5.4.2　第1课时　周期性与奇偶性.pptx

1、第1课时周期性与奇偶性 第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期. 2.会根据之前所学和函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确 判断一些三角函数的变式的奇偶性. 学 习 目 标 同学们，生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始 的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年 十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、 岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到 角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数 的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起

2、探究三 角函数的一些性质. 导 语 随堂演练课时对点练 一、正弦函数、余弦函数的周期 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用 内容索引 一、正弦函数、余弦函数的周期 问题1正弦函数、余弦函数的图象有什么特点？ 提示能够发现正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规 律.我们可以从两个方面来验证这种特点：函数的图象，回顾正弦函数、 余弦函数的图象的画法，我们是先画出0,2上的函数图象，然后每次 向左(右)平移2个单位长度得到整个定义域上的函数图象. 诱导公式一，sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，对任意的kZ 都成立. 知识梳理 1.函数的周期性

3、一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每 一个xD都有xTD，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期. 非零常数T 非零常数T 最小的正数 f(xT)f(x) 3.正弦函数是 ，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是 . 4.余弦函数是 ，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是 . 注意点注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立；(2)周期函数 的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期；(3)三角函数的

4、周期 是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性 质即可；(4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数 的最小正周期. 周期函数 周期函数 2 2 例1求下列三角函数的周期； (1)y7sin x，xR； 解因为7sin(x2)7sin x，由周期函数的定义知，y7sin x的周期为 2. (2)ysin 2x，xR； 解因为sin 2(x)sin(2x2)sin 2x，由周期函数的定义知，y sin 2x的周期为. (4)y|cos x|，xR. 解y|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y|cos x|的周期为. 反思感悟求三角函数周

5、期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数， A0，0)的函数，T (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 跟踪训练1已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)1，则f(x)的周 期为 A.2 B.4 C.6 D.1 若f(xa)f(x)，则函数f(x)的周期为a； 若f(xa)f(xa)，则函数f(x)的周期为2a； 若f(xa)f(x)，则函数f(x)的周期为2a； 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 问题2继续回顾正弦函数、余弦函数的图象，你还能发现什么特点？ 提示正弦函数的图象关于原点对称，余弦函

6、数的图象关于y轴对称. 知识梳理 正弦函数是 ，余弦函数是 . 奇函数偶函数 例2判断下列函数的奇偶性. 因为xR，都有xR， (2)f(x)|sin x|cos x； 解函数f(x)|sin x|cos x的定义域为R， 因为xR，都有xR， 又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)， 所以函数f(x)|sin x|cos x是偶函数. 因为xR，都有xR， 又f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)， 反思感悟判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(x)的关系. (2)对于

7、三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简 后再判断. 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 跟踪训练2判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)sin xcos x； 解函数的定义域为R，关于原点对称. f(x)sin(x)cos(x) sin xcos xf(x)， f(x)sin xcos x为奇函数. 函数的定义域为x|x2k，kZ，定义域关于原点对称. 当cos x1时，f(x)0，f(x)f(x). 三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用 问题3知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象和性质有 什么帮助？ 提示通过研究一个周期内的函数图象，可推导出整个函数具有

8、相同 的性质. 延伸探究 1 反思感悟三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y Asin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数，且A0，0)的 形式，再利用公式求解. (2)判断函数yAsin(x)或yAcos(x)(其中A，是常数， 且A0，0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y Asin x(A0，0)或yAcos x(A0，0)其中的一个. 偶函数 2 f(x)为偶函数， 1.知识清单： (1)周期函数的概念，三角函数的周期. (2)三角函数的奇偶性. (3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用. 2.方法归纳：定义法、公

9、式法、数形结合. 3.常见误区：函数yAsin(x)或yAcos(x)(其中A，是常 数，且A0，0)的周期为 课堂小结 随堂演练 1.函数f(x)sin(x)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 1234 解析由于xR， 且f(x)sin xsin(x)f(x)， 所以f(x)为奇函数. 1234 解析ycos(4x)cos 4x. 1234 1234 cos 2x，xR， f(x)是最小正周期为的偶函数. 1234 1 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.函数y4sin(2x)的图象关于 A.x轴对

10、称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x 对称 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为y4sin(2x)4sin 2x是奇函数，所以其图象关于原点对称. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析函数的定义域为R，关于原点对称. 所以f(x)是偶函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.函数yf(x)xsin x的部分图象是 解析f(x)xsin(x)xsin xf(x)， 函数是偶函

11、数，排除B，D； 当x取趋近于0的正数时，f(x)0，故选A. 6.(多选)下列函数中周期为，且为偶函数的是 解析A中，由y|cos x|的图象知，y|cos x|是周期为的偶函数，所以 A正确； B中，函数为奇函数，所以B不正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析令g(x)x3cos x， g(x)(x)3cos(x)x3cos xg(x)， g(x)为奇函数，又f(x)g(x)1， f(a)g(a)111，g(a)10， f(a)g(a)1g(a)19. 7.设函数f(x)x3cos x1，若f(a

12、)11，则f(a)_. 9 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解T，且f(x)为偶函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.判断下列函数的奇偶性： 解f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(x)为奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)f(x)cos xx3sin x. 解f(x)的定义域为R，关于原点对称， f(x)cos(x)(x)3sin(x) cos xx3sin xf(x)， f(x)为偶函数. 综合运用 12345678910

13、11 12 13 14 15 16 12.若函数ysin(x)(0)在R上为偶函数，则可等于 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 f(x)的周期为6， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以正整数的值为4或5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0， 即每连续六项的和均为0. 所以f(1)f(2)f(3)f(2 021) f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)f(2 021) 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：