吉林省通化市通化县综合高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析.doc

1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 数学数学 第第卷（选择题卷（选择题共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，分， 共共 4040 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1.复数32i的虚部是（） A. 3B. 2C.2iD.2i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据复数的概念得到答案. 【详解】复数32i的虚部是2. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的虚部，属于简单题. 2.复数34i的共轭复数对应的点位于（）

2、 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 计算共轭复数得到 34zi ，再判断对应点得到答案. 【详解】复数34zi的共轭复数为 34zi ，对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了共轭复数，复数对应点，意在考查学生对于复数概念的掌握情况. 3. 1 2 1 (31)xdx （） A. 4B. 2C. 0D. -4 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用微积分基本定理计算得到答案. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【详解】 1 231 1 1 (31)1 11 14xdxxx . 故选：A. 【点睛

3、】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力. 4.用数学归纳法证明 2 2nn 对于 0 nn的自然数n都成立时，证明中的起始值 0 n最小应取 （） A. 1B. 3C. 5D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 取4n 时， 2 216 n n ，排除 AB，验证5n 和6n 满足，排除 D，得到答案. 【详解】当4n 时， 2 216 n n ，排除 AB， 当5n 时， 2 23225 n n ，当6n 时， 62 26436n ， 故5n 和6n 满足，排除 D. 故选：C. 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的理解能力和推断能力. 5.曲线sin x yxe在0 x

4、 处的切线方程是（） A.330 xyB.220 xy-+=C.210 xy D. 310 xy 【答案】C 【解析】 ycosx x e,当 x=0 时，y=2,即切线的斜率为 2，通过选项可看出 C 符合题意 故选 C 6.三角形外角和为360，四边形外角和为360，五边形外角和为360由此推断平面多边形 外角和均为360此推理属于（） A. 演绎推理B. 归纳推理C. 类比推理D. 以上都不 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 对 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用归纳推理的定义得到答案. 【详解】归纳推理是由特殊到一般的推理过程，根据题意知属于归纳推理

5、. 故选：B. 【点睛】本题考查了归纳推理，属于简单题. 7. x f xex的单调递增区间为（） A.0,B.,0C.,1D.1, 【答案】A 【解析】 【分析】 求导计算 10 x fxe 解得答案. 【详解】 x f xex，则 10 x fxe ，解得0 x . 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间，意在考查学生的计算能力. 8. ln x fx x 的最大值为（） A. e B. ln2 2 C. ln3 3 D. 1 e 【答案】D 【解析】 【分析】 求导得到单调区间，计算最值得到答案. 【详解】 ln x fx x ，则 2 1lnx fx x ，则函数在0,e

6、上单调递增，在, e 上单调 递减， 故 max ln1e fxf e ee . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 故选：D. 【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9.设, ,a b c为任意正数则 111 ,abc bca 这三个数（） A. 都大于 2B. 都小于 2C. 至少有一个不小于 2D. 至少有一 个不大于 2 【答案】C 【解析】 【分析】 假设三个数均小于 2，利用均值不等式得到 111 6abc abc ，得出矛盾，得到答案. 【详解】 假设三个数均小于 2， 即 111 2,2,2abc bca ， 故 11

7、1 6abc abc ， 而 111111 2226abcabc abcabc ， 当1abc时等号成立，这与 111 6abc abc 矛盾， 故假设不成立，故至少有一个不小于 2，C 正确； 取2abc，计算排除 BD；取1abc，计算排除 A. 故选：C. 【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生的推断能力和计算能力，均值不等式的灵活运用 是解题的关键. 10. 1 2 0 4x dx （） A. 4B. 1C.4D. 3 32 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2 4yx ，变换得到 1 2 0 4x dx 的几何意义为图中阴影面积，计算面积得到答案. 【详解】设 2 4yx ，则 2

8、2 4xy，其中01x，0y. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 1 2 0 4x dx 的几何意义为图中阴影面积，设BOC，易知 6 ， 则 2 12 11113 413 2226232 SSSrOA AC . 故选：D. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义，意在考查学生的计算能力和转化能力. 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 6060 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分 11.若复数z满足1 1 z i i 则z=_ 【答案】2 【解析】 【分析】 直接利用复数的乘法运算得

9、到答案. 【详解】1 1 z i i ，则 2 1112ziii . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于简单题. 12. 32 1 31 3 yxxx的极小值为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为 3f，计算得到答案. 【详解】 32 1 31 3 yfxxxx，则 2 2331fxxxxx ， 当3,x和, 1x 时， 0fx ，函数单调递增； 当1,3x 时， 0fx ，函数单调递减， 故函数极小值为 32 3 1 333 3 18 3 f . 故答案为：

10、8. 【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 13.数列 n a满足 1 1a ， 1 2 2 n n n a a a ，通过计算 1234 ,a a a a猜想 n a _ 【答案】 2 1n 【解析】 【分析】 依次求出 1234 ,a a a a即可猜想出 n a. 【详解】因为 1 1a ， 1 2 2 n n n a a a ，所以 2 22 2 13 a ， 3 4 2 3 2 4 2 3 a ， 4 12 1 5 2 2 a 故猜想 2 1 n a n 故答案为： 2 1n 【点睛】本题主要考查的是由数列的递推公式写出数列的前几项，较简单. 14.在

11、空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为_ 【答案】异面 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 由已知可得A、B、C、D四点不在任何同一平面内，进而根据异面直线的定义可得答案. 【详解】若AB和CD是异面直线，则A、B、C、D四点不在任何同一平面内， 故直线AC和BD一定是异面直线. 故答案为：异面. 【点睛】本题考查的知识点是异面直线的判定，其中根据已知分析出A、B、C、D四点不在任 何同一平面内是解题关键，属于基础题. 15.在等差数列 n a中，若正整数 , , ,m n p q满足mnpq ，则 mnpq aaaa 类比

12、 这一结论写出在等比数列 n b的一个相应结论：若mnpq，则_ 【答案】 mnpq b bb b 【解析】 【分析】 根据“等差数列 n a中两项之和”类比“等比数 n b中为两项之积”，即可求解. 【详解】由题意，在等差数列 n a中， 111 (1)(1)2(2) mn aaamdandamnd， 111 (1)(1)2(2) pq aaapdaqdapqd ， 若m npq ，可得 mnpq aaaa ， “等差数列 n a中两项之和”类比“等比数 n b中为两项之积”， 所以在等比数列 n b中，则正整数 , , ,m n p q满足mnpq ，则 mnpq bbbb . 故答案为：

13、 mnpq bbbb . 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，对于类比推理的一般步骤：找出等差数列与等 比数列之间的相似性或一致性；用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得出一个明确 的结论（或猜想） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 1212 分，分， 共共 6060 分分 16.用分析法证明： 2532 【答案】详见解析 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 根据分析法证明步骤，将不等式两边同时平方，再展开依次证明即可. 【详解】欲证 2532 ， 只须证 22 ( 25)( 32)， 即2 2 52

14、 2 3 ， 只须证 56 ， 只须证56， 而56显然成立， 所以 2532 . 不等式得证. 【点睛】本题考查了分析法证明不等式中的应用，属于基础题. 17.用数学归纳法证明 2222* 121 123N 6 n nn nn . 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可. 【详解】证明：当1n 时，左边 2 11 ，右边 11 12 1 1 1 6 ，等式成立； 假 设 当 * Nnk k时等式成立， 即 2222* 121 123N 6 k kk kk . 那么， 22 2222 121 12311 6 k kk kkk 22 1276 12161 66

15、kkk k kkk 1223 6 kkk 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - * 111211 N 6 kkk k 即当1nk时等式也成立. 由知，等式对任何 * Nn 都成立. 【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题. 18.已知函数 3 ( ) 42 xa f xlnx x 在1x 处的切线垂直于直线 1 2 yx. （1）求a （2）求 fx的单调区间 【答案】 （1） 5 4 ； （2）在(0,5)内单调递减，在(5,)内单调递增 【解析】 【分析】 （1）由题意求导可得 2 11 ( ) 4 a fx xx ，代入1x 可得f （1

16、） 1 12 4 a ，从而求a， 进而求切线方程； （2） 53 ( ) 442 x f xlnx x 的定义域为(0,)， 2 (5)(1) ( ) 4 xx fx x ，从而求单调性 【详解】解： （1）因为 3 ( )ln 42 xa f xx x 在1x 处切线垂直于 1 2 yx， 2 11 ( )() 4 a fx xx (1)2 f 所以 1 12 4 a 5 4 a （2）因为 53 ( )ln 442 x f xx x 的定义域为0, 2 22 151145 ( ) 444 xx fx xxx 2 (1)(5) 4 xx x 当(0,5)x时( )0fx ， 当(5,)x时

17、( )0fx ， ( )f x在(0,5)内单调递减，在(5,)内单调递增 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题. 19.如图，抛物线 2 4xy的焦点为F，过F作斜率为 3 4 的直线l交抛物线于A，B两点 （1）写出直线AB方程 （2）求出弦AB和曲线AOB围成的阴影部分面积 【答案】 （1） 3 1 4 yx； （2） 125 24 【解析】 【分析】 （1）首先求出抛物线的焦点坐标，再利用点斜式求直线方程即可； （2）首先求出抛物线与直线的交点坐标，再根据微积分基本定理计算可得； 【详解】

18、解： （1）因为抛物线 2 4xy的焦点为(0,1)F，所以直线方程为 3 1(0) 4 yx 即 3 1 4 yx （2）联立直线与抛物线方程得 2 3 1 4 4 yx xy ，解得 1 1 4 x y 或 4 4 x y 则 1 ( 1, ) 4 A ，(4,4)B 阴影部分面积 4 4 1 1 32 2 33 (1)| 44812 xx xdxxx 2 3 2 3 1343125 4411 81281224 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，点斜式求直线方程，定积分求曲边形的面积，属 于基础题. 20.设函数 2 lnf xxxax. （1）若 1 2 x 时， fx取得极值，求a

19、的值； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （2）若 fx在其定义域内为增函数，求a的取值范围. 【答案】(1)3；(2)2 2, . 【解析】 试题分析： （1）先求函数的导函数，根据若 1 2 x 时， fx取得极值得 1 0 2 f ，解之即 可； （2） fx在其定义域内为增函数可转化成只需在0,内有 2 210 xax 恒成立， 根据二次函数的图象与性质建立不等式关系，解之即可. 试题解析： 2 121 2 xax fxxa xx (1)因为 1 2 x 时， f x取得极值，所以 1 0 2 f ， 即2 10,a 故3a (2) f x的定义域为0

20、，.方程 2 210 xax 的判别式 2 8a , （） 当0 , 即 2 22 2a 时， 2 210 xax , 0fx 在0 ，内恒成立, 此时 f x为增函数. （）当0 , 即 2 2a 或 2 2a 时， 要使 f x在定义域0 ，内为增函数, 只需在0 ，内有 2 210 xax 即可, 设 2 21h xxax， 由 010, 0 2 2 h a 得0a ,所以 2 2a . 由(1) (2)可知,若 f x在其定义域内为增函数，a的取值范围是2 2, . 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中 档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性 定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间, a b上是单调 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法 求解的 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 -