y 2 4 1， 2xy20， 得交点 A(0，2)，B 5 3， 4 3 ， 所以|AB| xAxB2yAyB2 05 3 2 24 3 2 1

4、25 9 5 5 3 . 方法二设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 x2 5 y 2 4 1， 2xy20， 消去 y 得 3x25x0，因为(5)2250， 则 x1x25 3，x 1x20. 所以|AB| x1x22y1y22 x1x221k2AB 1k2ABx1x224x1x2 122 5 3 240 5 5 3 . 方法三由方程组 x2 5 y 2 4 1， 2xy20， 消去 x 得 3y22y80， 因为2243(8)1000， 则 y1y22 3，y 1y28 3， 所以|AB| x1x22y1y22 y1y22 1 k2AB1 1 1 k2ABy1y224y1y

5、2 11 4 2 3 24 8 3 5 5 3 . 反思感悟求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接 利用弦长公式求解 跟踪训练 1已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2 ，直线 yk(x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 解(1)由题意得 a2， c a 2 2 ， a2b2c2， 得 b 2， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)由 ykx1， x2 4 y 2 2 1， 得(12k2)x24k

6、2x2k240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 24 12k2， 所以|MN| x2x12y2y12 1k2x1x224x1x2 2 1k 246k2 12k2 . 又点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k2， 所以AMN 的面积 S1 2|MN|d |k| 46k2 12k2 ， 由|k| 46k 2 12k2 10 3 ，得 k1，满足0. 所以当AMN 的面积为 10 3 时，k1. 二、与弦长有关的最值问题 例 2在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0

7、)的离心率 e 2 2 ，且点 P(2,1)在 椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为1 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值 解(1)由题意得 ec a 2 2 ， 4 a2 1 b21， a2b2c2， a 6， b 3， 椭圆 C 的方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)设直线 AB 的方程为 yxm， 联立 yxm， x2 6 y 2 3 1， 得 3x24mx2m260， 0， x1x24m 3 ， x1x22m 26 3 ， |AB| 112|x1x2|4 3 9m2， 原点到直线的距离 d|m| 2. SOAB1 2 4 3 9m2|

8、m| 2 2 3 9m2m2 2 3 9m 2m2 2 3 2 2 . 当且仅当 m3 2 2 时，等号成立， AOB 面积的最大值为3 2 2 . 反思感悟求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理 (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解 (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解， 注意椭圆的范围 跟踪训练 2已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 P 1， 2 2 在椭圆上， 且有|PF1|PF2|2 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过 F

9、2的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，求AOB 面积的最大值 解(1)由|PF1|PF2|2 2，得 2a2 2， a 2. 将 P 1， 2 2 代入x 2 2 y 2 b21， 得 b21. 椭圆 C 的方程为x 2 2 y21. (2)由已知，直线 l 的斜率为零时，不符合题意； 设直线方程为 x1my，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 xmy1， x22y22， 得(m22)y22my10， 由根与系数的关系，得 y1y2 2m m22， y1y2 1 m22， SAOB1 2|OF 2|y1y2| 1 2 y1y224y1y2 1 2 2m m22 24 1 m22 2

10、m21 m44m24 2 m21 m2122m211 2 1 m21 1 m212 2 1 2m21 1 m212 2 2 ， 当且仅当 m21 1 m21，即 m0 时，等号成立 AOB 面积的最大值为 2 2 . 1知识清单： (1)弦长问题 (2)与弦长有关的最值、范围问题 2.方法归纳：数形结合 3常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况 1过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点 F(c,0)的弦中最短弦长是( ) A.2b 2 a B.2a 2 b C.2c 2 a D.2c 2 b 答案A 解析最短弦是过焦点 F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦 将 xc 代入椭圆x 2

11、 a2 y2 b21， 得 yb 2 a ， 故最短弦长是2b 2 a . 2直线 yx1 被椭圆 x24y28 截得的弦长是() A.12 2 5 B.8 2 5 C. 34D. 17 2 答案A 解析将直线 yx1 代入 x24y28， 可得 x24(x1)28，即 5x28x40， x12，x22 5， y11，y27 5， 直线 yx1 被椭圆 x24y28 截得的弦长为 2 52 2 7 51 212 2 5 . 3已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，过右焦点 F2且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为() A.x 2 4 y 2

12、3 1B.x 2 3 y21 C.x 2 3 y 2 2 1D.x 2 5 y 2 4 1 答案A 解析设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则 2a4，a2， AB 经过右焦点 F2且垂直于 x 轴，且|AB|3， 将 xc 代入x 2 a2 y2 b21 得 y b2 a ， |AB|2b 2 a 3， b23，椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. 4倾斜角为 4的直线经过椭圆 x2 2 y21 的右焦点 F，且与椭圆交于 A，B 两点，则弦长|AB| 等于() A.2 2 3 B.4 2 3 C2 2D4 2 答案B 解析因为椭圆x 2 2 y21 的右焦点为

13、F(1,0)， 又倾斜角为 4的直线经过椭圆 x2 2 y21 的右焦点 F，且与椭圆交于 A，B 两点， 所以直线 AB 的方程为 ytan 4(x1)x1. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2 2 y21， yx1， 得 x22(x1)22， 即 3x24x0，所以 x1x24 3， x1x20， 所以弦长|AB| 112 x1x224x1x2 2 16 9 4 2 3 . 课时课时对点对点练练 1过椭圆 x22y24 的左焦点作倾斜角为 3的弦 AB，则弦 AB 的长为( ) A.6 7 B.16 7 C. 7 16 D.7 6 答案B 解析易求直线 AB 的方程为 y

14、3(x 2) 由 y 3x 2， x22y24， 消去 y 并整理，得 7x212 2x80. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x212 2 7 ，x1x28 7. 由弦长公式，得|AB| 1k2|x1x2| 1 32 12 2 7 248 7 16 7 . 2已知椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为 1 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，则F1AB 的面积为() A.6 2 7 B.4 3 7 C.12 2 7 D.8 3 7 答案C 解析设直线 AB 的方程为 yx1，联立椭圆方程x 2 4 y 2 3 1， 整理

15、可得 7x28x80， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x28 7，x 1x28 7. 故弦长|AB| 1k2 x1x224x1x224 7 . 又点 F1(1,0)，直线 AB：yx1. 则点 F1到直线 AB 的距离 d 2， 故 1 F AB S1 2|AB|d 12 2 7 . 3已知直线 y2x 与椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)交于 A，B 两点，点 F 是椭圆 C 的左焦点， 若|FA |FB|2 2，|FAFB|2，则|AB|等于( ) A2B.4 2 3 C.2 10 3 D4 答案C 解析由对称性可得|FA |FB|2a2 2， 所以 a 2

16、， 又|FA FB|2c2， 所以 c1，所以 b21， 即椭圆 C 的方程为x 2 2 y21， 将 y2x 与x 2 2 y21 联立，消去 y 得 x22 9， 所以|AB| 1222|x|2 5 2 9 2 10 3 . 4直线 yx2 交椭圆x 2 m y2 4 1 于 A，B 两点，若|AB|3 2，则 m 的值为() A16B12C2 3D3 答案B 解析方法一由椭圆x 2 m y2 4 1，得上顶点为(0,2)， 而直线 yx2 也过(0,2)， 所以 A(0,2)为直线与椭圆的一个交点， 设 B(xB，yB)， 则|AB| xBxA2yByA2 1k2|xBxA| 2|xB|

17、3 2， 解得 xB3，所以 B(3，1)或 B(3,5)(舍去)， 把 B(3，1)代入椭圆方程得9 m 1 41，故 m12. 方法二由 yx2， x2 m y2 4 1， 得(4m)x24mx0，所以 xA0，xB4m 4m， 又|AB| xBxA2yByA2 1k2|xBxA| 2|xB|， 所以 2| 4m 4m|3 2， 因为 m0，所以 4m 4m3，故 m12. 5若点(m，n)在椭圆 9x2y29 上，则 n m3的最小值为( ) A2 2 3 B2 3 3 C 3 2 D3 2 4 答案D 解析由题意知椭圆的方程为 x2y 2 9 1， 求 n m3的最小值即求过点(m，n

18、)和点(3,0)的直线斜率的最小值， 设过点(m，n)和点(3,0)的直线方程为 yk(x3)， 联立 ykx3， x2y 2 9 1 (9k2)x26k2x9(k21)0， 知当0 时直线斜率取最小值，(6k2)24(9k2)9(k21)0k29 8， 故当 k3 2 4 时，斜率取最小值，即 n m3的最小值为 3 2 4 . 6(多选)设椭圆的方程为x 2 2 y 2 4 1，斜率为 k 的直线 l 不经过原点 O，且与椭圆相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是() AkABkOM1 B若点 M 的坐标为(1,1)，则直线 l 的方程为 2xy30 C若直线

19、l 的方程为 yx1，则点 M 的坐标为 1 3， 4 3 D若直线 l 的方程为 yx2，则|AB|4 2 3 答案BD 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 x21 2 y 2 1 4 1， x22 2 y 2 2 4 1， 两式相减，得x 2 1x22 2 y 2 1y22 4 0， 即y1y2 x1x2 y1y2 x1x22， 即 kABkOM2. 对于 A，kABkOM21，所以 A 不正确； 对于 B，由 kABkOM2，M(1,1)，得 kAB2，所以直线 l 的方程为 y12(x1)，即 2xy30，所以 B 正确； 对于 C，若直线 l 的方程为

20、 yx1，M 1 3， 4 3 ，则 kABkOM1442，所以 C 不正确； 对于 D，由 yx2， x2 2 y 2 4 1， 得 3x24x0，解得 x0 或 x4 3，所以|AB| 11 2| 4 30| 4 2 3 ，所以 D 正确 7已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 2 2 ， 焦距为 2，则线段 AB 的长是_ 答案 4 2 3 解析由题意得椭圆方程为x 2 2 y21， 联立 x2 2 y21， yx1， 化简得 3x24x0， 解得 x0 或 x4 3，代入直线方程得 x0， y1 或 x4 3， y1 3，

21、不妨设 A(0,1)，B 4 3， 1 3 ， 所以|AB| 4 30 2 1 31 24 2 3 . 8已知椭圆两顶点 A(1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C，D 两点，当|CD| 3 2 2 时，直线 l 的方程为_ 答案2xy10 或2xy10 解析由题意得 b1，c1. a2b2c2112. 椭圆方程为y 2 2 x21. 当直线 l 的斜率不存在时，|CD|2 2，不符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykx1， 联立 ykx1， y22x22， 得(k22)x22kx10. 8(k21)0 恒成立 设 C(x1，y1)，D(x2

22、，y2) x1x2 2k k22，x 1x2 1 k22. |CD| 1k2|x1x2| 1k2x1x224x1x2 2 2k 21 k22 . 即2 2k 21 k22 3 2 2 ， 解得 k22，k 2. 直线 l 的方程为2xy10 或2xy10. 9已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm，若直线被椭圆截得的弦长为2 10 5 ，求直线的方程 解把直线方程 yxm 代入椭圆方程 4x2y21， 得 4x2(xm)21，即 5x22mxm210.(*) 则(2m)245(m21)16m2200， 解得 5 2 mb0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点 A( 2，1) 在椭圆

23、M 上直线 l 的斜率为 2 2 ，且与椭圆 M 交于 B，C 两点 (1)求椭圆 M 的方程： (2)求ABC 面积的最大值 解(1)由题意知 2 a2 1 b21， a2， 解得 b 2. 故所求椭圆 M 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)设直线 l 的方程为 y 2 2 xm，则 m0. 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)， 把直线 l 的方程代入椭圆方程并化简得 x2 2mxm220， 由2m24(m22)2(4m2)0， 可得 0m20，即 0m2b0)的左、右焦点，|F 1F2|2，过椭圆左焦点且斜率 为 3 3 的直线交椭圆于 A，B 两点，若 2 ABF S4，则

24、弦长|AB|等于() A8B6C5D.8 3 3 答案A 解析 2 ABF S4，c1， 1 22c|y AyB|4， |yAyB|4. 直线过椭圆左焦点且斜率为 3 3 ， |AB|11 k2|y AyB|8. 13 椭圆 C： x2 4 y21， 过 A(0,2)作直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点， O 为坐标原点， 若AOM 与AON 的面积之比为 53，则直线 l 的斜率为() A1B.1 2 C1D2 答案C 解析由题意，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx2， 由 x2 4 y21， ykx2， 消去 y，

25、整理得(14k2)x216kx120， 由256k248(14k2)0，解得 k23 4； 则 x1x2 16k 14k2， x1x2 12 14k2， 根据椭圆的对称性可知，M，N 在 y 轴的同一侧，即 x1，x2同号； 又AOM 与AON 的面积之比为 53，即S AOM SAON 1 2|AO|x 1| 1 2|AO|x 2| x1 x2 5 3， 则 x15 3x 2， 代入 x1x2 16k 14k2，可得 8 3x 2 16k 14k2， 即 x2 6k 14k2， 所以 x1 10k 14k2， 又 x1x2 12 14k2， 所以 6k 14k2 10k 14k2 12 14

26、k2， 解得 k21，即 k1 满足 k23 4 . 14已知椭圆 C：x 2 2 y21，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A，B 两点，AB 的中垂 线交 x 轴于 M 点，则|FM| |AB|2的取值范围为( ) A. 1 16， 1 4B. 1 8， 1 4 C. 1 16， 1 2D. 1 8， 1 2 答案B 解析椭圆 C：x 2 2 y21 的左焦点为 F(1,0)， 当直线 l 的斜率为 0 时，l：y0，A( 2，0)，B( 2，0)，M(0,0)，|FM|1，|AB|2 2， 所以|FM| |AB|2 1 8， 当直线 l 的斜率不为 0 时，设 l：xmy1

27、，与椭圆联立 xmy1， x2 2 y21， 可得(m22)y22my10， 由根与系数的关系得 y1y2 2m m22， y1y2 1 m22， 所以 AB 的中点为 D 2 m22， m m22 ， 所以 AB 的中垂线方程为 lDM：x1 m y m m22 2 m22， 令 y0，得 M 1 m22，0， 所以|FM|m 21 m22， 又|AB|2(1m2)(y1y2)24y1y28m 212 m222 ， 所以|FM| |AB|2 m22 8m21 1 8 1 1 m21 1 8， 1 4 ， 综上所述，|FM| |AB|2 1 8， 1 4 . 15.如图，哈尔滨市有相交于点 O

28、 的一条东西走向的公路 l 与一条南北走向的公路 m，有一商 城 A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为 2，短 半轴长为 1(单位：千米)根据市民建议，欲新建一条公路 PQ，点 P，Q 分别在公路 l，m 上， 且要求 PQ 与椭圆形商城 A 相切，当公路 PQ 长最短时，OQ 的长为_千米 答案3 解析由题意设 PQ 的方程为 ykxb， 由图易得 b1，b k2， 联立 ykxb， x2 4 y21， 可得 1 4k 2 x22kbx(b21)0， 则(2kb)24 1 4k 2 (b21)0， 即 k21 4(b 21) P b k，0，Q(0，b)

29、， |PQ|2 b2 k2 b2 b2 1 4b 21 b2 4b2 b21 b24 4 b21 b25 4 b21 (b21)5 2 4 b21b 219， 当且仅当 b21 4 b21，即 b 3时取等号，即|OQ| 3. 16已知点 A(0，2)，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为2 3 3 ，O 为坐标原点 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆 E 交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程 解(1)设点 F(c,0)， 因为直线 AF 的斜率为2 3 3 ，A(0

30、，2)， 所以2 c 2 3 3 ，c 3. 又因为c a 3 2 ，b2a2c2， 解得 a2，b1， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y21. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意可知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 ykx2， 联立 x2 4 y21， ykx2， 消去 y 得(14k2)x216kx120， 当16(4k23)0，即 k23 4时，x 1x2 16k 14k2，x 1x2 12 14k2. 所以|PQ| 1k2x1x224x1x2 1k2 16k 14k2 2 48 14k2 4 1k 2 4k23 14k2 . 又点 O 到直线 l 的距离 d 2 k21， 所以 SOPQ1 2d|PQ| 4 4k23 14k2 . 设 4k23t0，则 4k2t23. SOPQ 4t t24 4 t4 t 4 2 41， 当且仅当 t2，即 4k232，即 k 7 2 时取等号，满足 k23 4， 所以OPQ 的面积最大时，直线 l 的方程为 y 7 2 x2 或 y 7 2 x2，即7x2y40 或7x2y40.