河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 20202020 年春期高中二年级期中质量评估年春期高中二年级期中质量评估 数学试题数学试题( (理理) ) 注意事项注意事项: : 1 1本试卷分第本试卷分第 I I 卷卷( (选择题选择题) )和第和第 IIII 卷卷( (非选择题非选择题) )两部分考生做题时将答案答在答题卡的两部分考生做题时将答案答在答题卡的 指定位置上，在本试卷上答题无效指定位置上，在本试卷上答题无效 2 2答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3 3选择题答案使用选择题答案使用 2

2、B2B 铅笔填涂，非选择题答案使用铅笔填涂，非选择题答案使用 0.50.5 毫米的黑色中性毫米的黑色中性( (签字签字) )笔或碳素笔笔或碳素笔 书写，字体工整，笔迹清楚书写，字体工整，笔迹清楚 4 4请按照题号在各题的答题区域请按照题号在各题的答题区域( (黑色线框黑色线框) )内作答，超出答题区域书写的答案无效内作答，超出答题区域书写的答案无效 5 5保持卷面清洁，不折叠、不破损保持卷面清洁，不折叠、不破损 第第 I I 卷卷 选择题选择题 一、选择题一、选择题 1.已知 13 2 i ，i为虚数单位，则 2 1的值为（ ） A. -1B. 0C. 1D.i 【答案】B 【解析】 【分析】

3、 根据复数的乘法和加减运算，即可求出结果. 【详解】 2 2 131313313 1110 2244222 ii ii . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题. 2.下列值等于 2 3 的是（） A. 1 2 0 x dx B. 1 0 (2)xdx C. 1 0 2 3 xdx D. 1 2 0 2x dx 【答案】D 【解析】 【分析】 利用微积分基本定理逐个计算每个选项中的定积分，可得出正确选项. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】由微积分基本定理可得 1 23 1 0 0 11 33 x dxx ， 1 21 0 0 15 2

4、2 22 xdxxx ， 1 2 1 0 0 211 333 xdxx ， 1 23 1 0 0 22 2 33 x dxx ，故选 D. 【点睛】本题考查定积分的计算，解题的关键就是利用微积分基本定理进行计算，考查计算 能力，属于基础题. 3.如图是函数( )yf x的导函数( )yfx的图像，则下面判断正确的是() A. 在区间（-2,1）上 ( )f x是增函数 B. 在区间（1,3）上 ( )f x是减函数 C. 在区间（4,5）上 ( )f x是增函数 D. 当4x 时， ( )f x取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】 利用导函数的正负来判断原函数的单调性,对选项逐一进行判断即

5、得答案. 【详解】选项 A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A 错误 选项 B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B 错误 选项 C, 区间（4,5）导函数恒大于 0，原函数单调递增，C 正确 选项 D，当4x 处，左边减右边增， ( )f x取极小值，D 错误 答案是 C 【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查同 学们对于图像的理解和判断. 4.如图，第n个图形是由正n+2 边形“扩展”而来，(n=1、2、3、)则在第n个图形中共有 （）个顶点. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -

6、3 - A. (n+1)(n+2)B. (n+2)(n+3)C. 2 n D.n 【答案】B 【解析】 【分析】 分别由图形得到当1n ,2n ,3n ,4n 时顶点的个数,进而归纳推理即可 【详解】由图形可知, 当1n 时,顶点共有123 4 （个） ； 当2n 时,顶点共有204 5 （个） ； 当3n 时,顶点共有305 6 （个） ； 当4n 时,顶点共有426 7（个） ； 则归纳推理可得,第n个图形,顶点共有23nn个, 故选:B 【点睛】本题考查归纳推理,属于基础题 5.已知函数f(x)x 3bx2cx 的图象如图所示，则 22 12 xx() A. 2 3 B. 4 3 C.

7、8 3 D. 16 3 【答案】C 【解析】 解：因为根据已知函数的图像可知 x=0,x=1，x=2 是函数的零点， f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 解得 b=-3，c=2 又由图可知，x1，x2为函数 f（x）的两个极值点 f（x）=3x 2-6x+2=0 的两个根为 x 1，x2， x1+ x2=2，x1x2=2 3x1 2+ x 2 2=（x 1+x2） 2-2 x 1x2=4- 4 3 = 8 3 故选 C 6.已知函数 fx的导函数为 fx ，且满足关系式 2 =32lnf xxxfx，则 2 f

8、 的 值等于（ ） A. 2B.2C. 9 4 D. 9 4 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 2 =32lnf xxxfx， 1 232fxxf x ， 所 以 2 1 2232 2 ff，解得 9 2 4 f ，故选 D. 考点：导数的计算 7.若等差数列 n a的前n项之和为 n S，则一定有 21 21 nn Sna 成立若等比数列 n b的 前n项之积为 n T，类比等差数列的性质，则有（） A. 21 21 nn Tnb +B. 21 21 nn Tnb C. 21 21 nn Tnb D. 21 21 n nn Tb 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差和等比数列的通项

9、和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等 差数列中的求和类比等比数列中的乘积 【详解】在等差数列 n a的前21n项之和为 121 21 21 21 2 n nn aan Sna ， 因 为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积， 所以各项均为正的等比数列 n b的前21n项 积 21 211 21 21 n nn n n Tbbb . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故选：D 【点睛】本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是 解决本题的关键 8.已知是函数2x 就函数 3 ( )32f xxax的极小值点，那么函

10、数 fx的极大值为 （） A. -2B. 6C. 17D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】 求出导数，由题意得， 20f ，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可 【详解】函数 3 ( )32f xxax的导数 2 33fxxa， 由题意得， 20f ，即1230a，4a 3 122f xxx， 2 312322fxxxx， 令 0fx，得2x 或2x ； 0fx ，得22x ， 所以当时2x 取极大值，即 8242218f xf 极大值 故选：D 【点睛】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题 9.由曲线yx 2和曲线 y x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影

11、部分面积为（） A. 1 3 B. 3 10 C. 1 4 D. 1 5 【答案】A 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 先求出曲线 2 yx=与yx的交点为0,0,1,1,则 1 2 0 Sxxdx ,求解即可 【详解】由题,曲线 2 yx=与yx的交点为0,0,1,1, 则 1 13 23 2 0 0 211 333 Sxxdxxx 故选：A 【点睛】本题考查利用定积分求面积,考查微积分基本定理的应用 10.设函数 2 1 ( )9ln 2 f xxx在区间1,1aa上单调递减， 则实数a的取值范围是 （） A.(,2)B.(4,)C.(1,

12、2D.(0,3 【答案】C 【解析】 【分析】 求导，先求函数得单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于a的不 等式组，求解不等式组即可求得实数 a 的取值范围. 【详解】 9 (0)fxxx x ，解不等式 9 0fxx x ，得03x， 即函数的单调递减区间为0,3， 又函数 2 1 9ln 2 f xxx在区间1,1aa上单调递减， 则1,10,3aa，即10a 且13a ，解得12a， 所以实数a的取值范围是1,2. 故选 C 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2

13、)不能随意将函数的 2 个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中 要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 11.已知复数z xyi ，xR，yR， 满足114zz， 则点xy，的轨迹是 （） A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 椭圆 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数 z 对应的点在某一椭圆上 【详解】 复平面上， 复数z满足114zz，则z对应的点M到点 1 1,0F ， 点 2 1,0F 的距离和

14、为4， 即 1212 4,24MFMFFF， 复数z对应的点M在以 12 ,F F为焦 点，长轴长为4的椭圆上 故选：D 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问 题，是基础题 12.已知定义在0,上的函数 fx，满足 2 1 2x fxxf x x 且 11f，则函数 fx的最大值为（） A. 2 e B. 0C. e D.2e 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意构造函数 2 g xx f x，可解得 2 1 ln 1 ln x g xxf x x ，利用导数判断函 数 fx的单调性，求得最大值即可 【详解】 2 1 2x fxxf x x Q，令

15、 2 g xx f x，则 2 1 2gxx fxxf x x ， 1111fgQ， 2 1 ln 1 ln , x g xx f x x ， 3 1 2ln x fx x ， 当 1 2 0 xe 时， 3 1 2ln 0 x fx x ，当 1 2 xe 时， 3 1 2ln 0 x fx x ， 当 1 2 xe 时， 1 1 2 2 2 max 1 2 1 ln 2 ee f xfe e 故选：A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，解题的关键是构造函数 2 g xx f x， 逻辑性较强，属于中档题 第第 III

16、I 卷非选择题卷非选择题 二、填空题二、填空题 13.设 2 ,21aR aaai为纯虚数(i为虚数单位),则a _. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据纯虚数定义,即可求得答案. 【详解】 2 21aaai,为纯虚数 即实部为0,虚部不为0 2 20 10 aa a 解得:2a 故答案为:2. 【点睛】本题主要考查了根据复数类型求参数,解题关键是掌握纯虚数定义,考查了分析能力 和计算能力,属于基础题. 14.已知函数 123f xx xxx，则 0 f _ 【答案】- -6. 【解析】 【分析】 令 123xxg xx，利用导数的乘法运算法则可得 g xgxfxx ，将 0 x 代入计算，

17、即可求出结果 【详解】 令 123xxg xx， 所以 f xxg x， 所以 g xgfxxx ， 所以 00 1 02030006gg f . 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查导数的乘法运算法则的应用，属于基础题 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 15.定义在R上的函数 fx，满足 11f，且对任意xR都有 1 ( ) 2 fx ，则不等式 lg1 (lg ) 2 x fx 的解集为_ 【答案】0,10. 【解析】 【分析】 设 1 2 g xf xx，由于 1 2 fx，得到 gx小于0，得到 g x为减函数，将所求不 等式变形后，利用 g x为减函数求

18、出x的范围，即为所求不等式的解集 【详解】设 1 2 g xf xx， 1 2 fxQ， 1 0 2 gxfx ， g x为减函数， 又 lg111 lglg 222 x fxx ，所以 11 lglg 22 fxx 即 11 lglglg 22 gxfxx， 又 11 11 22 gf lg1gxg lg1x 又lgyx为底数是 10 的增函数， 010 x，故不等式的解集为0,10. 故答案为：0,10 【点睛】此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数 函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题 16.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗

19、在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科，它 的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图(1)所示的分形规律可得 如图(2)所示的一个树形图若记图(2)中第n行黑圈的个数为 n a，则 7 a _ 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【答案】 6 31 2 (364 也对）. 【解析】 【分析】 根据图甲所示的分形规律，1 个白圈分形为 2 个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个 黑圈，根据第三行的数据可求出第四行的“坐标”；再根据前五行的白圈数乘以 2，分别是 2,4,10,28,82，即1 13 19 127 181

20、1,，可归纳第n行的白圈数，黑圈数，即可得出 结论 【详解】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈 1 个黑圈，1个黑圈分形为1个白 圈2个黑圈，第一行记为1,0，第二行记为2,1，第三行记为5,4，第四行的白圈数为 2 5414 ；黑圈数为52 413 ，第四行的“坐标”为14,13； 第五行的“坐标” 为41,40，各行白圈数乘以2，分别是2 410 2882， ， ，即1 13 19 127 181 1， 第n行的白圈数为 1 31 2 n ，黑圈数为 11 3131 1 22 nn n a ， 所以 7 a 6 31 2 ，即 7 364a . 故答案为： 6 31 2 （36

21、4） 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，多观察几组数据是发现规律的有效方法，根据归纳推 理得出一般规律 三、解答题三、解答题 17.设, ,a b c均为正数，且1abc 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 证明： （1） 1 3 abbcac； （2） 222 1 3 abc 【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）将不等式 222222 2,2,2abab acac bcbc相加得出 222 abcabacbc ，再将1abc两边平方，即可得出结论； （2）对1abc两边平方，可得 222 1222abcabbcac ；又因为 22

22、 2abab ， 22 2bcbc ， 22 2acac ，可证 222222 12abcabc+，即可证 明结果. 【详解】(1)由 22 2abab （当且仅当ab时取“”） ， 22 2bcbc （当且仅当bc 时取“”） ， 22 2caca （当且仅当ac时取“”） 所以 222 abcabbcca 由题设得 2 1abc， 即 222 2221abcabbcca ， 所以31abbcca，即 1 3 abbcca（当且仅当 1 3 abc时取“”）. (2)因为1abc， 所以 2 222 1222a b cabcabbcac=+ +=+， 因为 22 2abab ， 22 2bc

23、bc ， 22 2acac ， 所以 222 2222abbcacabc+， 所以 222222 12abcabc+，即 222 1 3 abc（当且仅当 1 3 abc时取 “”） 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题 18.已知函数 ln 1 x fx x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - （1）求函数 fx的极值; （2）设0m ，求函数 fx在区间,2mm上的最大值 【答案】 （1） ( )f x有极大值 1 ( )1f e e ，无极小值； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用导函数的符号求解函数的单调区间即可 （2）

24、结合（1）通过m与e的大小讨论函数的单调性求解函数的最大值 【详解】(1)因为函数 fx的定义域为0,，且 2 1 ln x fx x ， 由 ( )0 0 fx x 得0 xe； 由 ( )0 0 fx x 得xe 所以函数 fx的单调递增区间为0,e，单调递减区间为, e 所以， ( )f x有极大值 1 ( )1f e e ，无极小值； (2)当 2 0 me m ，即0 2 e m，函数 fx在区间,2mm上单调递增， 所以 max ln(2 ) ( )(2 )1 2 m f xfm m 当2mem，即 2 e me时，函数 fx在区间,m e上单调递增，在,2em上单调递 减， 所以

25、 max ln1 11 e f xf e ee 当me时，函数 fx在区间,2mm上单调递减， 所以 max ln ( )( )1. m f xf m m 综上所述，当0 2 e m时， max ln 2 ( )1 2 m f x m 当 2 e me时， max 1 1f x e ； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 当me时， max ln 1 m f x m 【点睛】本题考查函数与导数的应用，函数的最值以及转化思想的应用，是中档题 19.用数学归纳法证明：cossincossin n inin，i为虚数单位，R，nN， 且2n 【答案】见解析. 【解析】

26、【分析】 利用数学归纳法即可证明，注意三角函数两角和差公式的应用 【详解】 (1)当2n 时， 2 22 cossincos2 cos sinsincos2sin2iii 所以，2n 时，等式成立； (2)假设当nk2k 时，等式成立，即cossincossin k ikik 那么，当1nk时， 1 cossincossincossincossincossin kk iiikiki 2 coscossincossincossinsinkikikik coscossinsinsincossincoskkikk cos1sin1kik 所以：当1nk时，等式也成立. 综上可知，要证明的等式coss

27、incossin n inin（） ，当2n 时成立. 【点睛】本题考查了数学归纳法、复数的运算法则、模的计算公式、和差公式、同角三角函 数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成， 圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三 角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180而成，如图 2.已知圆O的半径为10cm， 设BAO，0 2 ， 圆锥的侧面积为 2 cmS （S圆锥的侧面积RI（R-底面圆半径， I-母线长） ） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所

28、有高考资源网 - 14 - （1）求S关于的函数关系式； （2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度 【答案】 （1） 2 400 sincosS ， （0 2 ） ； （2） 20 6 3 cm 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E，分析可得 220cosABAE，sin20sincosBDAB，由圆锥的侧面积公式可得S的表达式， 即可得答案； （2） 由 （1） 可得S的表达式可得 23 1 400 sincos400 (sinsin) 2 S， 设 3 ( ) f xxx， (01)x，求导求出其在区间(0

29、,1)上的最大值，求出x的值，即可得当 3 sin 3 ，即 6 cos 3 时，侧面积S取得最大值，计算即可得答案 【详解】解： （1）根据题意，设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E， 在AOE中，10cosAE，220cosABAE， 在ABD中，sin20sincosBDAB， 所以 2 1 220sincos20cos400 sincos 2 S， （0 2 ）. （2）由（1）得： 23 1 400sincos400sinsin 2 S， 设 3 fxxx， （0 1x） ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 则 2 13fxx，令 2 130

30、fxx，可得 3 3 x ， 当 3 0, 3 x 时， 0fx ，函数 fx在区间 3 0, 3 上单调递增， 当 3 ,1 3 x 时， 0fx ，函数 fx在区间 3 ,1 3 上单调递减， 所以 fx在 3 3 x 时取得极大值，也是最大值； 所以当 3 sin 3 ，即 6 cos 3 时，侧面积S取得最大值， 此时等腰三角形的腰长 20 6 20cos 3 AB ； 答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为 20 6 cm 3 . 【点睛】本题考查导数的实际应用，利用导数求函数的单调性、极值和最值，还涉及圆锥的 侧面积公式和三角函数的恒等变形，关键是求出S的表达式 21

31、.已知函数 2 1 x axx f x e （1）求曲线 yf x在点0, 1处的切线方程； （2）证明：当1a 时， 0f xe 【答案】 （1）切线方程是210 xy （2）证明见解析 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - （1）求导，由导数的几何意义求出切线方程 （2）当a1时， 12 f xe1 xx exxe （）,令 12 gx1 x exx ，只需证明 gx0即可 【详解】 （1） 2 212 x axax fx e ， 02 f 因此曲线 yf x在点0, 1处的切线方程是210 xy （2）当1a 时， 21 1 xx fxex

32、xee 令 21 1 x g xxxe ，则 1 21 x gxxe ， 1 20 x gxe 当1x 时， 10gxg ， g x单调递减； 当1x 时， 10gxg ， g x 单调递增； 所以 g x1 =0g因此 0f xe 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造 12 g(x)1 x exx 很关键，本题有难度 22.已知函数 2 1 ln 1, ( ) 2 fxmxg xxmx （1）当1m 时，求函数 F xf xx的最大值； （2）当01m时，判断函数 G xfxg x的零点个数 【答案】 （1）0； （2）2. 【解析】 【分析】 （

33、1）利用导数，求得函数的单调性，进而求得最值； （2）先通过导数研究函数的单调性，求 出极值，再根据零点存在性定理，即可求出零点个数 【详解】 1 11 11 x Fx xx 当0,x时， 0Fx 当1,0 x 时， 0Fx 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 所以 max 00F xF 2根据题意 1 1 , 1 mx xm m Gxx mxm 令 0Gx ，解得 1 0 x ，或 2 1 xm m 因为01m，所以 1 0m m ，且 11 m mm 所以当 11 ,0,xm mm 时， 0Gx 当 1 ,0 xm m 时， 0Gx 所以 G x在 11 ,

34、0,m mm 上单调递增，在 1 ,0m m 上单调递减 因为 00G，所以 G x在 1 ,m m 上有且只有1个零点 又 G x在 1 ,0m m 上单调递减，所以 1 00G mG m 当 11 ,xm mm 时， 1 x m ，ln(1)mx ，所以( )G x ， 又函数 G x在 11 ,m mm 上单调递增 所以 00 11 ,0 xmG x mm 故当01m时，函数 G xfxg x有2个零点 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，同时考查函数的零点个 数判断方法，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -