讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第三章 §3.3 3.3.1　抛物线及其标准方程.docx

1、3.3抛物线抛物线 33.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程 导语 通过前面的学习可以发现，如果动点 M 到定点 F 的距离与 M 到定直线 l(不过点 F)的距离之 比为 k，当 0k1 时，点 M 的轨迹为双曲线一个自然的问 题是：当 k1 时，即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离相等时，点 M 的轨迹会 是什么形状？ 一、抛物线的定义 问题 1利用信息技术作图，如图所示，F 是定点，l 是不经过点 F 的定直线，H 是直线 l 上 任意一点，过点 H 作 MHl，线段 FH 的垂直平分线 m

2、 交 MH 于点 M，拖动点 H，点 M 随 之运动，你能发现点 M 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示点 M 随着点 H 运动的过程中，始终有|MF|MH|，即点 M 与定点 F 的距离等于它到 定直线 l 的距离，点 M 的轨迹形状与二次函数的图象相似 知识梳理 1定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线 2焦点：定点 F. 3准线：定直线 l. 注意点： (1)“一动三定”：一动点 M；一定点 F(即焦点)；一定直线 l(即准线)；一定值 1(即动点 M 到 定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为 1) (2)若点 F

3、在直线 l 上，点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线 问题 2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物 线的方程形式简单？ 提示我们取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中 点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设|KF|p(p0)，那么焦点 F 的坐标为 p 2，0，准线 l 的方 程为 xp 2. 设 M(x，y)是抛物线上任意一点，点 M 到准线 l 的距离为 d.由抛物线的定义，抛物线是点的 集合 PM|MF|d 则 M 到 F 的距离为|MF| xp 2 2y2，M 到直线 l 的距离为|x p 2

4、|， 所以 xp 2 2y2|x p 2|， 将上式两边平方并化简，得 y22px(p0) 知识梳理 图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0) p 2，0 xp 2 y2 2px(p0) p 2，0 xp 2 x22py(p0)0，p 2 yp 2 x2 2py(p0) 0，p 2 yp 2 注意点： (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离 (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上 (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或 y)的取值范围 例 1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 (1)经过点(3，1)； (2)焦点为直线 3x4y120 与坐

5、标轴的交点 解(1)因为点(3，1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22py(p0) 若抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 则由(1)22p(3)，解得 p1 6； 若抛物线的标准方程为 x22py(p0)， 则由(3)22p(1)，解得 p9 2. 故所求抛物线的标准方程为 y21 3x 或 x 29y. (2)对于直线方程 3x4y120， 令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0) 当焦点为(0，3)时，p 23，所以 p6， 此时抛物线的标准方程为 x212y； 当焦点为(4,0)时，p 24，所以 p8

6、， 此时抛物线的标准方程为 y216x. 故所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x. 反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，这样可以减 少讨论情况的个数 跟踪训练 1(1)若抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为 _ 答案2x1 解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 21，p2，准线方程为 x p 21. (2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5 的抛物线的标准方程为_ 答案x210y 和 x210y 解析设方程为 x22my(m0)，由焦点到准线的

7、距离为 5，知|m|5，m5，所以满足条 件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y. 二、抛物线定义的应用 例 2(1)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|5 4x 0，则 x0等于() A1B2C4D8 答案A 解析1 4x 05 4x 0， x01. (2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的 距离之和的最小值 解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离由图可知，点 P，点(0,2)和抛物线的焦点 F 1 2，0三点共线时距离之和最小，

8、所以最小距离 d 01 2 2202 17 2 . 延伸探究 1若将本例(2)中的点(0,2)改为点 A(3,2)，求|PA|PF|的最小值 解将 x3 代入 y22x， 得 y 6. 所以点 A 在抛物线内部 设点 P 为其上一点，点 P 到准线(设为 l)x1 2的距离为 d， 则|PA|PF|PA|d. 由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值是7 2. 即|PA|PF|的最小值是7 2. 2若将本例(2)中的点(0,2)换为直线 l1：3x4y7 20，求点 P 到直线 3x4y 7 20 的距离 与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值 解如图，作 PQ 垂直于准线 l

9、于点 Q， |PA1|PQ|PA1|PF|A1F|min. |A1F|的最小值为点 F 到直线 3x4y7 20 的距离 d |31 2 7 2| 32421. 即所求最小值为 1. 反思感悟抛物线定义的应用 实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 跟踪训练 2(1)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F1，若点 A(2，4)在抛物线上，则点 A 到 焦点的距离为_ 答案4 解析把点(2，4)代入抛物线 y22px，得 164p，即 p4，从而抛物线的焦点为(2,0)故 点 A 到焦

10、点的距离为 4. (2)设点 A 的坐标为(1， 15)，点 P 在抛物线 y28x 上移动，P 到直线 x1 的距离为 d，则 d|PA|的最小值为() A1B2C3D4 答案C 解析由题意知抛物线 y28x 的焦点为 F(2,0)， 点 P 到准线 x2 的距离为 d1，于是|PF| d1， 所以 d|PA|PF|1|PA|的最小值为|AF|1413. 三、抛物线的实际应用问题 例 3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m， 载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小 船开始不能通航？

11、解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标 系设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p8 5，得 x216 5 y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 2216 5 yA，得 yA5 4.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|y A|0.75 2(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 反思感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准 方程进行求解 跟踪训练 3某桥的桥形可近似地看成抛物

12、线，该桥的高度为 h，跨径为 a，则桥形对应的抛 物线的焦点到准线的距离为() A.a 2 8h B.a 2 4h C.a 2 2h D.a 2 h 答案A 解析如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 Oxy.设抛物 线为 x22py(p0)，结合题意可知，该抛物线经过点 a 2，h，则a 2 4 2hp，解得 pa 2 8h， 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 pa 2 8h. 1知识清单： (1)抛物线的定义 (2)抛物线的标准方程的四种形式 (3)抛物线定义的应用 2方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归 3常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式 1

13、抛物线 y1 8x 2的准线方程是( ) Ax 1 32 Bx1 2 Cy2Dy4 答案C 解析将 y1 8x 2化为标准方程 x28y，由此可知准线方程为 y2. 2已知抛物线 y2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为() A(1,0)B. 1 16，0 C. 0， 1 16D(0,1) 答案C 解析由抛物线 y2px2过点(1,4)，可得 p2， 抛物线的标准方程为 x21 4y， 则焦点坐标为 0， 1 16 ，故选 C. 3以双曲线x 2 16 y2 9 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_ 答案y216x 解析双曲线的方程为x 2 16 y2 9 1， 右顶点的坐标为(4

14、,0) 设抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 则p 24，即 p8， 抛物线的标准方程为 y216x. 4若抛物线 y22px(p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，则点 M 的坐标为_ 答案(9,6)或(9，6) 解析由抛物线方程 y22px(p0)， 得其焦点坐标为 F p 2，0， 准线方程为 xp 2. 设点 M 到准线的距离为 d， 则 d|MF|10，即p 2(9)10， 得 p2，故抛物线方程为 y24x. 由点 M(9，y)在抛物线上，得 y6， 故点 M 的坐标为(9,6)或(9，6) 课时课时对点对点练练 1准线与 x 轴垂直，且经过点(1， 2)

15、的抛物线的标准方程是() Ay22xBy22x Cx22yDx22y 答案B 解析由题意可设抛物线的标准方程为 y22px(p 0)， 则( 2)22p， 解得 p1，因此抛物线的标准方程为 y22x. 2(多选)经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程可以为() Ay2xBx28y Cx28yDy28x 答案AC 解析若抛物线的焦点在 x 轴上， 设抛物线的方程为 y22px(p0)， 又因为抛物线经过点 P(4，2)， 所以(2)22p4， 解得 p1 2， 所以抛物线的方程为 y2x. 若抛物线的焦点在 y 轴上， 设抛物线的方程为 x22py(p0)， 又因为抛物线经过点 P(4，2)，

16、 所以 422p(2)，解得 p4， 所以抛物线的方程为 x28y. 3过点 A(3,0)且与 y 轴相切的圆的圆心轨迹为() A圆B椭圆C直线D抛物线 答案D 解析由题意可知，动圆的圆心到点 A 的距离与到 y 轴的距离相等，满足抛物线的定义，故 应选 D. 4已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线x 2 4 y 2 2 1 上，则抛物线的方程 为() Ay28xBy24x Cy22xDy28x 答案D 解析由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 2 4 y 2 2 1 的顶点， 即为(2,0)或(2,0)， 所以抛物线的方程为 y28x 或 y28x. 5已知直线 l1：4x3y

17、60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直 线 l2的距离之和的最小值是() A2B3C.11 5 D.37 16 答案A 解析易知直线 l2：x1 恰为抛物线 y24x 的准线， 如图所示，动点 P 到 l2：x1 的距离可转化为 PF 的长度， 其中 F(1,0)为抛物线 y24x 的焦点由图可知，距离和的最小值即 F 到直线 l1的距离 d |46| 42322. 6为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示集 光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 2 m，镜深 0.25 m，为达到最佳吸

18、收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点() A0.5 mB1 mC1.5 mD2 m 答案B 解析若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系， 设抛物线方程为 x22py(p0)，集光板端点 A(1,0.25) ， 代入抛物线方程可得 20.25p1，p2， 所以抛物线方程为 x24y，故焦点坐标是 F(0,1) 所以容器灶圈应距离集光板顶点 1 m. 7已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 3 3 x，且一个焦点在抛物线 y2 8x 的准线上，则该双曲线的方程为_ 答案 x2 3 y2

19、1 解析双曲线的一条渐近线方程为 y 3 3 x， b a 3 3 ， 抛物线 y28x 的准线方程为 x2， 该双曲线的一个焦点在抛物线 y28x 的准线上， c2，而 c a2b2， a2b24， 由，得 a23，b21， 双曲线的方程为x 2 3 y21. 8设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上的一点，PAl，A 为垂足，如果直 线 AF 的斜率为 3，那么|PF|_. 答案8 解析如图，AFE60， 因为 F(2,0)， 所以 E(2,0)， 则|AE| |EF|tan 60， 即|AE|4 3， 所以点 P 的坐标为(6,4 3)， 故|PF|PA|628.

20、9根据下列条件分别求抛物线的标准方程 (1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点； (2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5. 解(1)双曲线方程可化为x 2 9 y 2 161，左顶点为(3,0)， 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)且p 2 3， p6，抛物线的方程为 y212x. (2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)， 由抛物线定义得 5|AF|m p 2|. 又(3)22pm，p1 或 p9， 故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x. 10已知抛物线 C：x22py(p0)上两

21、点 A，B 且 ABy 轴，OAOB，AOB 的面积为 16， 求抛物线 C 的方程 解不妨设点 A 在第一象限且 A(m，n)， 则 B(m，n)，可得 m22pn， ABy 轴，且 OAOB， 即AOB 为等腰直角三角形， 则 OA 的斜率为 1，即 mn， 由AOB 的面积为 16，可得1 22mn16， 解得 mn4，p2，所以抛物线 C 的方程为 x24y. 11已知 P 为抛物线 yx2上的动点，A 0，1 4 ，B(1,2)，则|PA|PB|的最小值为() A.3 2 B.7 4 C.9 4 D.5 2 答案C 解析由题意知，A 为抛物线的焦点 设点 P 到准线 y1 4的距离为

22、 d， 则|PA|PB|d|PB|，d|PB|的最小值为 B 到准线的距离， 故最小值为 21 4 9 4. 当 PB 垂直于准线时取最小值 12已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点，若FP 4FQ ，则|QF|等于() A.7 2 B.5 2 C3D2 答案C 解析过点 Q 作 QQl 于点 Q，如图 FP 4FQ ， |PQ|PF|34， 又焦点 F 到准线 l 的距离为 4， |QF|QQ|3. 13设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FA FBFC0，则|FA| |FB |FC|_

23、. 答案6 解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又 F(1,0) 由FA FBFC0 知(x 11)(x21)(x31)0， 即 x1x2x33， |FA |FB|FC|x 1x2x33 2p6. 14对标准形式的抛物线，给出下列条件： 焦点在 y 轴上； 焦点在 x 轴上； 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6； 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 其中满足抛物线方程为 y210 x 的是_(要求填写适合条件的序号) 答案 解析抛物线 y210 x 的焦点在 x 轴上，满足，不满足； 设 M(1，y0)是 y210 x 上一点，则|MF|1

24、p 21 5 2 7 26，所以不满足； 由于抛物线 y210 x 的焦点为 5 2，0， 设过该焦点的直线的斜率存在，方程为 yk x5 2 ，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1) 时，则 k2，此时存在，所以满足 15已知 P 为抛物线 x212y 上一个动点，Q 为圆(x4)2y21 上一个动点，则点 P 到点 Q 的距离与点 P 到 x 轴距离之和的最小值是() A4B3C2D1 答案D 解析由抛物线的方程可知焦点 F(0,3)，则准线方程为 y3， 如图，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 A，延长 PA 交准线于点 B，设圆(x4)2y21 的圆 心为点 C. 根据抛物线的定

25、义可得|PA|PB|AB|PF|AB|， |PA|PQ|PF|PQ|AB|PF|PQ|3， 当|PA|PQ|最小时，则|PF|PQ|最小，即 F，P，Q(Q 位于 C，P 之间)三点共线时，|PA| |PQ|最小， (|PF|PQ|)min|FC|QC| 324214， (|PA|PQ|)min(|PF|PQ|)min3431. 16设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点 (1)若点 P 到直线 x1 的距离为 d，A(1,1)，求|PA|d 的最小值； (2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值 解(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1. 由抛物线的定义，知|PF|d， 于是问题转化为求|PA|PF|的最小值 如图，连接 AF，交抛物线于点 P，此时|PA|d 最小，最小值为 2212 5. (2)把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y2 3， 因为 2 32，所以点 B 在抛物线内部 过点 B 作 BQ 垂直于准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图) 由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|， 则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314. 即|PB|PF|的最小值为 4.