绿色通道北师大版 高中必修5数学 教学资源 课时跟踪检测12.doc

1、课时跟踪检测课时跟踪检测 12正弦定理正弦定理 (对应学生用书 P093) 基础检测题顺畅轻松做 一、选择题 1 在ABC 中， 若 a18， b20， A130， 则满足此条件的三角形有() A0 个B1 个 C2 个D无数个 解析abAB，B130.又一个三角形中不可能存在两个钝角 不存在满足此条件的三角形，故选 A. 答案A 2在ABC 中，A60，a 13，则 abc sinAsinBsinC等于( ) A.8 3 3 B.2 39 3 C.26 3 3 D2 3 解析由 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 得 abc sinAsinBsinC2R a sinA 13 si

2、n60 2 39 3 . 答案B 3已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 的对边，若ABC 的周长为 4( 21)，且 sinBsinC 2sinA，则 a() A. 2B2 C4D2 2 解析根据正弦定理，sinBsinC 2sinA 可化为 bc 2a， ABC 的周长为 4( 21)， abc4 21， bc 2a， 解得 a4.故选 C. 答案C 4在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且( 3bc)cosA acosC，则 sin2A 的值等于() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D. 3 6 解析由( 3bc)cosAacosC0 及正弦定理

3、，得( 3sinBsinC)cosA sinAcosC0， 整理得3sinBcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC) 又 sin(AC)sin(B)sinB，所以3sinBcosAsinB， 由于 sinB0，所以 cosA 3 3 ，所以 sin2A1cos2A2 3.故选 C. 答案C 5在ABC 中，下列等式恒成立的是() AacosCccosABbsinCcsinA CabsinCbcsinBDasinCcsinA 解析对于 A，由正弦定理可知，acosCccosA2RsinAcosC2RsinCcosA 2Rsin(AC)0 不一定成立， 故 A 错误； 对于 B，由正

4、弦定理可得，bsinCcsinA2RsinBsinC2RsinCsinA 2RsinC(sinBsinA)0 不一定成立，即 bsinCcsinA 不一定成立，故 B 错误； 对于 C，由正弦定理可得 absinCbcsinB2bR(sinAsinCsinCsinB) 2bRsinC(sinAsinB)0 不一定成立，故 C 错误； 对于 D.由正弦定理可得，asinCcsinA2RsinAsinC2RsinCsinA0，即 asinCcsinA 一定成立，故 D 正确故选 D. 答案D 6满足 B60，AC12，BCk 的ABC 恰有一个，则 k 的取值范围是 () Ak8 3B0k12 C

5、k12D0k12 或 k8 3 解析已知两边和其中一边的对角解三角形时， 首先求出另一边的对角的正 弦值， 由正弦值求角时， 需对角的情况进行讨论： 当 ACBCsinB， 即 1283时，三角形无解； 当 ACBCsinB，即 12ksin60，即 k83时，三角形有一解； 当 BCsinBACBC，即 3 2 k12k，即 12k83时，三角形有两解； 当 0BCAC，即 0k12 时，三角形有一解 综上，0k12 或 k83时，三角形有一解 答案D 二、填空题 7在ABC 中，A60，B45，ab12，则 a_. 解析因为 a sinA b sinB，所以 a sin60 b sin45

6、，所以 3 2 b 2 2 a， 又因为 ab12， 由可知 a12(3 6) 答案12(3 6) 8已知ABC 中，AB3 2，AC2，sinB 2 3，则 C_. 解析由正弦定理得 AB sinC AC sinB，所以 sinC ABsinB AC 3 2 2 3 2 1 2. 又 ACAB，所以 BC，所以 C 为锐角，所以 C30. 答案30 9在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A2 3 ，a 3c， 则b c_. 解析由正弦定理知sinA sinC a c 3，所以 sinC sin2 3 3 1 2，则 C 6， 所以 B2 3 6 6，所以 bc，即 b

7、 c1. 答案1 三、解答题 10在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosAbcosB， 试判断ABC 的形状 解由正弦定理及 acosAbcosB 得 sinAcosAsinBcosB， 所以 sin2Asin2B. 因为 2A,2B(0,2)，所以 2A2B 或 2A2B.所以 AB 或 AB 2， 所以ABC 为等腰三角形或直角三角形 11已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 AC90， ac 2b，求 C. 解由 AC90，得 A 为钝角且 sinAcosC，利用正弦定理，ac 2b 可变形为 sinAsinC 2sinB， 又

8、sinAcosC，sinAsinCcosCsinC 2sin(C45) 2sinB， 又 A，B，C 是ABC 的内角，故 C45B 或(C45)B180(舍去)， 所以 ABC(90C)(C45)C180.所以 C15. 12在ABC 中，已知 AC5，BC 5，cosA 9 10，求 AB 的长 解cosA 9 10，sinA 1cos 2A 19 10 ， 由正弦定理得 BC sinA AC sinB，sinB ACsinA BC 5 19 10 5 95 10 . ACBC，BA，B 为锐角或钝角， cosB 5 10. 当 cosB 5 10 时，则 sinCsin(AB)sinAc

9、osBsinBcosA 19 10 5 10 95 10 9 10 95 10 ， 由正弦定理得 ABBCsinC sinA 5 95 10 19 10 5. 当 cosB 5 10 时 ， 则 sinC sin(A B) sinAcosB sinBcosA 19 10 5 10 95 10 9 10 2 95 25 ， 由正弦定理得 ABBCsinC sinA 52 95 25 19 10 4.综上可得 AB5 或 AB4. 13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2 3， b6，A30，求角 B 及ABC 的面积 SABC. 解在ABC 中，由正弦定理，得

10、sinBb asinA 6 2 3 1 2 3 2 ， A30，且 ab，B60或 B120. 当 B60时，C90，ABC 为直角三角形， 故 SABC1 2ab6 3. 当 B120时，C30，故 SABC1 2absinC 1 22 36sin303 3. 素养能力题从容有序过 14.已知ABC 三内角 A、 B、 C 对应的边为 a、 b、 c， 且 sinA 2sinB 2sinC 1 2cosC. (1)求角 A； (2)当 a1 时，求2bc 的取值范围 解(1) sinA 2sinB 2sinC 1 2cosC ，即 2sinAcosC2sinB2sinC，即 2sinAcos

11、C2sin(AC) 2sinC， 2sinAcosC2sinAcosC2cosAsinC 2sinC0，即 sinC(2cosA 2)0， 0C，则 sinC0，所以，cosA 2 2 ， 0A，因此，A3 4 ； (2)由正弦定理可得 b sinB c sinC a sinA 1 sin3 4 1 2 2 2，则 b 2sinB，c 2sinC， 所以， 2bc2sinB 2sinC2sinB 2sin(AB)2sinB 2sin 3 4 B 2sinBcosBsinBsinBcosB2 2 2 sinB 2 2 cosB 2(sinBcos 4 cosBsin 4) 2sin B 4 ，

12、C3 4 ，0B 4，则 4B 4 2，所以， 2 2 sin B 4 1， 所以，1 2bc 2， 因此， 2bc 的取值范围是(1， 2) 15在ABC 中，已知 c10，cosA cosB b a 4 3，求 a，b 及ABC 的内切圆半 径 解由正弦定理知sinB sinA b a， cosA cosB sinB sinA.即 sinAcosAsinBcosB，sin2A sin2B. 又ab， 2A2B， 即 AB 2， ABC 是直角三角形， 且 C90， 由 a2b2102， b a 4 3 得 a6，b8.故内切圆的半径为 r abc 2 6810 2 2. 16在ABC 中，

13、已知ab a sinB sinBsinA，且 cos(AB)cosC1cos2C. (1)试确定ABC 的形状； (2)求ac b 的取值范围 解(1)在ABC 中，设其外接圆半径为 R， 根据正弦定理得，sinA a 2R，sinB b 2R，sinC c 2R，代入 ab a sinB sinBsinA， 得ab a b ba， 所以 b2a2ab. 因为 cos(AB)cosC1cos2C，所以 cos(AB)cos(AB)2sin2C，所 以 sinAsinBsin2C. 由正弦定理，得 a 2R b 2R c 2R 2，所以 abc2. 把代入得，b2a2c2，即 a2c2b2.所以ABC 是直角三角形 (2)由(1)问知 B 2，所以 AC 2，所以 C 2A，所以 sinCsin 2A cosA. 根据正弦定理，得ac b sinAsinC sinB sinAcosA 2sin A 4 . 因为 acabc2，所以 ac，所以 0A 4，所以 4A 4 2.所以 2 2 sin A 4 1， 所以 1 2sin A 4 2，即ac b 的取值范围是(1， 2)