讲与练高中数学1·②·必修第一册·BS版第一章 章末复习课.docx

1、章末复习课章末复习课 一、空间向量的概念及运算 1空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零 向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法 的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的 基底表示和坐标表示是向量运算的基础 2向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力 例 1(1)已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1E 1 4A 1C1 ，若AExAA 1 y(AB AD )，则 x _，y_. (2)(多选)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1

2、的正方形，S 到 A，B，C，D 的距离都等于 2.下列选项中，正确的是() A.SA SBSCSD0 B.SA SBSCSD0 C.SA SBSCSD0 D.SA SBSCSD 答案(1)1 1 4 (2)CD 解析(1)由题意知AE AA 1 A1E AA 1 1 4A 1C1 AA 1 1 4(AB AD )，从而有 x1，y1 4. (2)因为SA SBSCSDBADC 0，所以 C 正确；又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形，SASBSCSD2，所以SA SB22cos ASB，SCSD 22cos CSD，而 ASBCSD，于是SA SBSCSD，因此 D 正确，其余两个

3、都不正确 反思感悟空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、 共线向量的概念、 向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的 (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别 地，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP xAByAC. 跟踪训练 1(1)在空间直角坐标系中，已知 A(1，2,1)，B(2,2,2)，点 P 在 z 轴上，且满足 |PA |PB|，则 P 点坐标为( ) A(3,0,0)B(0,3,0) C(0,0,3)D(0,0，3) 答案C 解析设 P(0,0，z)，则有 102

4、2021z2 2022022z2，解得 z3. (2)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且 两两夹角为 60. 求AC1 的长； 求BD1 与AC 夹角的余弦值 解记AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， abbcca1 2. |AC1 |2(abc)2 a2b2c22(abbcca) 1112 1 2 1 2 1 2 6， |AC1 | 6. BD1 bca，AC ab， |BD1 | 2，|AC | 3， BD1 AC (bca)(ab) b2a2acbc1， cosBD1 ， AC BD1

5、AC |BD1 |AC | 6 6 . 二、利用空间向量证明位置关系 1用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、 面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用 向量的共线和垂直进行证明 2 将立体几何的线面关系转化为向量间的关系， 可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能 力 例 2在四棱锥 PABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面 ABCD，PAADCD2AB 2，M 为 PC 的中点 (1)求证：BM平面 PAD； (2)平面 PAD 内是否存在一点 N，使 MN平面 PBD？若存在，确定 N 的位置；若不存在，

6、说明理由 (1)证明以 A 为原点，以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系，则 B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)， BM (0,1,1)，平面 PAD 的一个法向量为 n(1,0,0)， BM n0，即BM n， 又 BM平面 PAD， BM平面 PAD. (2)证明由(1)知，BD (1,2,0)，PB (1,0，2)， 假设平面 PAD 内存在一点 N，使 MN平面 PBD. 设 N(0，y，z)，则MN (1，y1，z1)， 从而 MNBD，MNPB， MN BD 0， MN PB 0， 即

7、 12y10， 12z10， y1 2， z1 2， N 0，1 2， 1 2 ， 在平面 PAD 内存在一点 N 0，1 2， 1 2 ， 使 MN平面 PBD. 反思感悟利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标 系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证) 跟踪训练 2在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14. (1)求证：ACBC1； (2)请说明在 AB 上是否存在点 E，使得 AC1平面 CEB1. (1)证明在直三棱柱 ABCA1B1C1中，因为 AC3，BC4，AB5，所以 AC，BC，CC1 两两垂直，以 C 为坐

8、标原点，直线 CA，CB，CC1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系 则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4) 因为AC (3,0,0)，BC1 (0，4,4)， 所以AC BC1 0，所以AC BC 1 ，即 ACBC1. (2)解假设在 AB 上存在点 E，使得 AC1平面 CEB1， 设AE tAB(3t,4t,0)，其中 0t1. 则 E(33t,4t,0)，B1E (33t,4t4，4)， B1C (0，4，4) 又因为AC1 mB1E n B 1C 成立， 所以 m(33t)3，m(4t4)4n0，4m

9、4n4， 解得 t1 2. 所以在 AB 上存在点 E，使得 AC1平面 CEB1，这时点 E 为 AB 的中点 三、利用空间向量计算距离 1空间距离的计算思路 (1)点 P 到直线 l 的距离：已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点， 设向量AP 在直线l上的投影向量为AQ a， 则点P到直线l的距离为a2au2(如 图) (2)设平面的法向量为 n，A 是平面内的定点，P 是平面外一点，则点 P 到平面的距离为 |AP n| |n| (如图) 2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 例 3在三棱锥 BACD 中，

10、平面 ABD平面 ACD， 若棱长 ACCDADAB1， 且BAD 30，求点 D 到平面 ABC 的距离 解如图所示，以 AD 的中点 O 为原点，以 OD，OC 所在直线为 x 轴、y 轴，过 O 作 OM 平面 ACD 交 AB 于 M，以直线 OM 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则 A 1 2，0，0，B 31 2 ，0，1 2 ，C 0， 3 2 ，0 ，D 1 2，0，0， AC 1 2， 3 2 ，0 ， AB 3 2 ，0，1 2 ，DC 1 2， 3 2 ，0 ， 设 n(x，y，z)为平面 ABC 的一个法向量， 则 nAB 3 2 x1 2z0， nAC 1 2x 3

11、2 y0， y 3 3 x，z 3x，可取 n( 3，1,3)， 代入 d|DC n| |n| ，得 d 3 2 3 2 13 39 13 ， 即点 D 到平面 ABC 的距离是 39 13 . 反思感悟利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表 示的向量，代入公式求解即可 跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1， 若点P满足 AP 3 5AB 1 3AD 1 4AA 1 ， 则点 P 到直线 AB 的距离为() A. 25 144 B. 5 12 C.13 20 D. 105 15 答案B 解析以点 A 为原点，分别以直线 AB，AD，AA1为 x

12、 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如 图， 易知 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)， 则向量 AP 3 5， 1 3， 1 4 ，AB (1,0,0). 则点 P 到直线 AB 的距离为|AP 2| AP AB |AB | 2 1 9 1 16 5 12. 四、利用空间向量求空间角 1空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2的夹角满足 cos |cosm1，m2 |. (2)设直线 l 的方向向量和平面的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面的夹角满足 sin |cosm，n|. (3)设

13、n1，n2分别是两个平面，的法向量，则两平面，夹角满足 cos|cosm，n|. 2通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 例 4如图，在长方体 AC1中，ABBC2，AA1 2，点 E，F 分别是平面 A1B1C1D1，平面 BCC1B1的中心以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角； (2)求直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值 解(1)由题意得 A(2,0,0)，F 1，2， 2 2 ，B(2,2,0)，E(1,1， 2)，C(0

14、,2,0) AF 1，2， 2 2 ，BE (1，1， 2)， AF BE1210. 直线 AF 和 BE 所成的角为 90. (2)设平面 BEC 的法向量为 n(x，y，z)，又BC (2,0,0)，BE (1，1， 2)，则 nBC 2x0，nBE xy 2z0，x0，取 z1，则 y 2， 平面 BEC 的一个法向量为 n(0，2，1) cosAF ，n AF n |AF |n| 5 2 2 22 2 3 5 33 33 . 设直线 AF 和平面 BEC 所成的角为，则 sin 5 33 33 ，即直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦 值为5 33 33 . 反思感悟(1)在建立空

15、间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立 合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标 (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利 用平面的法向量 跟踪训练 4如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC， ABBEEC2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 (1)求证：GF平面 ADE； (2)求平面 AEF 与平面 BEC 夹角的余弦值 方法一(1)证明如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 因为 G 是 BE 的中点， 所以 GHAB，且 GH1 2AB. 又 F

16、是 CD 的中点， 所以 DF1 2CD. 由四边形 ABCD 是矩形，得 ABCD，ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH. 又 DH平面 ADE，GF平面 ADE， 所以 GF平面 ADE. (2)解如图，在平面 BEC 内， 过 B 点作 BQEC. 因为 BECE，所以 BQBE. 又因为 AB平面 BEC，所以 ABBE，ABBQ. 以 B 为原点，分别以 BE，BQ，BA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)因为 AB平面

17、 BEC，所以BA (0,0,2)为平面 BEC 的法向量设 n(x，y，z)为平面 AEF 的法向量 又AE (2,0，2)，AF(2,2，1)， 由 nAE 0， nAF 0， 得 2x2z0， 2x2yz0. 取 z2，得 n(2，1,2) 从而|cosn， BA |nBA | |n|BA | 4 23 2 3， 所以平面 AEF 与平面 BEC 夹角的余弦值为2 3. 方法二(1)证明如图，取 AB 的中点 M，连接 MG，MF. 由 G 是 BE 的中点，可知 GMAE. 又 AE平面 ADE，GM平面 ADE， 所以 GM平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 A

18、B，CD 的中点得 MFAD. 又 AD平面 ADE，MF平面 ADE. 所以 MF平面 ADE. 又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF， 所以平面 GMF平面 ADE. 因为 GF平面 GMF，所以 GF平面 ADE. (2)同方法一 1如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，已知PA a，PBb，PCc， PE 1 2PD ，则BE 等于( ) A.1 2a 3 2b 1 2c B.1 2a 1 2b 1 2c C.1 2a 3 2b 1 2c D.1 2a 1 2b 3 2c 答案A 解析连接 BD，如图， 则BE 1 2(BP BD )1 2PB

19、 1 2(BA BC ) 1 2PB 1 2(PA PBPC PB ) 1 2PB 1 2(PA 2PBPC)1 2PA 3 2PB 1 2PC 1 2a 3 2b 1 2c. 2若直线 l1，l2的方向向量分别为 a(1,2，2)，b(2,3,2)，则() Al1l2Bl1l2 Cl1，l2相交但不垂直D不能确定 答案B 解析ab1(2)23(2)22640， ab， l1l2. 3在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，AB2，BC4，CD3，BD5，点 E 在棱 AD 上，且 AE2ED，则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为() A. 6 4 B.3 5 C.3 17 17 D

20、.3 26 26 答案D 解析建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz， 得 A(0,0,2)，B(0,0,0)，C(0,4,0)，D(3,4,0)， 由 AE2ED，得AE 2 3AD 2，8 3， 4 3 ， 所以BE BAAE2，8 3， 2 3 ，CD (3,0,0) 设异面直线 CD 与 BE 所成角为， 所以 cos BE CD |BE |CD | 6 3468 9 3 26 26 . 4四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PD1，AB3，G 是 ABC 的重心，则 PG 与平面 PAB 所成角的正弦值为_ 答案 10 30 解析因为 PD底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形， 所以 PD，DA，DC 两两垂直，以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，则重心 G(2,2,0)， 因而PG (2,2，1)，PA (3,0，1)，PB(3,3，1)， 设平面 PAB 的一个法向量为 m(x，y，z)， 则 mPA 3xz0， mPB 3x3yz0， 令 x1，则 m(1,0,3)， 则 sin |cosm， PG | |mPG | |m|PG | 1 103 10 30 .