1、高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2020-2021 学年度高二上学期榆树一中期中考试试题答案 (文理数学) 第卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若直线3 0 xya 过圆 22 240 xyxy的圆心,则 a 的值为() A.5B.3C.1D.1 答案:A 解析:圆 22 240 xyxy的标准方程为 22 125xy 圆心坐标为1,2,若直线30 xya经过圆心,则3( 1)20a 解得5a ,综上所述,答案选择 A 2.方程 222 221
2、0 xyaxayaa 表示圆,则 a 的范围是() A2a 或 2 3 a B 2 2 3 aC20a D 2 2 3 a 答案:D 解析:方程 222 2210 xyaxayaa 表示圆 222 44 20() 1aaaa 2 3440aa , 2 32()()0aa , 2 2 3 a 3、圆 22 50 xy与圆 22 126400 xyxy的公共弦长为() A.5B.6C.2 5D.2 6 答案:C 解析:两圆的公共弦所在直线为2150 xy,圆心0,0到直线的距离为3 5d ,所以弦长 为 2 2 503 52 5。 高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 4
3、、以点( 3,4)A 为圆心,且与 y 轴相切的圆的标准方程为() A. 22 (3)(4)16xyB. 22 (3)(4)16xy C. 22 (3)(4)9xyD. 22 (3)(4)9xy 答案:C 解析:以点3,4为圆心且与 y 轴相切的圆的半径为 3,故圆的标准方程是 22 349xy. 5已知双曲线方程为x 2 4 y 2 3 1,则此双曲线的右焦点的坐标为() A(1,0)B(5,0) C(7,0)D( 7,0) 解析:a24,b23,c2a2b27,c 7,此双曲线右焦点的坐标为( 7,0) 答案:D 6以双曲线x 2 16 y2 9 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是()
4、 Ay216xBy216x Cy28xDy28x 解析:由双曲线x 2 16 y2 9 1 知右顶点的坐标为(4,0), p 24,p8,所求抛物线方程为 y 216x. 答案:A 7已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0,b0),两条渐近线的夹角为 60,则双曲线的离心率为( ) A.2 3 3 B. 3 C2D.2 3 3 或 2 解析:应分两种情况求解由已知得b atan60 3或 b atan30 3 3 ,又 ec a a2b2 a2 1 b a 2, e2 或 e2 3 3 . 答案:D 高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 8已知 F1、F2是椭圆的
5、两个焦点,满足MF1 MF2 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的 取值范围是() A(0,1)B. 0,1 2 C. 0, 2 2D. 2 2 ,1 解析:满足MF1 MF2 0 的点 M 在圆 x2y2c2上, 圆 x2y2c2在椭圆内部,即 cb,c2b2a2c2,2c2a2,e21 2,即 e 0, 2 2 . 答案:C 9设 F 为抛物线 y24x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA FBFC0,则 |FA |FB|FC|( ) A9B6 C4D3 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 x1. FA F
6、BFC0, F 为ABC 的重心,x1x2x33. 又|FA |x 11,|FB |x 21,|FC |x 31,|FA |FB|FC |x1x2x336. 答案:B 10已知方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值 范围是() A(1,3)B(1, 3) C(0,3)D(0, 3) 解析:由题意得(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2.又双曲线两焦点间的距离为 4, 得 m2n3m2n4,m21,1n3. 答案:A 11若双曲线x 2 4 y 2 k 1 的离心率 e(1,2),则实数 k 的取值范围是() A(?T,0)B(12,
7、0) C(3,0)D(60,12) 解析:由题意得 a24,b2k,c2a2b24k, e2c 2 a2 4k 4 .又 e(1,2),14k 4 4,得12k0. 答案:B 高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 12 已知双曲线的两个焦点为F1( 10, 0), F2( 10, 0), M是此双曲线上的一点, 且满足MF1 MF2 0,|MF1 |MF2 |2,则该双曲线的方程是() A.x 2 9 y21Bx2y 2 9 1 C.x 2 3 y 2 7 1D.x 2 7 y 2 3 1 解析:由MF1 MF2 0,知 MF1MF2,由焦点三角形的面积公式知1 2|
8、MF 1|MF2| b2 tan45, b21.又 c 10,a2c2b21019,焦点在 x 轴上, 故所求的双曲线方程为x 2 9 y21. 答案:A 第卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在题中的横线上) 13在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线x 2 7 y 2 3 1 的焦距是_ 解析:由双曲线x 2 7 y 2 3 1,知 c27310, c 10,焦距 2c2 10. 答案:2 10 14以抛物线 y220 x 的焦点为圆心,且与双曲线x 2 16 y2 9 1 的两条渐近线都相切的圆的方程 为_ 解析:抛物线
9、y220 x 的焦点坐标为(5,0),双曲线x 2 16 y2 9 1 的一条渐近线方程为 3x4y0, 圆心(5,0)到渐近线 3x4y0 的距离为15 5 3,故所求圆的方程为(x5)2y29. 答案:(x5)2y29 15.已知曲线 C1,C2的极坐标方程分别为|?cos3,4cos(0,0 2 ),则曲线 C1与 C2交点的极坐标为_ 答案(2 3, 6 ) 解析由 cos3, 4cos,(0,00,解得 a8. 由弦长公式得 |AB|122 x1x224x1x2 15, a4 4 213,(a4)264, a12 或 a4. 抛物线方程为 y212x 或 y24x. 19(12 分)
10、已知双曲线x 2 9 y 2 161 的左、右焦点分别是 F 1,F2,若双曲线上一点 P 使得 F1PF290,求F1PF2的面积 解:由x 2 9 y 2 161,得 a3,b4, c5. 由双曲线定义及勾股定理得 |PF1|PF2|6, 又F1PF290, |PF1|2|PF2|2|F1F2|2102, (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100. |PF1|PF2|10036 2 32. SF1PF21 2|PF 1|PF2|16. 20.(12 分)已知两点 F1(0,1),F2(0,1),P 是动点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 求动点 P 的轨迹方程
11、 解:由已知得|PF1|PF2|2|F1F2|42, 动点 P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆, 则 a2,c1,b23, 动点 P 的轨迹方程为x 2 3 y 2 4 1. 21(12 分)在极坐标系中,已知直线 l 过点 A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成 的最小正角为 3 ,求: 高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - (1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离 解(1)如图,由正弦定理,得 sin2 3 1 sin( 3 ) ,即|?sin( 3 |)sin2 3 3 2 . 所求直线的极坐标方程为|?sin( 3 |) 3 2 . (2
12、)作 OHl,垂足为 H,在?OHA 中, OA1,OHA 2 ,OAH 3 , 则 OHOAsin 3 3 2 . 即极点到该直线的距离等于 3 2 . 22(理数)(12 分)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F,A 为短轴的一个端点,且|OA| |OF|,AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点) (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MDCD,连接 CM,交椭圆于 点 P,证明:OM OP 为定值 解:(1)由已知 bc, 1 2bc1, bc 2, a2b2c24,所以椭圆方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)
13、证明:由(1)知,C(2,0),D(2,0) 由题意可设 CM:yk(x2),P(x1,y1) MDCD,M(2,4k) 由 x2 4 y 2 2 1, ykx2 消去 y,整理得 高考资源网()您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - (12k2)x28k2x8k240, (8k2)24(12k2)(8k24)0, 2x18k 24 12k2,即 x 124k 2 12k2, y1k(x12) 4k 12k2, 点 P 24k2 12k2, 4k 12k2. OM OP 224k 2 12k24k 4k 12k2 412k2 12k2 4(定值) 22(文数)(12 分)在直角坐标系
14、 xOy 中,点 P 到两点(0, 3)、(0, 3)的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为 C,直线 ykx1 与 C 交于 A、B 两点 (1)写出 C 的方程; (2)若OA OB ,求 k 的值 解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, 3),(0, 3)为焦点,长半轴 长为 2 的椭圆,它的短半轴长 b22 321, 故曲线 C 的方程为 x2y 2 4 1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 x2y 2 4 1, ykx1. 消去 y 并整理得(k24)x22kx30. 其中4k212(k24)0 恒成立 故 x1x2 2k k24,x 1x2 3 k24. 若OA OB ,即 x1x2y1y20. 而 y1y2k2x1x2k(x1x2)1, 于是 x1x2y1y2 3 k24 3k2 k24 2k2 k2410, 化简得4k210,所以 k1 2.
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